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(1258) D'ailleurs, on arrive encore, et plus aisément, au sinus de 1’, en divisant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, par 180° et par 60’, pour avoir l'arc de 1’; or la demi-circ.=(668) 3.14159265358979 laquelle divisée par 180, puis par 60, ou de suite par (180 X60) 10800, donne l'arc d’une minute=.0002908882086657. D'un si petit are, comme on vient de le dire, le sinus, la corde et l'arc différent presque imperceptiblement du rapport de l'égalité ; de sorte qu'on peut regarder comme sinus de 1’, les dix premiers des chiffres précédents, c.-à-d., .0002908882, et en effet, le sinus qu'on trouve dans les tables de sinus naturels annexées À ce traité, et calculées à 5 décimales, est .00029, et dans celles qui sont portées à 7 décimales, ce sinus est .0002909 ; la dernière décimale des tables étant augmentée d'une unité, quand la décimale suivante est plus quo 5 5.
(1259) Ayant trouvé le sinus de l'arc EU 1 =,0002908882 on en aura (1227) le cosinus—V” R*— —sin.” 1’ V1 sin? sh Ÿ c.-à-d., cos. 1—.9999999577 ; et on a vu (1251) que Du arc : 2 Fr arc : sin. 2 arc ou de. arc double ; on aura donc le sinus de 2’ par la du R: cos. l’:: 2 sin. L’: sin. 2 ou 1 : .9999999577 :: .0005817764 : .0005817764.
Maintenant, on a cos. V1 sin? 2 et (1250) sin. 8 = sin. 2’ X cos. l’+sin. l’Xcos. 2'’=sin, 2’Xcos. 1'+sin. l’Xcos. 2
KR =.0008726646 ; car la division par R, quand R=1, ne change aucunement la valeur de la quantité sur laquelle on opère. Pour #voir le sinus de 4’, il est clair qu’on se servira indiftéremment de l’une ou de l’autre des deux formules (1250) sin. d'=sin. 8 Xcos. 1/+sin. l'x cos. 3°, ou (1251) R : cos. 2':: 2 sin.2’: sin.d'—cos.2’X2 sin.2’=cos.2’X 2 sin.2’=.0011635526.
On aura sin, d/=sin. 4’X cos. 1’+sin. l’Xcos. 4/=.0014544407,
et ainsi de suite.
De même pour les dégrés, ayant trouvé sin. 19, on aurait sin. 20=sin. 1°X cos. 19+sin. 1° X cos. 1° ; sin. 3°=—sin, 2°X cos. 1°+sin. 1° X cos. 2° ; sin. 4° = sin. 8° Xcos. 1°+sin. 1°X cos. 3°, et ainsi de suite.
(1 que, | reuce (sin.
Retra Xsin.
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(12 pliant savoir
gain. ax
sin? @
COS. 4) COS. a il reste
substi:
et. À co X sin.
sin.? a
isément, au rele dont le de 1’; or la sée par 180, l’arc d’une comme on ont presque jorte qu'on des chittres inus qu'on à ce traité, es qui sont la dernière 8, quand la
1002908882 1—sin? É ue R : cos.
ira done le ’: sin. 2’ ou
D) sin. 3'= l'Xcos, 2’
ne change } on opère.
ra indiféles (1250) : cos. 2'::
14544407, on aurait
sin, 2°X sin, 1°X
(1260) On a vu (1252) que 1’, 2’, 8’, étant trois arcs tels que, la différence du premier au second, est égale à la différeuce du second au troisième, on à R: cos. l’:: sin. 2’ : (sin. 1’ + sin, 8) où (78) sin. 8/ + sin. 1’ = 2 cos. 1’ X sin. 2’. Retranchant sin. 1’ de chaque côté, on a sin. 3/=2 cos. 1’ Xsin. 2/—sin, 1. On a de même, sin, 4/2 cos. 1’X sin, 3/— sin, 2’, et ainsi de suite; donc:
2 cos. 1’ Xsin. 1'—sin, 0’=sin. 2—0005817764
2 cos, 1’Xsain, 2/—sin. 1’=sin. 3/=0008726646
2 cos. 1’Xsin. 8/—sin. 2/=sin, 4/=0011635526
2 cos, 1’Xsin. 4/—sin, 3/=sin. 5/—0014544407
2 cos. 1’Xsin, 5/—sin. 4/=sin. 6/—0017453284
2 cos. 1’Xsin. 6/—sin, 5/=sin. 7/—0020362159 Et ainsi de suite.
Ce qui simplifie de beaucoup l'opération, et réduit toute la difficulté à multiplier chaque résultat successif par la quantité, 2 cos. 1/=1.9999999154.
(1261) Appelant a et b les deux arcs, et multipliant l’une par l’autre les deux formules du par. (1249) savoir : sin.(a+b)=sin. a X cos. b+sin. bX cos. a et sin.(a—b)=
R sin. aXcos.b—sin. b X cos. a, on obtient sin.(a+b)x sin.(a—b)=
R sin? a x cos.” b—+sin. a Xsin. b X cos, aX cos. b—sin. ax sin. bX
cos. a X cos. b—sin.? bXcos.” a ; biffant les termes—-sin. a sin. b cos. a cos. b (80) et—sin, a sin. b cos. a cos. b qui se détruisent,
il reste sin. (a+b) Xsin. (a—b}=sin.? a cos? b—sin.? b cos? a ; PE de
substituant maintenant à cos.° a, son égale (1227) R°—sin. a et à cos.? b substituant son égale R°—sin.*4, il vient sin. (a+-b) X sin. (a—b}==sin.? aX(R?—sin.”? b) ein? bx (R*—sin.? a)= LE Er Cou Eu sin.” aXR°—sin? a Xsin.? b—sin.” b x R?+sin.? bXsin.* a; effa- R?
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