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(1106) On aura la hauteur d’un prisme en divisant son volume par la surface de sa base, ct celle d’une pyramide ou d’un cône en divisant son volume par le tiers de sa base; de même, le quotient du volume du prisme par sa hauteur donnera sa base, et celui du volume d’une pyramide ou d’un cône par sa hauteur, le tiers de sa base,

(1107) PROB. Connaissant le nombre d'unités de volume dans un prisme donné ; déterminer les dimensions linéaires du solide, en termes de ce volume. (prob. analogue à 676). A cette fin, on établira d’abord (page 180) la surface de sa base, en mesurant, au moyen d’une même unité linéaire quelconque, les éléments de ses surfaces composantes (352) ; on fera ensuite le produit de cette base par la hauteur du solide exprimée en unités égales à celles des côtés de la base ; puis on établira la proportion : le volume supposé (ou calculé) du prisme (:) est au volume donné (:) comme le cube d’un de ses côtés en unités de l'échelle qui a servi à le mesurer (:) est au cube du nombre d'unités linéaires de l’espèce de celles du volume donné. La racine cubique du résultat sera le nombre d'unités linéaires dans le côté choisi, et le nombre de mètres, pieds, pouces, lignes etc., dans ce même côté, divisé par celui de ces unités, établira l'espèce c.-à-d. la grandeur d’une de ces unités, et au moyeu d’une échelle de ces unités on déterminera enfin les dimensions des autres côtés du solide donné en termes du volume.

> d’une sphère fit de supposer e, un diamètre i1pposée et poser posée (:) est au me de la sphère rayant la racine voulu.

ne en divisant et celle d’une , volume par le du volume du se, et celui du r sa hauteur, le

unités de volules dimensions olume. (prob.

bord (page 180) en d’une même de ses surfaces it de cette base :s égales À celles rtion : le volume

volume donné ités de l’échelle 1ombre d'unités né. La racine és linéaires dans s, pouces, lignes

de ces unités, de ces unités, et terminera enfin

onné en termes

1108) Sco. Inutile d'observer que cette règle est applicable à tout autre po'yèdre ou corps quelconque dont on aurait la solidité, faisant attention seulement à la manière d'établir son voiume auxiliaire, suivant que le solide serait une pyramide ou un cône, une sphère, un prismoïde, un tronc de prisme, de pyramide ou de cône, etc., etc.

(1109) PROB. Etent donnés le volume V d’un parallépipède et le rapport ” à n à À entre ses longueur, largeur et hauteur ; trouver ces trois dimensions. (prob. analogue à 694).

On fera le produit continu des termes m, n, k du rapport, pour obtenir (1080, 10382) un volume auxiliaire v, et désiguant par M, N, H les côtés ou dimensions cherchés, on fera v: V 12m : M%:: n° : N° :: N° : H°, ou après avoir trouvé M=ÿ M3 on fera m:M::n:N::h:H.

(1110) PROB. Diviser un cône ou une pyramide en deux parties de même volume par un plan parallèle à celui & la base (prob. analogue à 569). Soit V le volume du solide donné, S son sommet, SA son côté ; soit aussi v le vol. du solide partiel=+ V, $ a son côté; on fera (1070) V:v::8A°:8 a° et on aura Sa=Ÿ 8 a3; menant alors par le point a, un plan parallèle à la base, le problème sera résolu.

(1111) PROB. Si l’on avait à diviser le cône ou la pyramide en plusieurs parties ayant entre elles des rapports donnés, par des plans parallèles à la base ; (prob. analogue à 569, 2°). Appelant encore SA le côté du solide donné ; a, b, e, d, etc. les points de trajet des plans parallèles, et m, n, r, ete. les termes du rapport; on diviserait d’abord le nombre d'unités de volume V en parties M, N, R, etc. ayant entre elles le rapport voulu et on ferait V : SAŸ::M:8 d MIN: 86°: MENU : 8 2: MINFR+etc. : 8 d° et ainsi de suite, ou encore V:SA:V—M:8 a°:: V—MN : 8 b3::

V-MENFR:Sc::ete. suivant la disposition à cbserver dans l’ordre relatif des parties, et aussi suivant que l’on

poursuivrait l'opération de la base au sommet ou du sommet à Ja base.

(1112) PROB. Eût on un tronc de . sne ou de pyramide à bases parallèles, à diviser en parties proportionnelles, par des plans parallèles aux bases ; (prob. analogue à 754) on compléterait le solide pour faire entrer en compte son volume additionnel ou auxiliaire, et on procéderait ensuite comme au dernier par.

(1113) Rem. On ne peut (1019) trouver, par construction géométrique, la racine cubique (40) d'un volume ou le côté d’un cube équivalent en volume à un corps donné, tout aisé qu’il soit (Prop. XI, LIV. Let par. 876) d'arriver à la racine carrée (40) d’une surface, et on ne peut en conséquence résoudre d’une manière purement géométrique les problèmes à la solution desquels la racine cubique est un élément essentiel. Néanmoins quand il s'agit de prismes, de cylindres, de pyramides ou de cônes à hauteurs égales ou à bases égales, ou ayant entre elles des rapports donnés; tous ces corps étant entre eux comme leurs bases quand leurs hauteurs restent constantes, ou comme leurs hauteurs quand leurs bases ne varient point; on pourra résoudre par construction géométrique les problèmes ayant trait 4 ces solides ; en effet.

(1114) PROB. Soit à construire un prisme ayant pour base un octogone régulier et équivalent en volume à la somme de deux ou plusieurs prismes donnés quelconques de même hauteur que le prisme voulu.

Le polygone régulier qui doit servir de base au prisme demandé est composé (622) de 8 triangles isocèles égaux, ayant pour bases les côtés, et pour côtés, les rayons obliques du polygone. Un de ces triangles composants aura pour surface la huitième partie de la surface combinée des bases de tous les prismes donnés, et (620) pour angle vertical, un huitième de quatre angles droits. Le problèmese réduit doncà décrire un triangle qui remplira ces conditions, ou à trouver

tou du sommet

ju de pyramide oportionnelles, analogue à 754) ‘ en compte son céderait ensuite

par construction lume ou le côté donné, tout aisé river à la racine en conséquence 1e les problèmes est un élément de prismes, de eurs égales ou à ts donnés; tous es quand leurs hauteurs quand a résoudre par yant trait à ces

me ayant pour en volume à la és quelconques

base au prisme

isocèles égaux, rayons obliques psants aura pour binée des bases gle vertical, un e se réduit doncà ns, ou à trouver

le côté du triangle, avec ce côté décrire un cercle dont on divisera (633 et 651) la circonférence en 8 parties égales, pour relier ensuite par des droites les points de division et compléter ainsi la base voulue du prisme requis. Pour cela, ou réduira (802) en un rectangle équivalent l’ensemble des bases des prismes donnés, ou divisera ensuite (880) ce rectangle en huit parties égales et on fera (674) un triangle isocèle équivalent en surface à l’une de ces parties et dont l'angle au sommet soit=(4 angles droits). Ayant ensuite o)

mené, à une distance de la base égale à la hauteur des prismes donnés, un plan parallèle à cette base, et relié les plans opposés par des droites parallèles partant de chacun des points angulaires de l’octogone et faisant avec la base un augle quelconque, le problème sera résolu.

(1115) PROB. Etant donnés un prisme et une pyramide de même hauteur ; construire un cylindre qui soit équivalent en volume à la somme de ces solides et dont la hauteur soit moitié de celle du prisme.

On fera à cet effet un cercle dont la surface soit double de la somme des surfaces de la base du prisme et du tiers de la base de la pyramide. On a vu (481) que le cercle est équivalent à un rectangle ayant pour hauteur le rayon et pour base une ligne égale eu longueur à la demi-circonférence, et on sait que le rapport entre le rayon et la demi-circonférence est (686) de 7 : 22 ou 113 : 355 ou 1 : 8. 14159 etc. On a donc à faire (802) un rectangle quelconque de surface égale à celle de la base du cylindre voulu, diviser (694, 330) cette surface en 7TX22 parties, réduire (8376) une de ces parties en un quarré équivalent et prendre le rayon égal à 7 fois le côté de ce carré.

On obtiendrait arithmétiquement (684) le rayon voulu, en divisant le nombre d'unités dans la surface par .7854, extrayant la racine carrée du quotient et prenant la moitié de la racine.