TRIGONOMÉTRIE PROP. VIII. THÉOR

(1371) Si, de l’un quelconque C des angles d’un triangle sphérique ACB, l’on mène une perpendiculaire CD au côté opposé, AB, prolongé s’il le faut ; le rectangle des tangentes de la demi-somme et de la demi-différence des segments AD, BD), de la base, est égal au rectangle des tangeantes de la demi-somme et de la demi-différence des côtés AC’ BC. C'est-à-dire : tang. (BD + AD) X tang. } (BD — AD = tang. 4 (BC + AC) X tang. 4 (BC — AC).

Pour sim.

plier la démonstration, soit BD == m, AD = n, BC = 4, AC =d; A!

où aura tang. 8 D A L(m+n)xXtang. F(m—n)= tang. &(a + b) X tang. & (a —b).

. Puisque (1268) cos. a : cos. d:: cos. m : cos. n, et que div. (96) cos. a — cos. b : cos. D :: cos. m — cos. n : cos. n, et comp. (95) cos. a + cos. d : cos. b:: cos. m + cos.n : ras. n; on à (100), cos. a + cos. d : cos. a — cos b :: cos. m + cos. n : cos. m — cos. n; mais (1238) cos. a + cos. b : cos. a — cos. b :: cot. (a + b) : tang. 4 (a — b) et de même, cos. m + cos. n : cos. m — cos. n :: cot. & (m + n) : tang. & (m— n) ; d’où, (75 Ax.) cot, } (a + db) : tang. & (a —b):: cot. 4 (m+n):tang. &(m—n): Et parce que (830) les rectangles de même hauteur sont entre eux cornme leurs bases, on a tang. 4 (a + bd) X cot. & (a + b) : tang. 4 (a + b) X tang. 4 (a — b)::tang. & (m + n) X cot. 4 (m + n) : tang. &(m + n) X tang. 4 (m—n). Or les premier et troisième termes de ce rapport sont (1225) égaux, étant chacun égal au carré du rayon; donc (94) les second et quatrième termes sont aussi égaux, et l’on a tang. 4 (m + n)

x tang.

tang. & ( x tang.

(1372 rectangl

dernier tang. à ( cas, la P (BC + (1374 sphériq son ant de la tri, et dem égal au segmen sont du logaritl positioi

(137 quelco sinus leur di la tan la per cotan;

tangle des rence des

) X tang. 4 AC).

t que div.

, et comp.

ñn; on a n : cos. m ) :: cot. 4 COS. M — X.) cot, 1 —n): Et Dont entre } (a + b) X cot. À premier ixX, étant econd et

à ee

X tang. 3(m—n)=tang. & (a + b) X tang. &(a—b); c.-à-d. tang. à (BD+AD) Xtang. 4 (BD — AD)=tang. 4 (BC + AC) X tang, 4 (BC — AC).

(1372) Cor. 1. Parce que (545, ou 332 et 88) les côtés des rectangles (171) égaux sont réciproquement proportionnels ; on à tang. # (BD + AD) : tang. & (BC + AC) :: tang. 4 (BC — AC) : tang. 4 (BD — AD).

(13783) Cor. 2. Puisque, quand la perpendiculaire CD tombe en dedans du triangle, on a BD + AD = AB, la base ; et quand CD tombe en dehors du triangle, on a BD -- AD — AB; donc dans le premier cas, la proportion dans le dernier corollaire devient, tang. & (AB) : tang. à (BC+AC) :: tang, + (BC — AC) : tang. & (BD — AD) ; et dans le second cas, la proportion devient, inv. et alt., tang. 4 (AB) : tang. 4 (BC + AC)::tang. 4 (BC — AC) : tang. à (BD + AD).

(1374) Sco. Ce théorème est très utile en trigonométrie sphérique ; on peut aisément s’en rappeler, par raison de son analogie à celui (614) de la géométrie rect. ou (1244) de la trigonométrie rect. que : le rectangle de la demi-somme et demi-différence des côtés d’un triangle rectiligne est égal au rectangle de la demi-somme et demi-différence des segments de la base. Cette proposition et les deux suivantes sont dues à Napier, et sont si bien adaptées au calcul par logarithmes, qu’on doit les considérer comme trois des propositions les plus précieuses de la trigonométrie.

PROP. IX. THÉOR.

(1375) Si du sommet à la base d’un triangle sphérique quelconque ACB, l’on mène une perpendiculaire CD ; le sinus de la somme des angles à la base, est au sinus de leur différence, comme la tangente de la demi-base, est à la tangente de la demi-diflérence de ses segments, quand la perpendiculaire tombe en dedans ; mais, comme la cotangente de la demi-base, à la cotangente de la demi-

2 z apres ve éme

me me OT, SR ET en ee

ge ebrahe En © epédptonte Tonde The De

os hr mir ére SA

LOMME DES MEL DE OR PEU ÉD nd

FRE DLL x es

jé mc ET HAE ST MES PARENT IT DNS TRE oE Le LR RES ES

somme des segments, quand la perpendiculaire tombe en dehors du triangle : Et le sinus de la somme des deux côtés, est au sinus de leur différence, comme la cotangente de la moitié de l’angle compris par les côtés, est à la tangente de la demi-différence des segments de l'angle vertical, c’est-à-dire des angles que fait la perpendiculaire avec ces côtés quand elle tombe en dedans du triangle, ou à la tangente de la demi-somme de ces angles, quand la perpendiculaire tombe en dehors. C'est-à-dire, sin, (A + B) : sin. (A—B :: tang. 4 AB : targ. 4 (BD — AD) quand CD tombe en dedans du triangle ; mais sin. (A + B): sin. (A — B):: cot. 4 AB : cot. 4 (BD+AD) quand CD tombe en dehors. Et sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC) :: cot. 4 ACB: tang. 4 (BCD — ACD) quand AD tombe en dedans; mais quand AD tombe en dehors, sin. (BC + AC) : sin. (BC — AC) :: cot. 4 ACB : tang. 4 (BCD + ACD).

Car, dans le triangle BCA, on a (1369) tang.

B:tang. A ::sin.

AD : sin. BD, et de là, div., tang.

A — tang. B :

tang. B :: sin.BD —sin. AD :sin. BD, et comp., tang. À + tang. B: tang. B:: sin. BD + sin. AD: sin. AD et (99) tang. À + tang. B : tang, À — tang.B :: sin. BD + sin. AD : sin. BD -— sin. AD : Or, par le lemme suivant, on a tang. À + tang. B : tang. À — tang. B :: sin. (A + B) : sin. (A —B); et, (1237) sin. BD + sin. AD : sin. BD — sin. AD :: tang. 4 (BD + AD) : tang. (BD — AD) ; donc, parce que (75 Ax.) les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, (lisez la note, page 462), sin. (A + B):sin. (A — B)::tang. 4 (BD + AD): tang. 4 (BD — AD).

Maintenant, quand CD est au dedans du triangle, BD +

AD = tang. 4 BD —A (BD + de deu cotang (BD + (137 la pro AC ::

come AC ::

(LEM sin. (B cos. B tang. à (BC — Maint ACD cot. à À Mais = ACI (BCD :