DE

(*) L'étudiant se fera une excellente idée d’un angle, triangle, polygone, ou pyramide sphérique, ainsi que des divers plans composants des angles de ces figures, à l’aide d’un simple cercle en papier, coupé en un seul endroit AO ; car, il lui suffira de répartir sur la circonférence de ce cercle, divers arcs EB, BC, EC, etc., moindres, égaux, ou plus grands que des quart-de-circ. ; ployer ensuite le papier à l’endroit des rayons OE, OB, O etc., reliant les extrémités de ces arcs au centre O du cercle; puis, faire rejoindre les extrémités opposés du premier et du dernier de ces arcs; pour avoir, à volonté et tour à tour, un triangle isocèle, équilatéral, bi- ou tri rectangle ou obtusangle, etc.

1e, un triangle angles obtus, (*)

intersection AO lan BOC et par nc, AOB, AOC de-circ.

roit, le triangle k alors tous des -de-circ.

es tri-rectangles re constituent un

rface entière de 8 ; de là, si l’on e tri-rectangle, eci posé, si l’on lune (989. Déf.) , (1079) 4 : A:

à de l'unité que

, ou plus grands que es rayons OE, OB, u cercle; puis, faire er de ces arcs; pour uilatéral, bi- ou tri

. toujours moindre qu’une demi-circ. et

(1195) Sco. 2. On a supposé jusqu'ici, conformément à la déf. (1148) que chaque côté d’un triangle sphérique est

chacun des angles en conséquence moindre que deux angles droits ; car si le côté AB est moindre qu’une demicire. et AC aussi<4 circ., chacun de ces arcs pourra se prolonger, soit en BD, CD; or lesang les ABC, CBD pris ensemble valent deux angles droits; donc l'angle ABC est moindre que deux angles droits.

Rien n'empêche cependant de considérer un triangle sphérique dont certain côté soit plus grand qu’une demicirconférence et certain angle plus grand que deux angles droits. Si l’on prolonge par exemple le côté AC pour en former une circonférence entière ACE, la partie qui reste après avoir soustrait le triangle ABC de l'hémisphère, est uu nouveau triangle que l’on désigne encore ABC et dont les côtés sont AB, BC, AEDC. Ici, le côté AEDC est plus grand que la demi-cire. AED ; et en même temps, l'angle B qui lui est opposé, excède deux angles droits, de la quantité CBD ; et il est clair que la solution d’un triangle de cette espèce est toujours réduisible à celle du triangle de même nom qui est la différence entre un hémisphère et le triangle donné.

PROP. X. THÉOR.

(1196) Les triangles sphériques symétriques ABC, DEF sont équivalents, ou égaux en surface.

Soit À a= AC, D d=DF ; ayant

mené (1157) les arcs Ca, F d, on aura le triangle isocèle aAC égal au triangle isocèle d DF, puisque F l'égalité des côtés AC, DF Aa, Dd et des angles A,D, etc.

permettra (1177) la superposition de ces triangles et leur coïncidence parfaite. Maintenant, si l’on

+ ES ed

serrer + en me paire 89e Nuage ages ah ca ce as + S ET

ne PS re A

fait Ce=Ca, Ff=F d, on aura le triangle isocèle a C «= dFf; car a C—dF, et comme l'égalité des triangles aAc, dDF donne l'angle ACa=DFd et que l'angle F est par hyp.=C, on aura l'angle dFf=aCc; donc (1177) Îles triangles aCc, dFf peuvent aussi se superposer l'un à l’autre et coïncideront entièrement. Soit encore a b=a c, d'e=d f, le triangle isocèle bac sera égal au triangle isocèle edf, et si l’on continue indéfiniment cette opération, faisant succesivement c h=cb, fg=fe bk=bh, el=eg, et ainsi de suite, on aura enfin divisé chacun des deux triangles donnés en un nombre égal de triangles isoceles respectivement égaux entre eux, et dont la somme des surfaces de l’un sera en conséquence égale à celle des surfaces de l’autre ; donc, etc.

(1197) D'ailleurs. Soient D (1159) P et Q les pôles respectifs | des petits cercles passant par les y points A,B,C, D,E,F, des triangles donnés ; ces petits cercles sont égaux, car, les cordes qui sous-tendent les arcs égaux AC, DF, sont égales entre elles ;

‘ou a de même : corde CB=corde FE, corde AB=corde DE, et ces cordes égales forment deux triangles rectilignes égaux ABC, B

DEF dont les cercles circonscrits sont (417) en conséquence égaux. Les petits cercles étant égaux, les arcs de grands cercles PA, PB, PC seront (1152) égaux entre eux et aux arcs correspondants QD, QE, QF. Les triangles sphériques composants APC, APB, BPC sont donc isocèles et respectivement égaux à DQF, DQE, EQF, pouvant se superposer l'un à l’autre; donc les triangles donnés ABC, DEF' sont égaux; car on aura, quand le pôle tombe en dehors, ABC=

isocèle a C c= triangles aAc, ngle Fest par onc (1177) Îles erposer l'un à encore a b=a c, triangle isocèle Jération, faisant =e 4, et ainsi de riangles donnés respectivement ces de l’un sera e l’autre ; donc,

en conséquence 8 arcs de grands tre eux et aux gles sphériques èles et respectit se superposer ABC, DEF' sont dehors, ABC=

APC+BPC—APB—DQF+EQF—DQE=DEF, et quand le pôle tombe en dedans, on a APC+BPC+APB=DQF+EQF +DQE ; donc, etc.

PROP. XI. THÉOR.

(1198) Si les circonférences de deux grands cercles AËEB, CED s’intersectent sur la surface d’un hémisphère ACBD-E, la somme des triangles opposés AEC, BED ainsi formés, est équivalente à la surface d’une lune dont l’angle est égal à l’angle AEC formé par les cercles.

Car, prolongeant les arcs EB, E ED, jusqu’à leur rencontre en F sur l’autre hémisphère, l’are EBF sera une demi-circ. et il en sera de même de l'arc AEB ; de chacune des quelles, si l’on retranche EB, il restera AE=—BF,. On a de même DF=—CE et BD=AC. Les deux F.

triangles AEC, BDF sont donc (1175) symétriques et en conséquence (1196) égaux en surface ; maïs la somme des triangles BDF, BED est équivalente à la lune EBFDE dont l'angle est BED; de là, AEC+BED est équivalente à la luue dont l'angle est BED.

(1199) Sco. Il est de plus évident (1081) que les deux pyramides sphériques qui ont pour bases les, triangles sphériques AËC, BED, sont ensemble égaux à l'onglet sphérique dont l’angle est BED.

PROP. XII. THÉOR.

(1200) La surface d’un triangle sphérique, ABC, a pour mesure l’excèdant de la somme de ses trois angles sur deux angles droits, multiplié par le triangle tri-rectangle,

Prolongez les côtés du triangle jusqu’à ce qu’ils rencontrent en D, G, etc, un grand cercle DFG mené à volonté en dehors du triangle. Par le dernier théor., les deux triangles ADE, AGH valent ensemble la lune dont l'angle est À et qui a pour mesure (1194) 2AT. De là, ADE+AGH=2AT ; pour la même raison on a BGF+BID=2BT, et CIH+CFE=2CT ; mais la summe de ces six triangles excède l'hémisphère, de deux fois le triangle ABC, et l'hémisphère est représenté par 4T ; donc deux fois le triangle ABC vaut 2AT+2BT+2CT —4T ; donc, ABC—(A+B+C—2) T; donc tout triangle sphérique est égal en surface au produit de la somme de ses trois angles moins deux angles droits, multiplié par le triangle tri-rectangle.

(1201) Cor. 1. La surface d’un poly- D gone sphérique, EBC, a pour mesure le produit de la somme de tous ses c angles moins autant de fois 2 angles droits que le polygone à de côté moins deux, par le triangle tri-rect. B

Car, chacun de ses triangles composants a pour mesure la somme de ses angles moins deux angles droits, par le triangle tri-rect., et la somme des angles de tous les triangles est évidemment le même que celui de tous les angles du polygone; donc etc.

2° Soit S la somme des angles du polygone sphérique, n le nombre de ses côtés et T le triangle tri-rect.; prenant pour l'angle droit l'unité, la surface sera S—2 (n—2)T, ou (S—2 n+4) T.

(1202) Cor. 2. Quelque soit le nombre des angles droits dans la somme des angles moins deux angles droits, le triangle ou le polygoné ‘:ané contiendra un nombre égal de triangles tri-rectangles üu de huitièmes de la sphère. Si

centr entre entre

par tt que l’ mesu!

du tr alors solide

T; pour la DFE=2CT ; isphère, de présenté par -2BT+2CT ut triangle mme de ses plié par le

moins deux e des angles e celui de

sphérique, n t.; prenant 2 (n—2) T;

ngles droits s droits, le ombre égal sphère. Si

les angles, par exemple, valent ensemble 44 angles droits, la somme des angles moins 2 angles droits, sera 24 angles droits, et la surface du triangle ou polygone vaudra 24 triangles tri-rect., soit £+4 ou #4 de la surface de la sphère entière.

(1203) Sco. Il est clair qu'il y a le même rapport entre la pyramide tri-rect. et celle qui a ABC pour base, puisque les pyramides de même hauteur sont (1053) entre elles comme leurs bases. On compare de même l’angle solide au sommet de la pyramide avec l’angle au sommet de la pyr. tri-rect. Ces comparaisons sont fondées sur la coïncidence des parties correspondantes, car si les bases coïncident, il est évident que les pyramides elles mêmes coïncideront, de même que lesangles solides à leurs sommets ; d’où on déduit que :

(1204) 1° Deux pyramides sphériques triangulaires sont entre elles comme leurs bases, et puisqu'on peut diviser une pyramide polygone en un certain nombre de pyramides triangulaires, il suit que deux pyramides sphériques quelconques sont etre elles comme les polygones qui leur servent de bases ; conclusion qui dérive aussi immédiatement du par. (1082).

(1205) 2° Les angles solides aux sommets de ces pyramides sont aussi comme leurs bases ; de là, pour comparer deux angles solides, on n’a qu’à placer leurs sommets aux centres de deux sphères égales, et les angles solides seront entre eux, comme les polygones sphériques interceptés entre leurs plans ou faces. d

L'angle vertical de la pyr. tri-rect. est formé ou contenu par trois plans à angles droits l’un avec l’autre. Cet angle, que l’on peut appeler un angle droit solide, servira donc de mesure à tout autre angle solide. Par exemple, si la surface du triangle ou du polygone est les ? du triangle tri-rect., alors l'angle solide correspondant sera aussi les £ de l’angle solide droit.

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