AC

PROP. IV. THÉOR.

(1244) Si du sommet À d’un des angles d’un triangle rectiligne quelconque ABC, l’on abaisse une perpendiculaire AD sur la base BC prolongée s’il le faut ; la somme des segments de la base, est à la somme des deux autres côtés du triangle, comme la différence de ces côtés, est à la différence des segments de la base; ou BD+DC:AB+AC:: AB—AC : BD—DC.

Cette proposition a déjà (578) été démontrée, pour le cas où la perpendiculaire tombe en dedans du triangle, et l’on voit de suite qu’il en est tout de même quand la perpendiculaire tombe :n dehors, = SES AE d faisant attention seulement, que les lu ee. ‘à C seements de la base sont, dans le second cas, comme dans le premier, les distances BD, C’D de chacune des extrémités B, C’, de la base, à la perpendiculaire AD.

(1245) D'ailleurs. On a vu (614) que (AB+AC)x(AB— AC)=(BD+DC)X(BD—DC); d’où il suit (88) que (BD+ DO) : (AB+AC) :: (AB—AC) : (BD—DO).

(1246) Sco. A l’aide de BD+DC et de BD—DC, on obtient BD et DC séparément (367) savoir BD—H} (BD-+D0C) +4 (BD—DOC) et DC=+(BD+DC)-+ (BD—DC) ou DC— (BD+DC)—BD.

PROP. V. THÉOR.

(1247) Dans tout triangle rectiligne ABC, le cosinus de l’un quelconque B des angles, est égal au rayon multiplié par, la différence entre la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle et le carré du côté opposé, divisée par deux fois a raorengre des côtés URSents j Me on BRAS on 008. BR x 2, suivant que l’angle B est aigu ou obtus.

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Car, ayant mené AD per- A A pendiculaire À la base BC prolongée s'il le fant, on a, quand B est aigu (389 transp.) AB°+BC*—AC*= 2BC.BD, à et quand B est obtus on a D CD C B (891 transp.) AC?—(AB°+BC")—2BC.BD. Mais (830) BC. BA : BC.BD :: BA : BD::R : cos. B; donc aussi (73) 2BC. ‘BA : 2BC.BD :: R : cos. B; or 2BC.BD est la différence entre (AB*+BC*) et AC° ; done, deux fois le rectangle AB.BC, est à (:) la différence. entre AB°+BC* et AC°, comme (::) le rayon, est au (:) cosinus de B; c.-à-d., 2AB.BC: AB*+BC*-- AC°,ou AC° — (AB? + BC*) :: R : cos. B; d'où, (86) è 2 2 cos. B aigu = R Pr mer

) ‘ 2 p ,AC*—(AB*+BC") et cos. B obtus = R X— FÉJAT TO

(1248) Cor. Si le rayon=1, on a (1281 2°) BD=—BA Xcos. B et 2BC.BA X cos.B = 2BC.BD ; done, quand B est aigu, 2BC.BA x cos.B—BC*+-BA?AC? et ajoutant AC? de part et d’autre ; AC*+4-2 cos. BXBC.BA=BC*+1BA?; ôtant maintenant de chaque côté 2 cos. BX BC.BA, on a AC*—BC"-2 cos. Bx BC.BA+BA*, D'où, AC=y/(BC°—2 cos. Bx BC.BA +BA?). Si B est obtus, on démontre de la même manière que AC=V BO*+20c0s. BXBC.BA+BA*.

PROP. VI. PROB.

(1249) Etant donnés les sinus de deux arcs AB, BD; trouver le sinus DK de leur somme, et le sinus EF de leur diftérence.

Soit BE=BD, l'arc EA=AB— BD, et EF=sin. EA — sin, (AB— BD). Ayant joint DE et mené CB, on a DL=-sin. BD — (1216) demi-corde de l’arc double DE.

Soient LN, EI parallèles à AC, LH perpendiculaire à AC, c.-à-d., parallèle à BG et à DK. Les tri-

CK HG KA

angles or DL DN=I sembla ou R.

sin. AR

DNL d

DN+L sin, AÏ

(125€ égal à le cosi cosinus de leu divisée