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538 TRIGONOMÉTRIE comme AF est (1214) perpendiculaire à OB, EF est aussi CE, (904) perpendiculaire à OB ; cela posé, on a (1807, 13) dans le sin le triangle rectiligne F'AE, rectangle (882) en À, la propor- FE, ( tion AF:R::AËE : tang. AFE ; donc, sin. AB : R :: tang. OB d AC : tang. ABC ; äonc, etc. que (1856) Cor. Puisque par cette prop. on a sin. AB:R:: rectil tang. AC :tang. ABC, ou alt. (94) et inv. (93) tang. AC: CE : sin. AB::tang. ABC:R; et parce que (1225) R : cot. ABC (13 ::tang. ABC:R; donc (75 Ax.) sin. AB: cot. ABC ::tang. suppe AC:R. (1) | ‘ chact en fe PROP, II. THÉOR. conq côtés (1357) Dans tout triangle sphérique rectangle AC, rue le sinus CE de l’hypoténuse BC, est au rayon, comme le ns sinus CF de l’un quelconque AC des deux autres côtés, pes est au sinus de l’angle ABC opposé à ce côté. (2) de ce Car, d’abord, CF étant le ni ne sinus 4e AC, c.-à-d., (1214) nl perpendiculaire à OA et (926) ne perpendiculaire au plan OAB, non à cause de l'angle droit À; théor si du point F l’on mène 0 Frot) —74 FE perpendiculaire à OB, Ë et que l’on joigne ensuite B (1) Renouvelons ici la recommandation déjà faite à l'élève (voyez la note, page 462) quand il y a à déduire une proportion de deux ou plusieurs autres proportions : d'écrire ces dernières, les unes au-dessus des autres ; ce qui indiquera de suite l'égalité ou la proportionnalité des antécédents ou des conséquents, et permettra de tirer plus immédiatement de cette disposition des divers rapports, les proportions voulues, (2) Voyez la note, page 448, et menez (dans les conditions voulues par nu

l'énoncé) dans les plans composants OBC, OAB, OAC des angles d'un triangle sphérique rectangle ainsi formé, les droites CE, CF, EF; ce qui cota facilitera de beaucoup l'intelligence de la démonstration. oblic

, EF est ansui (1307, 13) dans | À, la propor- AB: R :: tang,

, Sin, AB:R::

93) tang. AC:

) R:cot. ABC t. ABC ::tang.

ctangle ACB, on, comme le autres côtés, jé. (2)

“de

e (voyez la note, \ plusieurs autres autres ; ce qui técédents ou des cette disposition

ions voulues par des angles d'un CF, EF; ce qui

CE, CE sera (904) perpendiculaire à OB ; c.-à-d,, CE sera le sinus de BC, et l'angle rectiligne FEC formé des droites FE, CE, chacune perpendiculaire à la commune intersection OL des plans OBA, OBOC, sera la mesure de l'angle sphérique B du triangle ABC, Cela étant, on a, dans le triangle rectiligne EF, rectangle (882) en F, la proportion (1807, 9) CE :R:: CF : sin. CEF ; donc, etc.

(1358) La démonstration de ce théorème et du dernier, suppose un triangle dont les côtés et l’hypoténuse sont chacun moindre qu'un quart-de-cercle, et cela seulement pour en faciliter l'intelligence. Mais un triangle rectangle quelconque conduirait au même résultat; car si l’un AC des côtés du triangle était plus grand qu’un quart-de-cercle, le sinus de ce côté étant égal À celui de son supplément, aurait encore le même rapport au sinus de l’hypoténuse BC ; puisque cette hypoténuse serait alors (1349) supplémentaire de celle qui correspondrait à un côté AC moindre qu'un quart-de-cercle, et que son sinus serait en conséquence égal à celui de son supplément. Il est vrai que dans ce même cas, l'angle B’ opposé au côté AC’ > 909 serait obtus ; mais il serait en même temps supplémentaire de B et aurait encore par conséquent le même sinus; de là, l’énoncé du théorème est général.

PROP. III. THÉOR.

(1359) Dans tout triangle sphérique rectangle ACB, le cosinus de l’hypoténuse BC, est au rayon, comme la cotangente de l’un quelconque ABC des deux angles obliques, est à la tangente de l’autre angle ACB,

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Du point B, comme pôlo, F décrivez l'arc DF pour rencontrer en E et F les côtés BC, AC, prolongés du triangle. Puisque l'angle À est droit par hyp., le cercle AF, c.-à-d. son plan est perpondiculaire au cercle BD, et pe 7 DEF décrit du pôle B est aussi (1153) perpendiculaire à BD; d'où, l'intersection F de ces cercles est (1156, 2°) le pôle de BD, Les ares AK, DF sont donc (1153) des auart-de-cercles, comme le sont aussi les arcs BD, BE. Lonc, dans le triangle CEF, rectangle en E, CE est le complément de BC hypoténuse du triangle ACB ; EF est le complément de l’are ED, mesure (1160) de l'angle ABC ; FO, hypoténuse du triangle CEF, est le complément de AC ; et l’are AD qui est la mesure de l'angle CFE est le complément de AB. Or, dans le triangle rectangle CEF, on à (1855) sin, CE : R :: tang. EF : tang. ECF, ce qui, dans lo triangle ACB, donne cos, BC: R::cot. ABC : tung. ACB ; l'angle ACB étant 6gnl (1162) À son opposé au sommet ECF, le cosinus de BC égal (1224) au sinus de son complément CE, et la cotangente de l'angle B, c.-à-d. de l'arc ED qui en est la mesure, égalo (1224) À la tangente do son complément EF ; done, etc.

(1360) Cor. Parce que cos. BC : R:: cot. ABC : tang. ACB, ou, alt., cos, BC : cot. ABC :: R: tang. ACB, et comme (1295) cot. ACB : R::R : tang. ACB ; on obtient (75 Ax.) cos. BC: cot. ABC :: cot, ACB : R, ou alt., cos. BC : cot. ACB :: cot. ABC: R, et inv. cot. ACB : cos. : BC::R : cot. ABC, (Lisez la note, page 462.)

PROP. IV. THÉOR.

(1361) Dans les triangles sphériques rectangles, le

coginu côté a nuse.

Cur, tang. C = COot.

cot, BC R::R (86) co (88) CO 608, À (136:

gontes (66) p (136 CO, et leu de cot, B AB::c c'ogt-À obliqu tange]

(13€ 1° cosin Da ain, C gin.Q de m (13 le cc laut

nn Æ de cos F, DF sont it aussi Joy angle en KE, uglo ACB :

) de l'angle omplément CFE est le ingle CEF, F, ce qui, \BC : tang.

Opposé au nus de son , C-à-d, de ungente de

ang. ACB, ime (1295) ) cos, BC:

\CB :: cot.

30, (Lisez

ngles, le

coginus d'un angle, est au rayon, comme la tangente du côté adjacent à cet angle, est à la tangente de l’hypoténuse.

Car, on a (1855) dans lo trianglo CEF, sin. EF: R:: tang, CE : tang. CFE ; mais sin, EF = c08, ABC, tang. CE = Cot, BC, et tang, CFE = cot, AB; donc, cos, ABC: KR:: cot, BC : cot, AB, Maintenant, parce que (1225) cot, BC : Ris: tang, BC et quo cot, AB: R::R:tang, AB ; on n (86) cot, BC X tung, BC = cot, AB X tung. AB = R?; d'où, (88) cot. BC : cot, AB: :tang, AB : tang: BC; donc, (75 Ax.) eos, ABC: Rittang. AB : tang. BC.

(1362) Cor. L. Il suit de la démonatration que les tangentos de deux arcs quelconques sont réciproquement (66) proportionnelles à leurs cotangentes.

(1363) Cor. 2. l’arco que cos, ABC: R::tang. AB : tan. DO, ot que (1225) R : cot. BC::tang. BC : KR, on à ult., dans les deux proportions, cos, ABC: tang, AB ::R : tang, BC et cot, BC: Rit KR: tang, BC ; d'où, (75 Ax.) cos, ABC : tan. AB::cot, BC : R, ou alt., cos, ABC : cot, BC::tane, AB : R; c'eat-A-dire, le cosinus de l’un quelconque des angles obliques, est à la cotangente de l’hypoténuse, comme la tangente du côté adjacent à l’angle, est au rayon.

PROP. V. THÉOR.

(1364) Dans les triangles sphériques rectangles :

1° Le cosinus d’un côté, est au rayon, comme le cosinus de l’hypoténuse, est au cosinus de l’autre côté.

Dans le triangle CEF, on a (1857) sin. CF: R::sin. CE : sin, CFE ; r Et) sin, OF = cos. AC, sin. CE = cos. BC, et sin. CFE — cos. AB ; donc, 208. AC : R :: cos. BC : cos, AB e de 0 cos. AB : R:: cos. BC : cos. AC.

(1365) 2° Le cosinus d’un côté, est au rayon, comme le cosinus de l'angle opposé à ce côté, est au sinus de l’autre angle.

RERGT PRE ee ne =