LEMME

(1377) La somme des tangentes de deux arcs quelconques À, B, est à la différence de ces tangentes, comme le sinus de la somme des arcs, est au sinus de leur diftérence; ou tang. À + tang. B : tang. À — tang. B:: sin. (A+B): sin. (A —B) ; car, (1250, R = 1) sin. À X cos. B + cos. A X sin. B= sin. (A + B), et divisant le tout par cos. À X cos.

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sin. À cos. À étant (1228) = tang. À, et sin. (A + B) cos. À X cos. B — tang. B — nent d'où il suit que tang. À + cos. À X cos. B ? :

tang. B : tang. À — tang. B :: sin. (A + B) : sin. (A — B), puisque (73) l'égalité des diviseurs cos. A X cos. B des deux derniers termes, fait qu’ou peut les supprimer sans en changer le rapport.

sin. B sin. (A+B) ., Sie sin, À cos, cos. À X cos. B° ‘ ‘” cos. À sin. B cos. B

B,ona

= tang. B, on a tang. À +

tang. B= et de rême on prouve que tang. À

PKOP. X. THÉOR.

(1378) Le sinus de la demi-somme de deux quelconques des angles d’un triangle sphérique, est au sinus de leur demi-diftérence, comme la tangente de la moitié du côté adjacent à ces angles est à la tangente de la demidifférence des côtés qui leur sont opposés: et xe cosinus de la demi-somme des mêmes angles, est au cosinus de leur demi-diftérence, comme la tangente de la moitié du côté qui leur est adjacent, à la tangente de la demisomme des côtés qui leur sont opposés ; ou, sin. 1(A+B): sin. + (A — B) :: tang. & AB : taug. 4 (BC — AC); et cos. 4 (A + B) : cos. 4 (A — B):: tang. 4 AB : tang. 4 (BC + AC).

Pour simplifier la démons-

tion, soit À + B — 2S, À — c ï

B = 2D, la base AB = 2B,

et la différence des segments B D

de la base, ou BD — AD = A 2X. Alors parce que, par ! À B

le dernier théorème, on a sin. (À + B): sin. (A —B)::tang. 4 AB : tang. 4 (BD— AD) on aura sin. 28: sin. 2D ::tang. B:tang. X. Maintenant, sin.

l'expre on aur Maint.

on a S::tar cos. S sin. 5 égales

tan£

tang