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BROC, ERC, etc., sont donc tous rectangles en R et ont pour

hauteur commune CR. Maintenant, parce que KR est un point du diamètre AA’ du cercle AEA’, et que ce point n’est pas le centre du cercle AEA’; car son centre est évidemment (1152) en O (centre de la sphère) où la perpendiculaire menée du pôle P rencontre A’A; on a (454) BR moindre A’R, ER < BR, BR < ER, et AR < BR, ou, ce qui est la même chose, on a BR > AR, AR >B'R, et ainsi de suite. On aura donc, À cause de CR commune, (A/R° + CR) > (B'R° + CR), et par suite, A’C° > B’C* on A’C > BC. On aura de même, (AR° + CR?) < (BR? + CR?) ; d'où, AC*° < BC* et AC < BC. Mais une plus grande corde A/C sous-tend un plus grand arc A’C; donc l'arc A'C > l’are B'C, l'arc B’C > l'arc EC, l’are BC > l'arc AC, ou AC < BC, et ainsi de suite; donc, etc.

2° Soit E le point milieu de ABA, E sera le pôle de ACA’ et l'arc EC sera un quart-de-cercle ; et comme tout arc BC est < EC et tout arc B'C > EC, BC sera < quart-de-cerele et B'C > quart-de-cercle. Il est clair que la même chose aura lieu du côté opposé de la perpendiculaire AC’ ; tout arc bC étant < et tout arc LC > que eC = EC ; done, suivant que AB, Ab seront, ou non, de même affection, c-à-d., ‘chacun < ou > AE = Ae, les arcs BC, &C seront aussi de même ou de différente affection ; et si AB = Ab on aura, par la prop., BC = EC.

8° Les points E, e, étant encore les pôles de ACA’, l'arc CE sera = 90° et sera (1153) perpendiculaire à ACA'; tout autre arc BC, moindre que EC, formant avec ACA” un angle aigu ACB, et tout autre arc B’C, > EC, formant avec ACA” un angle obtus ACB”. Or, quel que soit BC, < ou > 909, l'angle ABC sera toujours aigu où A’BC toujours obtus, et la même chose aura lieu du côté opposé de la perpendiculaire ACA’ ; d’où il suit que si pendant que AbC est aigu, ACB est aussi aigu, BC sera < 90°, et si ACB est obtus, B'C sera > 909 ; donc, dans le triangle CB, suivant que AC,

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jue KR est un que ce point 1 centre est où la perpen- | a (454) B'R < BR, ou, ce BR, et ainsi une, (A/R° + C* ou AC > - CR?) ; d'où, de corde A’C A'C > l'arc C, ou AC <

pôle de ACA’ ut arc BC est t-de-cercle et même chose AC’ ; tout D ; done, suiction, c-à-d., ont aussi de Ab on aura,

ACA, l'arc ACA'; tout A’ un angle it avec A CA

ou > 909, ars obtus, et perpendicubC est aigu, st obtus, B'C t que AC,

ACB, sont de même affection ou d'affection differente, BC sera > ou < 900,

(1343) Cor. 1. Si AC —AP = 90, on aura AC = BC= BC = ete, ; d'où il suit que, dans le cas (1836, 1°) des ‘‘ deux côtés et un angle opposé à l’un deux,” si l'angle donné A on BAC était droit, le côté AC'= 90°, et BC par conséquent (1153) aussi = 909, le problème serait indéterminé, puisque toute position quelconque B’ du point B sur la circonférence AEA’ déterminerait un triangle B'AC qui répondrait aux données et dans lequel on aurait l'angle B’ droit (1153) et la base AB” indéterminée.

2° Mais si AC est <'ou > 90°, iln'y aura pas (455) deux droites égales BR du même côté du diamètre AA’ et par conséquent, il n’y aura pas nou plus deux cordes égales BC, ni deux ares ou côtés égaux BC; donc, il ne pourra y avoir qu'un seul triangle ACB, c’est-à-dire, une seule solution du problème des ‘deux côtés et un angle opposé à l’un d'eux.” J

3° Il est à peine nécessaire d'ajouter que l’indéterminé dont on vient de parler (1343) existerait aussi, sous les mêmes circonstances, dans le cas (13886, 2°) des “ deux angles et un côté opposé à l’un d'eux,” c-à-d., si A était droit, AC = 90° et B par conséquent aussi, droit; et cette ambiguïté cesserait d'exister, si AC était < ou > 90°

(1344) Cor. 2. Si les deux grands cercles ACA’ AEA’, font l’un avec l’autre un angle aigu BAC ou A — À, il est clair que la perpendiculaire menée du point C au plan de ADA’ tombera en-deçà de AA’, soit en KR, et qu’elle sera encore perpendiculaire (882) au diamètre aD qu’elle rencontre dans ce plan ; d’où, par la proposition (1242) DC sera le plus petit, et aC le plus grand de tous les arcs

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