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(1206) Rem. On a déjà vu (222, 243, 266 et 321) que des six parties dont tout triangle est composé, savoir, trois côtés et trois angles, il suffit d’en connaître trois, dont l’une soit un côté, pour construire le triangle ; mais ces constructions ou méthodes graphiques, exactes qu'elles soient en théorie, ne dpnnent dans la pratique que des résultats plus ou moins approximatifs, à cause de l’imperfection des instruments dont il est nécessaire de faire usage.

Les méthodes trigonométriques, au contraire, enseignent à déterminer, par le calcul, les parties inconnues d’un triangle, et indépendantes que sont ces méthodes de toute opération mécanique, elles donnent avec exactitude les 80lutions voulues.

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Ces méthodes sont fondées sur les propriétés de lignes appelées trigonométriques, lesquelles fournissent un moyen très simple d'exprimer en nombres les relations entre les côtés et les angles des triangles.

(1207) Déf. Pour les fins du calcul trigonométrique, on divise la circonférence du cercle en 360 parties égales qu’on appelle dégrés ; chaque dégré se divise en 60 parties égales appelées minutes; chaque minute en 60 parties égales qu'on nomme secondes ; lu seconde se divise encore en 60 parties égales appelées tierces, et ainsi de suite; mais plus communément on divise la seconde en décimales, c’est-à-dire, en dixièmes, centièmes, millièmes, etc., de seconde. Et, autant il y a de dégrés, minutes, secondes, etc., dans un are quelconque, autant il y a de dégrés, minutes, secondes, ete., dans l’angle que mesure (425) cet arc.

(1208) Cor. 1. La demi-circonférence, ou mesure de

deux angles droits, contient st —100 dégrés; le quart-

de-circonférence, ou mesure d’un angle droit, contient

a ou = 90 dégrés.

(1209) Cor. 2. Tout arc est à la circonférence entière dont il fait partie, comme le nombre de dégrés et parties de dégrés qu'il contient, est au nombre 860; et (427) tout angle est à quatre angles droits, comme le nombre

de dégrés et parties de dégrés dans l'arc qui en est la mesure, est à 360.

(1210) Cor. 3. De là aussi, les arcs qui mesurent un même angle, contiennent—quelque soit le rayon avec lequel on les a décrits —le même nombre de dégrés et parties de dégrés ; car (428) le nombre de dégrés et parties de dégrés contenus dans chacun de ces arcs a le même rapport à 860 que l’angle qu’ils mesurent à quatre angles droits.

(1211) On désigne comme suit les dégrés, minutes, secondes, etc., contenus dans un arc ou angle quelconque ; savoir: ©, /, //, //!, ainsi 49°, 56, 24, 42///, veut dire 49

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dégrés, 86 minutes, 24 secondes et 42 tierces; et 16°, 6’, 15.326//, signifie 16 dégrés, 6 minutes, 15 secondes et 325 millièmes de secondes.

(1212) Déf Rappelons-nous que le complément d’un angle ou d’un arc, est (130) ce qui reste après avoir retranché cet angle ou cet rc de 90°, Ainsi, le complément de 25°, 40’ est égal à 90°—25°,40/=—64°,20/, et le complément de 12°, 4’, 32/' est égal à 90°—12° 4 82//—79° 55/ 28/7.

2° Les deux angles aigus d’un triangle rectangle valent ensemble (262) un angle droit; ils sont en conséquence compléments, l’un de l’autre.

8° Le complément d’un angle étant, par la déf., la dif-

férence entre cet angle et un angle droit; l’excédant d’un

angle obtus sur un angle droit ou la différence entre cet angle et un angle droit sera le complément de l’angle obtus.

(1213) Déf. Rappelons-nous aussi que (180) deux angles qui valent ensemble deux angles droits et par conséquent (1207) deux arcs qui valent ensemble une demi-circonftrence, sont appelés suppléments, l’un de l’autre. En d’autres termes, le supplérnent d’un angle ou d’un arc est ce qui reste après avoir re‘ranché cet angle ou cet arc de 180°.

2° Dans tout triangle, l’un quelconque des angles est le supplément de la somme des deux autres; puisque (250) les trois pris ensemble valent 180°.

(1214) Déf. On appelle sinus d’un arc AB ou de l'angle ACB dont cet arc est la mesure, la droite BD menée par l’une B des extrémités de l’arc, perpendiculairement au diamêtre AF quipasse par l’autre extrémité À du même arc.

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angles est S ; puisque

(1215) Cor. 1. Le sinus d’un quart-de-cire. ou d’un angle droit, est égal au rayon.

(1216) Cor. 2. Le sinus d’un arc est (408) la demicorde du double de cet arc. Or, on a vu (643) que le rayon du cercle est égal à la corde d’un sixième de la circonférence ; donc le demi-rayon est le sinus d'un douzième de la circonférence ou du douzième de 860° ou de 4 angles droits, c.-à-d., de 80°, ou du tiers d’un angle droit.

2° On trouve donc au besoin la corde d’un are, égale au double du sinus de cet arc.

(1217) Déf. Le sinus-verse d’un arc AB ou d’un angle ACB est la partie AD du diamètre comprise entre l’une A des extrémités de l’arc et le pied D du sinus mené par l'autre extrémité B du même arc.

(1218) Déf. La tangente d’un arc AB ou d'un angle ACB est la droite AE qui touche l'arc à l’un A de ses extrémités et qui est terminée par le prolongement du diamètre BG passant par l'autre extrémité.

(1219) Cor. La tangente d’un demi-angle droit, est (248) égale au rayon.

(1220) Déf. La sécante d'un arc AB ou d’un angle ACB est la droite CE menée du centre C du cercle par l'une B des extrémités de l’arc et terminée par la tangente AE qui passe par l’autre extrémité A.

(1221) Cor. L. Il suit des définitions (121, 1218, 1220) que le sinus, la tangente et la sécante d’un angle ACB ou d’un arc AB sont en même temps le sinus, la tangente et la sécante du supplément FCB ou FIB de cet angle ou de cet arc; car, Ja droite BD qui passe par l'extrémité B de l'arc FHB est perpendiculaire au diamètre FA qui passe par l’autre extrémité ; et, pour ce qui est de la tangente AE et de la sécante CE, il suffit de substituer à l’arc FHB son égal (138) AG, pour s’apercevoir que chacune de ces lignes répond à la définition qu’on vient d'en donner.

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458 TRIGONOMETRIE

2° Il est clair (1217) que le sinus-verse de l'angle FCB ou de l'arc FHB=FD,.

(12229) Cor. 2. Le sinus BD, le sinus-verse AD, la tangente AE et la sécante CE d’un arc AB qui mesure un angle donné ACB, est au sinus NO, sinus verse MO, tangente MP ou sécante UP de tout autre arc MN qui mesure le même angle ACB, comme le rayon du premier arc est au rayon du second.

Car, les parallèles BD, NO AE, MP donnent (518 ou 520) BD :NO::rayon CB:rayon CN, et AE:MP::rayon CA ou CB:

rayon CM ou ON ; de plus, CE:

CP::CA:CM; de même, parce que BC: DC::NC:OC, c.-à-d., AC: DC::MC:00C, on a, convertendo (98) et alternando (94) AD:MO::AC: MC; donc, etc.

(1223) Sco. Donc, si l’on construisait, pour un rayon donné, des tables indiquant en nombres les sinus, tangente , sécantes et sinus-verses de certains angles ; ces nombres indiqueraient en même temps les relations ou rapports des sinus, tangentes, etc., des m°mes angles, pour uu rayon quelconque.

Dans ces tables appelées trigonométriques et dont on expliquera bientôt la construction et l’usage, le rayon est supposé égal à l’unité ou à 10, 100, 1000, etc.

(1224) Déf. Pour abréger, on appelle co-sinus, co-tangente, et co-sécante d’un angle ACB ou de son supplément FOB, le sinus, la tangente et la sécante du complément (1212) HCB de cet angle. Ainsi, soit BL ou son égal DC le sinus de l'angle HCB, HK la tangente et OK la sécante du même angle; BL on, CD sera le cosinus, HK la cotangente et CK la cosécante de l'angle ACB, ou de son supplément FCB.

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(122 la ta ACB; HKC, et les CAE, HC ou AC°*=

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