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lignes trigonométriques elles-mêmes, ou de leurs représentants numériques, que l’on trouve dans les tables de sinus, cosinus, tangentes, etc., naturels, il est évident qu'il faut faire les opérations de la multiplication et de la division, travail, souvent long et ardu.

Pour obvier à cette difficulté, et réduire toutes les opérations, autant que possible, à des additions et soustractions, on a imaginé de remplacer les nombres eux-mêmes, par d’autres nombres tels que la somme de ces derniers, corresponde au produit des premiers, et la différence des uns, aû quotient des autres, et on a donné à ces nombres le nom de logarithmes.

(1265) Les logarithmes sont donc des nombres tels que la somme des logarithmes de deux nombres correspond au produit de la multiplication de ces deux nombres l’un par l’autre, et la différence de ces logarithmes, au quotient de la division de ces deux nombres l’un par l’autre; ce qui a lieu quand on opère sur deux séries de nombres dont les termes de l’une correspondent aux exposants (84) des puissances (34) des termes de l’autre. Cette dernière série est dite géométrique, et est telle que quand on prend quatre termes consécutifs quelconques de la série ou quatre autres termes quelconques qui soient proportionnels (62) l’un à l’autre, on a (86) le produit des extrêmes égal à celui des moyens. L'autre série est dite arithmétique et est telle que si l’on prend quatre termes consécutifs quelconques de cette série ou les quatre qui correspondent à quatre termes proportionnels de l’autre série, on a la somme des extrêmes égale à celle des moyens.

En effet, soit :

FA UE EC EE a, a,

ou 1, 10, 100, 1000, 10,000, 100,000, 1000,000, 10,000,000

une série géométrique,

et 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, la série arithmétique correspondante ; on aura, conformément à

s représentants sinus, cosinus, | faut faire les n, travail, sou-

’utes les opéraustractions, on es, par d’autres :orresponde au aù quotient des e logarithmes.

nbres tels que es correspond nombres l’un s, au quotient l’autre; ce qui mbres dont les (834) des puisnière série est | prend quatre quatre autres Is (62) l’un à ral à celui des ue et est telle uelconques de quatre termes name des ex-

’, 107, 00, 10,000,000 | 7, la

bnformément à

ce que l’on vient de dire, dx aa x a?=a5 ou 1 x 1000—10 X100=1006 ; les quatre termes correspondants 0, 1, 2, 8, de la série arithmétique, donnent 0+3=—1+2—8 qui est l’exposant de a. Prenant quatre autres termes consécutifs quelconques correspondants, des deux séries, par exemple, d, a, a, a, et 2, 3, 4, 5, on aura encore x = a x a =a7 ou 100»100,000—1000 X10,000—10,000,000, et 2+5=8+4—7 —exposant de 47, Prenant maintenant quatre termes proportionnels quelconques de la série géométrique, soit a° : a” ::

a : &, on aura ax 0 x a= ou 1x 100000=—100 X1000 =100,000 et les quatre termes correspondants 0, 1, 38, 5 de la série arithmétique donnent 0+5—2+8—5—exposant de «°. Il est donc évident que ce qui a lieu pour les termes proportionnels correspondants des deux séries sur lesquelles on vient d'opérer, aura également lieu pour tous autres termes proportionnels correspondants quelconques de ces mêmes séries. De même donc, que les nombres 0, 1, 2, 8, 4, etc., de la série arith., sont les logarithmes des nombres 1, 10, 100, 1000, 10000, etc., de la série géométrique ; de même, si entre 1 et 10, 10 et 100, 109 et 1000, etc., on intercalait un nombre de moyens géométriques, et entre 0 et 1, 1 et 2, 2 et 8, etc., un nombre égal de moyens arithmétiques correspondants, ces moyens arithmétiques seraient encore les logarithmes des moyens géométriques de l’autre série.

(1266) Maintenant on conçoit que, si entre 1 et 10 de la série géométrique, l’on insérait un grand nombre de moyens proportionnels géométriques, il s'en trouverait un égal ou à peu près égal à 2, un autre égal à 8, un troisième égal à 4, un autre égal à 5, 6, 7, etc. ; et si entre 10 et 100, l’on insérait un grand nombre de moyens géométriques, il s’en trouverait un égal ou à peu près égal à 11, un autre égal à 12, un autre égal 13, 14, 15, ete. De même, si entre 0 et 1 de la série arithmétique, l’on inséiait un nombre de moyens arithmétiques, égal à celui des moyens géométriques insérés entre 1 et 10 ; et entre 1 et 2, un nombre de moyens arithmétiques

s Æ LS EC NP TT rer =

k COR RSS An 2 RS LR nt" "lt = DES Te peau | ABS Dur Re LA re ci

NE RR 2 + à jê Eur TES | = gp Se pee pie mé de mnt AUS D le Me mi En

égal à celui des moyens géométriques isérés entre 10 et 100 ; alors, d'après ce que l’on vient de dire, chaque terme consécutif de la série arithmétique serait le logarithme du terme correspondant de la série géométrique. :

(1267) S'il s’agit, par exemple, de trouver le logarithme de 2, 11, 101, etc., avec sept décimales, où à un dix-millionième près; on imaginera une progression géométrique dans laquelle 10 soit le dix-millionième terme après 1, 100 le dixmillionième terme après 10, 1000 le dix-millionième terme après 100, et ainsi de suite ; et entre les 9,999,999 mo. ns géométriques qu’il y aura entre 1 et 10, entre 10 et 100, entre 100 et 1000, etc., on en cherchera un qui soit égal à 2, 11, 101, etc. ou au moins qui ne s’en éloigne pas d’un dixmillionième. On imaginera de * ême entre 0 et 1, 1 et 2, 2 et 8, etc., une progression arith..étique dans laquelle 1 soit le dix-millionième terme après 0, 2 le dix-millionième terme après 1, 8 le dix-millionième terme après 2, etc. ; et le terme de cette progression qui répondra au moyen géométrique substitué à 2, 11, 101, etc., sera le logarithme de 2, 11, 101, etc.

(1268) Pour faire comprendre au commençant, comment on a pu construire les tables de logarithmes, soit proposé de trouver le logarithme de 9 avec 7 décimales. On cherche un moyen géométrique proportionnel entre 1 et 10 ; ce qui se fait (91) en prenant la racine du produit de 1 par 10, c.-à-d., en prenant la racine de 10, laquelle, en poussant l’approximation jusqu'aux dix-millionièmes, est 8.1622777 ; et en même temps on cherche un moyen proportionnel arithmétique entre 0 et 1; ce qui se fait en prenant la moitié de la somme 0+1, c.-à-d., en prenant 4=.5—0.500,0000. Mais parce que le moyen géométrique trouvé n’est pas 9 et qu'il en diffère même de plus d’un dix-millionième, on fait une seconde opération, et l'on cherche un autre moyen géométrique entre celui qu'on vient de trouver et 10, c.-à-d. entre 8.1622777 et 10; on trouv”, pour le second moyen géométrique, 5.6234132; et en même temps on cherche un

moyen à 0.750004 encore toujours de 9 qi nouvea que la d qu’une qu’à la 9.00000 0.954241 ne s’est et qu'e

(1269 expéditi procèdé logarith qu'appr ron une a 7 déci u’ont q!

traité.

(1270 premier c.-à-d., | l'unité :

les loga les proc est clai logarit] 2KX 2— somme somme 8, puise 8X3, €

entre 10 et 1aque terme rarithme du

œarithme de millionième trique dans 100 le dixième terme 99 me;.ns t 100, entre gal à 2, 11, s d’un dixet 1, 1 et 2, laquelle 1 nillionième 2, etc. ; et au moyen logarithme

, Comment Dit proposé Dn cherche 10 ; ce qui 1 par 10, h poussant 3.1622777 ; portionnel t la moitié D000. Mais s 9 et qu'il )n fait une géométrià-d. entre bn géoméherche un

moyen arithmétique entre 0.5000069 et 1.0000000, lequel est 0.7500000 ; et comme ce dernier moyen géométrique est encore trop éloigné de 9, on réitère l'opération, cherchant toujours de nouveaux moyens géométriques moins éloignés de 9 que les précédents. On cherche aussi toujours de nouveaux moyens arithmétiques; on continue jusqu’à ce que la différence du moyen géométique avec 9 soit moindre qu'une dix-millionième ; ce qui n'arrive, dans cet exemple, qu’à la vingt-sixième opération, par laquelle on trouve enfin 9.0000000, et pour le moyen arithmétique correspondant, 0.9542425 qu’on prend pour le logarithme de 9, parce qu’on ne s’est proposé que d'éviter l’erreur d’un dix-millionième et qu’en conséquence on n’a mis que 7 décimales.

(1269) On a véritablement, à présent, des méthodes plus expéditives ; mais en voilà assez pour donner une idée du procédé qu’on peut suivre pour calculer une table de logarithmes. Au ::ste, les logarithmes ne sont la plus part qu'approchés ; de sorte qu’il peut y avoir une erreur d’environ une demi-unité décimale du 7ème ordre, dans les tables a 7 décimales, et même du 6ème ordre, lorsque les tables n'ont que 6 décimales, comm celles qui sont attachées à ce traité.

(1270) Lorsqu'on a trouvé les logarithmes des nombres premiers, 1, 2, 8, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 81, 87, etc., c.-à-d., des nombres qui n’ont aucun autre diviseur que l'unité ; l’on trouve, par une simple addition ou soustraction, les logarithmes de plusieurs autres nombres, savoir : de tous les produits ou quotients de ces nombres premiers. Ainsi, il est clair, d’après ce que nous avons dit (1265) qu’on aura le logarithme de 4, égal au double du logarithme de 2, puisque 2X2=—4 ; on aura de même le logarithme de 6, en faisant la somme des logarithmes de 2 et de 3, puisque 2X8—6 ; la somme des logarithmes de 2 et 4, fournira le logarithme de 8, puisque 2X4:=8 ; de même, on aura le logarithme de 9 ou de 3X3, en prenant le double du logarithme de 3; log. 5+log. 2

=log. 10, log. 6+log. 2=log. 12, log. T+log.2=log. 14, log. 3 log. 5=log. 15, et ainsi de suite; ce qui réduit, après tout, à un assez petit nombre, les logarithmes à trouver par les règles données au par. (1268). De même, on trouve au besoin le log. de 3 égal à la moitié du log. de 9, log. 15—log. 3=log. 5, log. 27—log. 8=log. 9, et ainsi de suite.

(1271) De la nature des progressions géométrique et arithmétique, il suit premièrement, que pour avoir le logarithme du produit de deux quantités, il faut prendre la somme (21) de leurs logarithmes, et pour avoir le logarithme du quotient de deux quantités, il faut prendre la différence (21) de leurs logarithmes. Il suit aussi, que pour multiplier deux nombres l’un par l’autre, il suffit de prendre la somme de leurs logarithmes, cette somme sera le logarithme du produit ; et pour diviser deux nombres l’un par l’autre, on prendra la différence de leurs logarithmes, laquelle sera le logarithme du quotient voulu. D’après ce qu'on vient de dire, il est clair qu’on aura le log. du carré d’un nombre, égal ou double du log. de ce nombre, et le log. de la racine carrée d’un nombre, égal à la moitié du log. de ce nombre; de même on aura le log. du cube d’un nombre, égal au triple du log. de ce nombre, et le log. de la racine cubique d’un nombre, égal au tiers du log. de ce nombre; et en général, on aurait, au besion, le log. d’une puissance ou d’une racine quelconque, d’un nombre, en multipliant ou divisant le log. de ce nombre, par le nombre d'unités dans l’exposant de la puissance ou de la racine proposée.

(1272) Pour faire une règle de trois par logaritlimes, c.-à-d., trouver le quatrième ou (64) l’un quelconque des termes d’une proportion géométrique ; il suit, de ce qui précède, que l'on ajoutera ensemble les logarithmes des termes moyens ou des extrêmes, suivant le cas, et que de leur somme, on retranchera le logarithme de l’extrême ou du moyen connu, pour avoir le logarithme de l’extrême ou

moyen cherché. Par exemple sionaa:a°::a*:x, on aura

CES OR aa" +0" a" a —al=1f; done, 6 est le log. du uombre

cherc log. 5 428+ de 34 duque x. T

progre des e moyen le mo (127 nombr c.-à-d., décima d'unité le nom] ce qui 4 depuis :

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ue et arith- >garithme la somme rithme du différence multiplier à la somme arithme du l’autre, on elle sera le on vient de in nombre, le la racine e nombre ; ral au triple bique d’un général, on une racine sant le log.

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cherché; ou, soit 841 : 428 :: 5797: x, on a log. 428=2.631444, log. 5797=—8.763208 et log. 841=2.532754 ; maintenant, log. 428+log. 5797=—6.894647, duquel, retranchant 2.582754 log. de 341, on a 8.861893 pour log. du terme cherché, vis-à-vis duquel, on trouve dans les tables le nombre 7276, valeur de x. Tout ceci est fondé sur ce que, le quatrième terme d’une progression géométrique, dont on connaît les moyens et l'un des extrêmes, s'obtient (90) en divisant le produit des moyens par l'extrême connu, ou le produit des extrêmes par le moyen connu, pour avoir l’autre moyen.

(1273) On appelle caractéristique d’un logarithme, le nombre qui se trouve devant ou à gauche du point décimal, c.-à-d., le nombre entier séparé par le point, de la partie décimale du logarithme. Ce nombre indique à quelle classe d'unités, par exemple, des dizaines, centaines, etc., appartient le nombre auquel le logarithme correspond. On voit, d’après ce qui a été dit, que la caractéristique de tous les nombres depuis 1 jusqu’à 10 est 0, depuis 10 à 100 la caractéristique est 1, de 100 à 1000 la caractéristique est 2, de 1000 à 10000 la caractéristique est 3; et en général, un nombre contient autant de chiffres, et un de plus, qu’il y a d'unités dans la caractéristique de son logarithme.

(1274) C’est la même chose de multiplier un nombre par 10, ou d'ajouter une unité à la caractéristique de son logarithme; et en général, on multiplie autant de fois un nombre par 10, qu’on ajoute d'unités à la caractéristique de son logarithme ; comme aussi, l’on divise ur nombre autant de fois par 10, qu'on ôte d'unités de la caractéristique de son logarithme.

(1275) Pour ce qui est du logarithme d’une fraction, il est clair que, la fraction #, par exemple, étant un nombre 3 divisé par un nombre 4, on aura, conformément à ce qu'on a déjà dit, le log. de la fraction, en retranchant le log. 0.602060 du dénominateur 4, du log. 0.477121 de son numérateur 8, et le reste 1.875061 (= log. .75) sera le log. cherché; ce qui fait voir que la caractéristique du logarithme d’une fraction moindre que l'unité est négative ; car, la soustraction ne

2 ra sp E LT pr " . : —…— : ce s 4 + n 4 ts er: 4 Dh Pis nn SN A D ei 3

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pouvant se faire, on emprunte un entier, qu’on énonce en conséquence, 1, puisque .875061 excède, de l'unité empruntée, la différence .477121—.602060 ; et en effet, si l’on continue, en descendant, les progressions géométrique et arithmétique :

a a” a a—2? a! & a) d a 10—$ 104 10? 10? 10! 10° 10! 10? 10° .00001 .0001 .001 .O1 .1 1 10 100 1000 D, PT RER RE ERA | dust cac

ne PE 1 ne

l’exposant — 1 ou 1 sera le log. de a | = =10 is, & pres — 1 2

—.1,—2 ou 2 sera le log. de a mi 107 = 5 =-0L

LS à —ÿ. 1 —3 NL —8 ou 3 sera celui dea — 3 —10 = 0 = ,001 et ainsi

de suite. Cependant, pour distinguer le log. d’une fraction de l'unité, dont la caractéristique seule est négative, d’un log. qui serait entièrement négatif, c.-à-d., dont la partie fractionnaire ou décimale serait négative, en même temps que sa caract., on écrit, dans le premier cas, 1, 2, 8, etc. mettant le signe —(moins) au-dessus de la caractéristique, et dans le second cas on écrit —1, —2, —ctc., le signe étant placé devant la caractéristique, c.-à-d. devant le logarithme, Enfin, si le log. était en même temps négatif et celui d’une fraction, on écrirait —1.284567, —2.345678, —etc.

(1276) Pour trouver le log. d’un nombre entier joint à une fraction, par exemple de 38 5, réduisez l’entier en une

fraction de même dénominateur, vous aurez 154+2—17 dont 5 5

le log.=log. 17—log. 5.

277) Le complément arithmétique d’un logarithme, est ce qui reste, après avoir retranché ce log. de 10 ; ainsi 10—9.274687=—0.725313 est le complément arithmétique de 9.274687 ; etsil est à démontrer que l’on obtient correctement la diflérence entre deux logarithmes, en ajoutant au premier le complément arithmétique du log. à sous-

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