CB
t FB son CB son
CB CB FCB CB CB FCB
B ou FCB
.O=R, 2 cos *—= ang. Xcot.
è ; d'où,
X COS. , sin,
portions qui aira de suite
(1234) Rem. Quant à latangente, elle augmente rapidement À mesure que le point B s'approche de EH, c.-à-d., à mesure que l’arc AB s'approche d'un quart-de-circ.
ou l’angle ACB d’un angle droit; et arrivé à ce point, la tangente proprement dite n'existe plus, puisque la sécante ou droite limitative CE prend alors la direction CH, et devenant parallèle à AE, ne peut plus la rencontrer. La tangente devient doncinfinie et s'exprime : tang. 90°—0 . Le complément de 90° étant O°, on a tang. O°=cot. 90° et cot. O°=tang. 90° ; d'où, cot. 90°=0 et cot. O=o.
PROPOSITION I. THÉORÈME
(1235) Les côtés de tout triangle rectiligne ABC sont entre eux comme les sinus des angles opposés.
Car, ayant mené, de l’un A A quelconque À des angles du triangle, une perpendiculaire AD au côté opposé BC, le triangle rectangle ADB donne (1229 1°) AB: AD::R:sin. PB D SU QU RS B et le triangle rectangle ADC donne AC : AD::R: sin. © ; d'où, (86 et 68) AB X sin. B = ADXR—ACXsin.C; donc, (88) AB : sin. C :: AC: sin. BB, ou alt., AB : AC :: sin. C : sin.B. On ferait voir de même que AB : BC::sin. C : sin. À ; donc AB : AC: BC:: sin, € : sin. B : sin. A ; donc, etc.
et plus aisément les nouvelles analogies que feront subir aux termes de ces. proportions, l'alternation (94) et l’axiome (75) dont il s’agit; et en général, une pareille disposition des termes de deux ou plusieurs proportions fera mieux voir les rapports qui existeront entre ces termes après les opérations de l’inversion (98), composition (95), division (96), etc., etc.
2° Si la perpendiculaire AD tombe en dehors du triangle ABC, les triangles rectangles ADB, ADC donnent encore les proportions R:sin. ACD :: AC: AD et R'sin. ABD ou B:: AB : AD, dans lesquelles les extrêmes sont égaux et les termes moyens en conséquence proportionnels, savoir : sin. ACD : sin. B:: AB: AC; mais l'angle ACB est supplément de ACD: de là (1221) sin. ACB=sin. ACD et l’on a, comme auparavant, sin. C : sin. B:: AB : AC ou AB : AC :: sin. C: sin. B.
(1236) D'ailleurs. En inscrivant dans un cercle le triangle donné, il est clair que chacun de ses côtés est la corde d’un arc double (442) de celui qui est la mesure de l'angle opposé et (1216) la B Û demi-corde d’un arc est le sinus de la el moitié de cet arc; or, les moitiés sont (69) comme les touts ;
donc les côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés.
. PROP. II. THÉOR.
(1237) La somme des sinus de deux arcs AB, AC, est à la diftérence de ces sinus, comme la tangente de la demisomme de ces arcs, est à la tangente de leur dädemidiftérence; c.-à.d., sin. AB + sin. AC : sin. AB—sin, AC:: tang. AB+AC :tang. AB—AC.
Soit AD=AB, BD sera (407) perpendiculaire à OA et DH—BH ; soit encore CG parallèle à OA et par conséquent perpendiculaire à BD, on aura FH=CE, BF=BH+CE=sin.
AB+sin. AC, DF — DH (ou BH)— CE=sin. AB—sin. AC ; de plus, l’are BC—AB+AC et CD = AD (ou AB)
—AC BGF
parce consé DGC are C (12 la di est la arcs ; aisém là, la # de cet de ce (12 BF::
sin. À triang R:tar (12:
taugei au ra) BC oi moitie AD st somn le ra) d'eux
(12 deux la tar est à
Lors du tri- D donnent et R:sin.
êmes sont ortionnels, » ACB est =gin. ACD :: AB : AC
e les touts ; des angles
—AC. Ayant mené GD, GB, on a (1282) BF: FD::tang. BGF : tang. DGF'; mais tang. BGF ou BGC=tang. + arc BC, parce que (440) l'angle BGC=+ BOC dont la mesure est en conséquence (442) 1 BC. On a de même, tang. DGF ou DGC=tang. F DC; donc, BF: FD ::tang. & arc BC : tang. 4 are CD; donc, etc.
(1238) Cor. 1. De même que BF est la somme et DF la différence des sinus des arcs AB, AC, il est clair que GF est la somme et FC Ia différence des cosinus OE, OH de ces arcs; et comme tangente BGF=cot. GBF, on démontre aisément que GF : FC :: cot. 4 arc BC :tang. 4 arc DC; de là, la somme des cosinus de deux arcs, est à la différence de ces cosinus, comme la cotangente de la demi-somme de ces arcs, est à la tangente de leur demi-différence.
(1239) Cor. 2. Le triangle rectangle BFG donne GF : BF::R : tang. BGF ; donc, cos. AB+c0s. AC : sin. AB+ sin. AC::R : tang. + (AB+AC) et de même, à l’aide du triangle DFG, on a cos. AB-+cos8. AC : sin. AB-sin. AC :: R:tang. } (AB—AC).
(1240) Cor. 8. Si les deux arcs valent ense:nbie 90°, la taugente d: leur demi-somme, c.-à-d., de 45°, est égale (1219) au rayon, et l’arc CD étant l’excédant de l'arc BD sur l’arc BC ou sur 90°, la moitié de l’arc CD sera l’excédant de la moitié de BD sur la moitié de BC, c.-à-d., sera l’excédant de AD sur 45° ; donc, quand la somme de deux arcs—90°, la somme des sinus de ces arcs, est à leur différence, comme le rayon, est à la tangente de la différence entre chacun d'eux et 45°.
PROP. III. THÉOR.
(1241) Dans tout triangle rectiligne, ABC, la somme de deux quelconques des côtés, est à leur différence, comme la tangente de la demi-somme des deux angles opposés, est à la tangerte de leur demi-différence ; c.-à-d., AB+ AC : AB—AC :: tang. & (B+C) : tang. 4 C—B.
En effet, (1235) AB : AC ::sin. C:sin. B; d’où, div. (96) AB—AC : AC::sin. C—sin. B:sin, B, et comp. (95) AB+ AC :AC::sin. B+sin. ©: sin. C; d'où (100) AB+-AC : AB— AC::sin. B+sin. C : sin. O—sin. B; mais, par la dernière proposition, sin. B+sin. C : sin. C—sin. B::tang. 4 (B+-C): tang. } (C—B); de là (75 Ax.) AB+-AC : AB—AC::tang. 4 (B+C) : tang. 4 (C--B). Voyez la note, page 462.
(1242) Autrement, el sans l'aide du dernier théorème (1237). Ayant prolongé BA d'une quantité AD=AC, joint DC, mené AE perpendiculaire à CD, et AF, EG parallèles à BC; on a (251) l'angie exté- B g rieur CAD=B+C, l'angle DAE = (2385 et 236) CAD=—1 (B+C), et parce que l'angle DAF—B, à cause de AF parallèle À BC, il est clair que l'angle FAE=1(C—B). Maintenant la parallèle EG, menée par le point milieu E de CD, bissecte (509 ou 518) le côté BD du triangle BDC; on a donc GD —GB=} BD=+} (AB+AC), à canse de AD=AC par constr., et AG=(3866) }(AB—AD)—}(AB—AC) Dans le triangle rectangle AED, prenant pour rayon le côté AE, l’autre côté ED devient (1229) la tangente de l’angle DAE, c.-à-d., de 4 (B+C), et EF la tangente de l’angle FAE, c.-à.d., de 4 (C—B) ; et les triangles semblables GED, AFD donnent (518) GD: GA :: ED: EF ou (78 Ax.) 2GD : 2GA :: ED: EF, c.-à-d., BD (ou BA+AC) : 2GA (ou AB—AC) :: tang. DAE ou tang. } (B+0) :tang. FAE ou tang. 4 (C—B); donc, etc.
(1243) Sco. A l’aide de 4 (B+C) et de 4 (C—B), on obtient B et C séparément (368) savoir : C=+4(B+C)+4 (C—B) et B=4(B+C)-#(C—B) ou, après avoir trouvé C, on a B— (B+C)-—C; le plus grand C des deux angles cherchés étant toujours opposé, comme on l'a vu (267) au plus grand côté AB, et le plus plus petit angle B, au plus petit côté AC.
(124 rectil culai
somm autre:
côtés, BD+1 Cet été dé perpet du tri qu'il « la per] faisau segme premi C’, de (124 AC)= DOC) :
obtier +4 (B (BD+
(12 de l’t plié adjac deux
guiva
u, div. (96) (95) AB+ AC : AB-— a dernière k (B+0):
AC::tang.
k CAD=—1 * parallèle faintenant ), bissecte donc GD ir constr., triangle utre côté à-d., de 4 -d., de + nent (518) F, c.-à-d., DAE ou c, etc.
n obtient —B) et in a B— hés étant and côté
