PROP. IV

(1349) I1 y aura toujours deux triangles rectangles, ABC, AB’C dont un côté AC et l'angle opposé B de l’un seront égaux à un côté AC et à l'angle opposé B’ de l'autre ; et dont les autres côtés AB, BC et l’autre angle oblique © du premier, seront les suppléments des autres côtés AB’, B'C et de l’angle correspondant C du second.

En effet, ayant prolongé ACA’, d’une quantité A’C'= AC, pris A’B’ = AB, joint B’C’ et prolongé B’C’ pour rencontrer ACA’ ; B'C’ prolongé tombera (984) en OC, à cause de CA’C’= A’C + A’C' = A'C + AC = 180° ou un demi-cercle. Cela posé, on aura (1177) B'C’=—BC; car AC’ a été fait égal à AC, A’B' à AB et l'angle B’A’C’ qui est supplément de B’A'C est en conséquence droit et égal à l’angle À du triangle ACB: donc B'C= supplément de B’C’, c.-à-d. de BC; et l'angle AB'C, égal à son opposé au sommet A’B’C”, est (1177) égal à ABC ; donc:

2° Si pour résoudre un triangle sphérique rectangle on ne donne qu’un côté et l'angle opposé ; il y aura ambi. guïte, c.-à-d., deux réponses au problème, ou deux solutions qui repondront aux données,

(1850) Cor. Puisque C est un point quelconque dans le demi-cercle ACA’, et que par ce point, et le centre O de la sphère, on peut foire passer un plan quelconque OCa ou OCw’, tel que ce plan fasse avec le plan de ABA’ un angle quelconque BaC obtus, ou Ba/C aigu ; il suit que A étant

un ans

B'C so que da «'B, a’ plus q a CB’; angles que) dd égaux pourvi de l’ur corres 2° E avoir € et l’ang opposé onglet étant côté do menés

. taires |

somme CB, ©]

on au

A étai aig

Car, A'C; et con

rectangles, é B de l’un oosé B’ de utre angle des autres

ü second,

) + A’C’ = 6, on aura A'B' à AB

’C est en gle ACB:

et l'angle 1177) égal

rectangle ura ambi.k solutions

c" un angle A étant

un angle quelconque, on aura l'angle B’= B, pourvu que B'C soit égal au supplément de BC; mais, il est clair aussi que dans ce même cas, les arcs AB, AL’, c.-à-d. aB, 4B’ on a'B, a'B’ ne seront plus supplémentaires l’un de l’autre, non plus que les angles ACB et ACB’ ou aCB, aCB' et a’CB, a CB’; donc, il pourra exister deux triangles obliqueangles différents ACB et ACB’ (A étant un angle quelconque) dont un côté AC et l’angle opposé B de l’un, seront égaux à un côté AC et à l'angle opposé LB’ de l’autre ; pourvu que le côté B’C opposé à l’autre angle donné A de l’un de ces triangles, soit égal au supplément du côté correspondant BC de l’autre.

2° En d’autres termes: la condition à laquelle on pourra avoir deux triangles oblique-angles différents, dont un côté et l'angle opposé de l’un soient égaux à un côté et À l’angle opposé de l’autre: est que l’on puisse avoir dans un même onglet (990) ABA’CA de la sphère, (l'angle A de l'onglet étant celui des deux angles donnés qui est adjacent au côté donné AC) ou sur la surface d’une même lune (989), et menés d'un même point C, deux arcs CB, CB’ supplémen-

- taires l’un de l’autre ; c.-à-d., que l’on puisse mener du

sommet C ou du troisième angle Cu triangle, deux arcs CB, CB’ dont l’un soit le supplément de l’autre.

(1351) Soit donc ACB ou A’CB un triangle, dans lequel on a un côté AC ou AC, et deux angles BAC, ABC ou B'A'C, A'B'C ; on aura; c.-à-d.: dans le cas (13836, 2°) des

‘ Deux angles et un côté opposé à l’un d'eux.”

1° Si AC < 90° et BC < AC... une solution.

2° $i A’C> 909 et BC<AC (sup.

de A'Chssssssssssssss... une solution.

À étant aigu.

Car, si BC est moindre que AC, ou que le supplément de A'C ; le sup. de BC sera plus grand que A’C (sup. de AC) ; et comme A’C est (1844) plus grand que tout autre arc B’C