PROP. III

(1346) Dans tout triangle sphérique rectangle, ACB ou ACB, A'CB’ ou A’CB, les côtés, AB, AC ou AB’ AC... A'B', A'C ou A'B, A’C, qui comprennent l'angle droit, À ou À’ sont de même aflection que les angles C, B ou C, B”, qui leur sont opposés; c’est-à-dire (1334) si les angles sont plus grands ou moindres que des angles droits ; les côtés qui leur sont opposés, seront plus grands ou moindres que des quart-de-circ. Et réciproquement, si les côtés qui comprennent l’angle droit, sont plus grands ou moindres que des qnart-de-circ. ; les angles opposés seront plus grands ou moindres que des angles droits.

Ayant bissecté en D le demicercle ABA’, on aura AD — A'D = 90°; et parce que, par hypothèse, l'angle À ou BAC est droit, le demi-cercle ACA est perpendiculaire au plan du demi-cercle ABA’; donc D est (1152) le pôle de ACA’, et l’are DC — (1153) 90° ou un quart-de-cercle. De plus, l’are CD est (1153) perpendiculaire à ACA'; c.-à-d., fangle sphérique ACD est droit. Donc, quand AB est moindre que AD, l’angle opposé ACB qui

(*) L'élève fera bien de s’aider ici de quelques cercles en carton ou en papier fort et de même rayon, dont il en pliera un (à l'endroit AA’ d’un diamètre) de manière à en former un onglet sphérique, ABA’CA ou plutôt deux demi-grands cercles ADA’, ACA’, que le pli AA’ lui permettra d’'ajuster, sous un angle quelconque A, droit, obtus ou aigu. Il couperu alors ou pliera les autres cercles, en sectenrs égaux, ou supplémentaires l’un de l’autre, et de dimensions proportionnelles à la valeur de l’angle A. Ces divers secteurs convenablement disposés, le sommet ou centre de chacun d'eux, au centre de l’onglet, c’est-à-dire, de la sphère, et leurs côtés OB, OC, OD, O etc., en contact avec les deux demi-grands cercles ADA, ACA, fourniront une idéé assez juste des arcs ou côtés et des angles ou des triangles sphériques ABC, AB'C, A’B’C, A’BC, dont il s'agit. Voyez aussi la note, page 448.

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l’'ang récip > 90 l'ang A'B

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Cai pôle ( n’est éloigr que { moin 90° e En sc et AC

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carton ou en droit AA’ d’un A’CA ou plutôt mettra d’ajusperu alors ou itaires l’un de le A. Ces ditre de chacun urs côtés OB, ADA’, ACA, ou des trianoyez aussi la

est moindre que ACD, est < 90° ; et quand AB > 90°, l'angle ACB’ qui est plus grand que ACD, est > 90°; ou, réciproquement, si ACB < 90°, on a AB < 909, et si ACB” > 909, on a AB’ > 90°. De même, il est clair, que quand l'angle A’CB > 90°, AB est > 90°; et quand A’CB’ < 90°, A'B' est < 90°; et réciproquement. (*)

(1347) Cor. L Si, dans un triangle sphérique rectangle, ACB ou A’CB, les deux côtés AB, AC ou A’B, A’C qui contiennent l’angle droit, sont de même affection, l’hypoténuse CB sera moindre qu’un quart-de-cercle ; et si ces côtés, AB’, AC ou A’, AC sont d'affection différente, l’'hypoténuse B'C sera plus grande qu’un quart-decercle.

Car, ayant bissecté en P le demi-cercle ACA, P sera le pôle de ABA”, comme D est celui de ACA'; et, parce que C n’est pas le pôle du cercle ABAÂ” et que l’arc CB est plus éloigné de CPA’ que ne l’est CD, CB est (1342) moindre que CD ; or, CD est un quart-de-cercle; donc CB est moindre qu'un quart-de-cercie ; et de même, quand A’C > 90° et A’B > 90°, il est clair qu'on a encore CB < 900. in second lieu, si AC < 90° et AB > 90°, ou A’B’ < 90° et A’C > 90°, il est nou moins évident qu’on aura CB’ > 90°, à cause de CB’ moins éloigné du plus grand arc CPA’ que ne l’est CD ; donc, etc.

2% Réciproquement, il euit de ce que l’on vient de démontrer, que si l’hypoténuse d’un triangle rectangle est moindre ou plus grande qu’un quart-de-cercle ; les côtés seront de même affection ou d’affection différente.

(*) Comme les expressions ‘‘quart-de-circonférence”? ‘ demi-circonférence” se rencontrent souvent, dans ce livre; on écrira quelquefois, pour abréger, ‘‘ quart-de-cercle,”” (demi-cercle ; ’” faisant attention seulement, de distinguer, au besoin, le sens (186) dans lequel on doit entendre ces expressions. Pour ‘‘ quart-de-cercle,” on écrira aussi ‘90°, pour ‘‘ demicercle,” 41809 ; ” et de même pour angle droit, on écrira quelquefois ‘{ 900," et 1809’ pour ‘deux angles droits.”

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580 TRIGONOMETRIE

8° Puisque, par la prop., les angles obliques d’un triangle rectangle sont de même affection que les côtés opposés, et que par le corollaire, l’hypoténuse est moindre ou plus grande que 90°

suivant que ces

côtés sont de même on de différente affection ; il en résulte

que suivant que l’hypoténuse est moindre ou plus grande qu’un quart-de-cercle ; les angles obliques sont de même ou de différente affection; et réciproquement :

4° Suivant que les angles obliques (*) d’un triangle rectangle sont, ou non, de même affection ; l’hynoténuse est moindre ou plus grande qu’un quart-de-cercle.

5° Parce que les côtés sont de même affection que Îles angles opposés, et que l'affection de l’hypoténuse dépend aussi de celle des côtés ou des angles ; il suit que quand un angle et le côté adjacent sont de même affection, l’hypoténuse est moindre qu’un quart-de-cercele ; et :

6° Quand un angle et le côté adjacent sont de différente affection, l’hypoténuse est plus grande qu’un quart-decercle.

7° Si l'hypoténuse est moindre qu’un quart-de-cercle, un côté et l’angle adjacent seront de même affection.

8° Si l’hypoténuse est plus grande qu’un quart-decercle, un côté et l'angle adjacent seront d’affection différente.

(*) L'on dit ‘obliques ” pour distinguer de l’angle droit, les deux autres angles d’un triangle sphérique rectangle; car ces ang ts ne sont pas néces-

sairement aigus, comme dans le cas du triangle rectilis e de même nom, et au contraire ces angles, comme on l’a vu (1190) pruvent être droits et même obtus; ainsi, dans ACB, B et C sont tou 4 ins ; dans A’CD, C est droit et D aigu; dans ACB’,B est aigu et C obt \'CB', C est

aigu et B obtus; dans ACD, C est droit et D obtus. et da CB, Bet © sont tous deux obtus.

(134 la per OPpose la ba laire t à la ba en ded 4° ADO, par la angles aftectic CD; 0 aux d l'aftecti c.-à-d.

affectio 9° Æ triangl CD ser mais D BAC :

l’aftect celle d de cell g9-T sont d base, 0 d'affec:

49 ] laire t car, Si ment :

ant que ces | en résulte ‘e ou plus iques sont roquement :

un triangle \ynoténuse cle.

ion que Îles use dépend > quand un on, l’hypo-

différente à quart-de-

-de-cercle, fection.

quart-de- ’affection

(1348) Cor. 2. Dans tout triangle sphérique, ACB, si la perpendiculaire CD menée d’un des angles au côté opposé, tombe en dedans du triangle ; les angles À, B, à la base, seront de même affection : et si la perpendiculaire tombe en dehors, sur la base prolongée ; les angles à la base seront d'affection différente. Car si CD tombe en dedans, on a:

1° Les triangles rectangles ADC, BDO, dans lesquels, €

CH par la prop. chacun des angles À et B est de même B D affection que le côté opposé A à | Lo LA D CD ; or ce côté est commun B

aux deux triangles ; donc l'affection de CD est commune aux deux angles A et B;

c.-à-d. que ces angles sont de commune, ou de même affection.

2° Et si CD tombe en dehors du triangle, on aura les triangles rectangles ADC, BDC dans lesquels l'affection de CD sera commune à l'angle B et à l'angle extérieur DAC ; mais DAC est supplément de À ou de BAC et l'affection de BAC est en conséquence différente de celle de DAC; or l'affection de B, comme on vient de le voir, est la même que celle de DAC ; donc l'affection de À (BAC) est différente de celle de B.

8° Réciproquement, il est clair que si les angles A et B sont de même affection; la perpendiculaire tombera sur la base, ou en dedans du triangle ; car, si non, À et B seraient d'affection différente.

4° Et si À et B sont d'affection différente, la perpendiculaire tombera en dehors du triangle ou sur la base prolongée ;

car, si non, À et B seraient de même affection, contrairement à la supposition.