PROP. V

(1352) Que la perpendiculeire menée du sommet à la base d’un triangle sphérique quelconque, tombe en dedans ou en dehors du triangle ; on aura, dans les de1x cas, le moindre segment de la base adjacent au moindre ou au plus grand des deux autres côtés du triangle, suivant que la somme de ces côtés sera moindre ou plus grande qu’un demi-cerele,

En eflot, soit A BD" un grand cercle do la sphère, DOD' un demi-grand cercle perpendiculire au premier et (un point quelconque dans ce dernier, autro quo P, pôle do ABD’, Noient encore ACA', BOB deux demi-grands cercles quelconques passant par C et terminés de côtés opposés de la perpendiculaire BCD”. Cette construction donne quatre triangles sphériques ACB, A'CL", A'CB, ACB’, la perpendiculaire CD, CD’ tombant en dedans des deux premiers et en dehors des deux autres, Soit aussi BD moindre que AD et B'D’ en conséquence moindre que A’D’, À cause de A’D’-: AD et de B'D’-- BD (984 ot 138). On aura (1342) CA” > CB et par conséquent (CA’ + CA) > (CA + CB); c.-à-d. que la somme des côtés CA, CB du triangle ACB sera moindre qu’un demi-cercle, et la somme des côtés CA, CB’ du triangle A’CB en conséquence plus grande qu’un demi-cercle ; or, AD est par hyp. s BD; donc (1342) CA > CB et CA’ < OP”, ou ce qui est la même chose, quand CA : OB, on a AD > BD, et quand CA’ < CB’, on a AD’ > B’D’; donc:

1° Quand la somme des côtés CA, CB est moindre qu’un demi-cerele, et que la perpendiculaire CD tombe en dedans du triangle; le moindre segment BD de la base AB cst adjacent au moindre côté CB, ou le moindre côté CB au moindre segmont BD.