Déterminez le contenu superficiel d’une

zone dont les côtés sont 96 et 60 et la lar- Rep. 2135.82.

geur 26?

& Siles deux cordes parallèles d’une zone circulaire sont 20 et 15 et leur distance perpendiculaire 17.5 ; quelle est la surtace ? 5 On demande l’aire d’une zone dont chacune des cordes parallèles est 40 et la largeur 36 ?

6 L'une des cordes parallèles d'une zone de cercle est de 30 et passe par le centre du cerele, l’autre est de 16 ; on demande la surface,

REM. On pourrait aussi considérer le segment donné comme composé du trapèze ABFD et des deux segments égaux AD, BF pour en déterminer

de cette manière la surface.

Trouver la surface d’une lunule, ou l’espace compris entre les arcs de deux cercles excentriques qui s’intersectent.

(1459) REGLE,. Trouvez (436) par l'avant dernier problème les

aires de: deux segments qui vont à former la lunule : leur différence sera la surface requise.

Mésenrenil

Lo Ve LIN ee AR PTT

Ex. 1. La corde AB d’une lunule AEBLA est 20 et les hauteurs des segments composants AEB, ALB sont 5 et 8; quelle est la surface de la lunule ? Rep. 49.392704.

2. La corde = 20, et les hauteurs des segments 10 et 2 ; quelle est l’aire de la lunule ? Rep. 130.204.

&. Déterminer la surface d’une lunule dont la longueur de la corde est 48, et les hauteurs des segments 18 et 7? Rep. 408.608.

4. La base AB d’une lunule est 10 est les rayons AC, AD des deux arcs contenants AEB, ALB sont 7 et 6 ; trouvez la surface.

5. La corde d'une lunule étant 10 et les hauteurs des segments 15 et 13 ; quelle est la surface ?

PROBLÈME XVII

Trouver (*) la circonférence d’une ellipse.

Cette figure que fait voir toute coupe FI, AD (997) ou FE, RN (1099) d’un cylindre, ou be (1055), ac (1057) d’un cône par un plan qui étant incliné à

(*) Quoiqu'on ne puisse à l’aide des principes dont il a été question jusqu'ici, donner une démonstration de cette règle et des quatre suivantes ; on a cru cependant devoir les insérer ici pour compléter les règles nécessaires au toisé des surfaces planes, ou de celles (8140, D'ail.) qui étant à simple courbure, peuvent se développer en surfaces planes.

l'axe la c théâ etc., voûl ouve

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des deux arcs

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l'axe de ces solides en rencontre les deux côtés, se présente fréquemment à la considération du mesureur. On la retrouve dans le cirque, l'amphithéâtre, le parterre, etc., et sur une plus petite échelle dans l’œil-de-bouc, etc., mais c’est surtout la demi-ellipse que l’on rencontre, dans la coupe des voûtes de toutes sortes, dans la tête cintrée d’une porte ou fenêtre, ou d’une ouverture arquée entre deux appartements, etc., etc.

(1460) On serait peut-être tenté de croire, au premier abord, que la circonférence de l’ellipse dût être une moyenne arithmétique entre les circonférences de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les grand et petit d'amètres de l’ellipse, ou ce qui est la même chose, que cette circonférence dût être égale à celle d’un cercle dont le rayon serait égal à la demisomme des grand et petit rayons de l’ellipse, c’est-à-dire dont le rayon serait moyen arithmétique entre les demi-diamètres de l’ellipse ; et il en est à peu près ainsi pour les ellipses dont les diamètres ne diffèrent, l’un de l’autre que de 25 à 20 pour cent; mais pour se persuader qu'il n'en est pas toujours ainsi, on n’a qu'à recourir à un cas extrême (comme on l’a déjà fait au par. (S®2S) }. En effet, supposons que pendant que le petit axe de l'ellipse est 1, le grand axe soit 1,000,000 ; il est évident que la circonférence d’une telle ellipse sera sensiblement égale au double de son grand diamêtre, c-à-d. 2,000,000 pendant que la demi-somme 500100 + .5 ou 500000 (car on peut négliger le.5), des axes x 3.1416 = 1.570809; et si le petit diamètre était infiniment petit relativement au grand supposé égal à 2, la circonférence exacte serait 4, (double du grand axe) pendant que la circouférence moyenne arithmétique ne serait que de 3.14159 etc., l'erreur étant dans ce cas de 4 — 3 1416 — .8584 ou de près d’un quart. Mais, si l’on ne peut correctement obtenir la circonférence d’une ellipse, de cette manière, il est démontrable qu’on y arrive exactement par la méthode suivante :

(1461) REGLE EI. Multipliez la racine carrée de la demi-somme des carrés des deux diamètres de l'ellipse par. 3.146, et le produit sera la circonférerce voulue.

Ex. %. Le grand diamètre AB d’une ellipse est 15 et le petit diamètre 12 ; quelle en est la circonférence ?

Rep. (AE +0) 4 (B9)=VIRLS = 13.

583 et 3.1416 x 13.583 —42.6722528.

2. Les grand et petit axes étant respectivement 24 et 20 ; déterminer la périphérie de l’ellipse ? Rep. 69.3979.

3. Les demi-diamètres d’une ellipse sont 124 et 73; quel en est le périmètre ? Rep. 64.7667.

(1462) Il est clair que {a demtellipse CBD est égale en périmètre et en surface à Ja demi-ellipse ACB, et que chacune d'elles a pour mesure la

es mette vater

arme

demi-circonférence et la demi-surface de l’ellipse entière. Cette règle et la suivante qui enseignent à trouver la circonférence et la surface de l’ellipse entière fournissent donc aussi le moyen d'arriver au perimètre ACB ou CBD ou à la surface de la demi-ellipse de même nom.

Il est de plus évident que tout autre diamètre EH divise l'ellipse en deux parties de même surface et de même périmètre.

(1463) Il est une propriété importante de l’ellipse qui nous permet de la tracer avec facilité ou de découvrir si une figure curviligne qui ressemble à une ellipse en est une ou non ; c’est que la somme FC + FC, FG + F'G, des rayons menés de deux points F,F’ situés sur le grand diamètre et qu’on nomme foyers ou centres de l’ellipse, à un troisième point quelconque C ou G etc., sur sa circonférence, est constante et égale au grand diamètre AB ; or il est clair que cette propriété là même nous permet d'établir les foyers. En effet, les deux diamètres d’une ellipse quelconque étant donnés, du point C ou D'extrémité du petit axe, comme centre et avec un rayon CF=CF=— OA ou OB=3 AB on intersectera AB en F et F’ les foyers voulus ; puis, des points F et F’ comme centres, avec des rayons FG, F’G dont la somme —=AB, c'est-à-dire, avec un rayon quelconque FG moindre que FB et un autre rayon F’G égal à la différence entre le premier rayon FG et le dia. mètre AB, l’on tracera des arcs dont les intersections en G donneront un point, et en répétant l’opération une suite de points par lesquels on fera passer une courbe qui sera l’ellipse voulue.

(1464) Où, l’on fixera en F et F’ des aiguilles auxquelles on attachera les extrémités d’un fil d’une longueur telle que l’on ait FC + F’C ou FG + F’G =AB ; il suffira alors de tenir le fil tendu au moyen d’un crayon ou d’une pointe que l’on proménera tout autour des deux foyers pour compléter le tracé de l’ellipse.

(1465) Pour faire la même opération sur une grande échelle ; après avoir pris FG ou F’G à volonté, moindre que AF/ ou BF, mais plus grand que AF ou BF", connaissant l’autre rayon=A\B — FG ou AB — F'G, suivant le cas, et FF étant aussi connu=2 Of =2 VOF?=CU2=2 VOA: - 00: on n'aura qu'à calculer l’un FF'G ou F’FG des deux angles à la base du triangle GFF’ et mener l’un des deux rayons de la longueur voulue et sous l'angle requis pour donner un point G de la circonférence proposée; cette opération répétée donnera une série de points par lesquels on fera passer une ligne qui sera la circonférence demandée, Observons aussi que l’on s’exempterait le mesurage du rayon GF ou GF”, en caiculant chacun des angles en F et en F’ pour opérer ensuite une intersection G des directrices FG, F’G.

(1466) Ajoutons qu’une construction géométrique ou graphique sur une petite échelle aurait l’avantage de donner d’une manière plus expéditive et souvent assez exacte tous les angles GFF”, GF'F etc., nécessaires à la détermination des intersections ou points G du périmètre voulu.

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