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er
| symétrique à ABC, se trouve à l'intersection des arcs D'FC, ] | D'EC décrits des deux autres points angulaires A, B, du l'ai | triangle, comme pôles, avec les distances AC, BC, pour AI
Al indiquer de suite la manière de faire un triangle sphérique
qui soit égal ou symétrique à un triangle sphérique " ; donné. | ji | (177) Cor. 1 Deux triangles ABC, ABD ou ABC, ABD’ M | ! sur la même sphère ou sur des sphères égales, sont égaux us | dans toutes leurs parties, quand deux côtés, AB, AC et cu) | l’angle inclus À de l’un, sont respectivement égaux à (1 il deux côtés AB, AD ou AB, AD’ et à l’angle inclus À de AC fil l’autre. tria Car, on pourra superposer le triangle ABC à son égal incl ABD ou à son symétrique ABD/, tout de même que l'on incl\
ail applique (Dém. de 229) deux triangles rectilignes l’un À ces | l’autre quand ils ont un angle égal compris par des côtés égaux. par 1 Cette superposition fera tomber les points B, C de l’un ECI gai des triangles sur les points B, D ou B, D’ de l’autre triangle, SUP] | ce qui donnera BC=BD ou BD'et les angles en B et © égaux aux
; | à ceux en B et D ou en Let D’; car il suffit (892) de trois
ï points pour déterminer la position d’un plan, et le plan BOC BA | du grand cercle BC est en même temps celui de l’arc BD sont a ou BD'; donc, etc. tri
dl (1178) Cor. 2. Deux triangles sur la même sphère ou sur pen
| des sphères égales, sont égaux dans toutes leurs parties,
Ll lorsque deux angles et le côté inclus de l’un, sont respectivement égaux à deux angles et au côté inclus de
| l’autre; car on superposerait l’un de ces triangles à son égal
El ou à son symétrique, comme dans le cas correspondant À (238) de triangles rectilignes.
PROP. VI. THÉOR.
(1179) Dans tout triangle isocèle sphérique, ABC, les angles opposés aux côtés égaux, sont égaux ; et réciproquement, si deux angles d’un triangle sphérique sont égaux, le triangle est isocèle.
ares D'FC, es À, B, du ), BC, pour e sphérique > sphérique
ABC, ABD' , sont égaux , AB, AC et ent égaux à inclus A de
3 à son égal me que l'on ignes l’un à s cÔtés égaux.
3, © de l’un utre triangle, B et C égaux (892) de trois t le plan BOC . de l'arc BD
sphère ou sur leurs parties, , Sont respecté inclus de les à son égal correspondant
ue, ABC, les c; et réciprohérique sont
En premier lieu. Soit AB—AC, on aura l'angle C=B. Car, ayant mené (1157) l'arc AD du sommet A au point milieu D de la base, les deuxtriangles ABD, ADC auront les côtés de l’un respectivement égaux aux côtés EH +
correspondants de l’autre, savoi : AD com- \ mun, BD=DC et AB=AC ; de là, les angles \ ) seront (1174) égaux; donc B—C, By Ù
(1180) En second lieu. Soit B—C; on aura le côté AC=AB; car si non, soit BE=AC, menez EC. Dans les triangles EBC, ACB, on a deux côtés EB, BC et l'angle inclus B de l’un, égaux a deux côtés AC, BC et à l'angle inclus C de l’autre ; donc (1177) toutes les autres parties de ces triangles sont égales ; donc l'angle ECB=EBC; mais par hypothèse, l'angle ACB—EBC ; donc on a (68 Ax.) ECB=ACB, ce qui est absurde; donc il est absurde de supposer AB inégal à AC; donc les côtés AB, AC opposés aux angles égaux B et C, sont égaux. ‘ ,
(1181) Sco. La même démonstration prouve que l'angle BAD=DAC et l’angle BDA=ADC ; de là, les deux derniers sont des angles droits ; donc l’arc mené du sommet d’un triangle isocèle sphérique au milieu de la base, est perpendiculaire à la base et bissecte l'angle vertical.
PROP. VII. THÉOR.
(182) Dans tout triangle sphérique, ABC, le plus grand côté BC est opposé au plus grand angle À, et réciproquement le plus grand angle est opposé au plus grand côté.
En premier lieu, ayant fait l'angle BAD=B; on aura (1180) AD—DB ; mais (1164) AD+DCSAC, c.-a-d. BD+- DC>AC, ou BC>AC.
(1183) En second lieu. Si l'angle B semb BAC était égal à ABO, l'on aurait les ra
BC=AC ; si BAC était moindre que ABC, on aurait, comme on u vient de le voir, BC<AC. L'’angle D (
BAC est donc ni égal à ABC, ni ml
moindre que ABC; donc il est plus ; "A Fe
grand que ABC ; donc, etc. EL 4
PROP. VIII. THÉOR. D moins
donc]
(1184) Si deux triangles À et B sur la même sphère circon
ou sur des sphères égales, sont m : uellement équiangles, or, cet
ils seront aussi mutuellement équilatères. férenc
Soient P et Q les triangles polaires ou supplémentaires le rest
de A et B. Puisque les angles sont égaux dans les triangles D dd
A et B, les côtés seront (1171) égaux dans leurs triangles triang]
supplémentaires P et Q; mais puisque les triangles P et Q (118
sont mutuellement équilatères, ils sont aussi (1174) mutuel- L sphéri
lement équiangles ; enfin, les angles étant égaux dans les que la
Lu) triangles P et Q, il suit que les côtés sont égaux dans leurs (118! LR triangles supplémentaires À et B. Donc les triangles À et B que n’€ Lo qui sont mutuellement équiangles, sont en même temps triangl ' mutuellement équilatères. angles
À (1185) Sco. Cette proposition n’est pas applicable aux D duons pau triangles rectilignes, où l'égalité des angles n'indique autre de plus il chose qu’une proportionnalité entre les côtés, et il est facile ses côt 1h de s’en rendre compte; car en traitant de la comparaison chacun jh des triangles sphériques, on a toujours posé comme condition côtés d (hAl l'égalité des sphères; or les arcs semblables sont (428) 2 angk Ja entre eux comme leurs rayons ; de là, sur des sphères égales, qu'alon Lt deux triangles ne peuvent être semblables sans être égaux. et mêm \: (l Il u’est donc pas étrange que l'égalité entre les angles pro- hémisp Wal duise l'égalité entre les côtés; mais il en serait autrement (1189 À si les triangles étaient tracés sur des sphères inégaies, car donnés pi les angles étant dans ce cas égaux, les triangles seraient (1190
me sphère squiangles,
lémentaires les triangles rs triangles œles P et Q 4) mutuelux dans les dans leurs igles À et B ême temps
icable aux lique autre l'est facile pm paraison e condition sont (428) res égales, tre égaux.
ngles proautrement
gales, car es seraient
semblables, et les côtés homologues seraient entre eux comme les rayons de leurs sphères.
PROP. IX. THÉOR.
(1186) La somme des trois angles de tout triangle sphérique, est moindre que six et plus grand que deux angles droits.
En premier lieu, la mesure de.chacun des angles d'un triangle sphérique, est (1171) égale à la demi-circonférence moins le côté correspondant du triangle supplémentaire ; donc la somme des trois angles est mesuré par les trois demicirconférences moins la somme des côtés du triangle sup. ; or, cette deruière somme est moindre (1167) qu'une circonférence ; donc si on la retranche de trois demi-circonférences, le reste sera plus grand qu’une demi-circ. qui est la mesure de deux angles droits; donc la somme des angles d’un triangle sphérique est plus grand que deux angles droits.
(1187) En second lieu, chacun des angles d’un triangle sphérique est moindre que deux angles droits ; d’où il suit que la somme des trois est moindre que six angles droits.
(1188) Sco. L. La somme des angles d’un triangle sphérique n’est pas constante, comme l'est celle des angles d’un triangle rectiligne ; au contraire elle varie entre 2 et 6 angles droits, sans jamaïs atteindre ces limites. Car, si petit qu’on suppose le triangle dont il s’agit, il ne fera qu’approcher de plus en plus du triangle rectiligne, sans jamais le devenir, ses côtés étant des arcs de cercles. Et dans le second cas, chacun des angles formés par les plans composants des côtés du triangle, pourra approcher indéfiniment près de 2 angles droits, mais n’atteindra jamais cette limite, puisqu’alors les plans composants ne formeraient plus qu’un seul et même plan, et le triangle sphérique deviendrcit enfin un hémisphère.
(1189) Cor. 1. Dans un triangle sphérique, deux angles donnés ne peuvent servir à déterminer le troisième.
(1190) Cor. 2. Un triangle sphérique peut avoir deux
et même trois angles droits ; et de même, un triangle sphérique peut avoir deux et même trois angles obtus, (*)
(1191) Cor. 8. Si le triangle ABC À est bi-rectangle, c.-à-d. s’il a deux angles droits B, C, le sommet A sera le pôle de la base BC et les côtés AB, AC opposés aux angles droits seront des quart-de-circ.; car les angles B, C } sont ceux des plans AOB, BOC AOC, BOC et ces angles étant droits, la commune intersection AO de ces plans sera (928) perpendiculaire au plan BOC et par conséquent (882) aux rayons OB, OC; donc, AOB, AOC sont des angles droits et AB, AC des quart-de-circ.
(1192) Si l’angle A est en même temps droit, le triangle ABC est tri-rectangle ; ses angles seront alors tous des angles droits, et ses trois côtés des quart-de-circ.
(1193) Il est clair, que deux triangles tri-rectangles forment la moitié d’un hémisphère ; quatre constituent un hémisphère, et 8, une sphère entière.
(1194) Cor. 4. On vient de voir que la surface entière de la sphère vaut huit triangles tri-rectangles ; de là, si l’on représente par T la surface d’un triangle tri-rectangle, la surface entière de la sphère sera 8T. Ceci posé, si l’on prend l’angle droit—1, la surface de la lune (989. Déf) dont l'angle=—A s’exprimera : 2 AXT; car, (1079) 4:A:: 8T:2AXT, où A représente telle partie de l'unité que l'angle de la lune l’est d’un angle droit.
