AND

(146%) On trace encore l'ellipse comme suit : Soit ac=AO ou BO le demi grand axe, ab=CO ou DO le demi petit axe. En faisant mouvoir la droite ac de manière à tenir le point c sur le diam. DC et le point b sur le diam AB, le point a décrira l'ellipse voulue. Dans la pratique la droite ac est une tige ou tringle quelconque, avec des aiguilles ou pointe saillants en a, betc, et l’on dispose à l'endroit des diamètres AB, CD des tringles, rainures ou coulisses pour servir de guides aux points b et c.

(1468) REGLE KIT Quand les diamètres ne sont pas très inégaux, on obtient assez correctement la circonférence de l'ellipse en faisant le produit de la demi-somme de ces diamètres par. 3.1416.

Ainsi les trois derniers exemples calculés de cette manière donnent respectivement pour réponses 42.41 au lieu de 42.67, 69.11 au lieu de 69.40, et 62.83 au lieu de 64.76 ; c’est-à-dire que quand la ditférence entre les diamétres n'excède pas 1 ou ? ou quand les rapports entre les diamètres sont ceux de 5:6 ou de 4:5, l'erreur dans le résultat ne va pas au-delà de rio OU ré et lorsque la différence entre les diamètres est de 4 ou que ces diamètres sont entre eux comme 15:25 l'erreur devient 4, à peu près du résultat entier. Quand les diamètres sont entre eux comme 1 :2, les circonférences obtenues par les deux règles sont entre elles comme 47.12 :49.66, l'erreur étant dans ce cas 4; près. Les diamètres étant comme 1:3, les circonférences sont à peu près :: 63:70, l'erreur étant dans ce cas de 15 près Quand les diamètres sont :: 1:5, les circonférences sont :: 94:113 et l'erreur de 4 près. Enfin si les diamètres étaient entre eux :: 1:10 les périmètres seraient :: 173: 223, et l'erreur de ;5, ou de £ près. Ce qui mettra en mesure de faire choix de l’une ou l’autre règle suivant le degré d’exactitude voulue dans le résultat.

REM. D'ailleurs il est clair qu’on pourrait aussi, après avoir trouvé la circonférence voulue, d’après cette seconde règle, la corriger par l’addition du taux d’erreur ou de défaut proportionné au rapport entre les diamètres,

et tel qu'établi plus haut.

PROBLÈME XVIII

Déterminer la surface d’une ellipse.

(1469) REGLE. Multipliez le produit des deux diamètres par .1854 ; Le résultat sera la surface voulue.

Ex 1. Quelle est l’aire d’une ellipse dont les diamètres sont 24 et 18 ? Rep. 24 x 18—432=AB x CD, et432 x .7854= 339.2928 — surf. ACBD. 2. Si les axes d'une ellipse sont 35 et 25, quelle en est l'aire ? Rep. 687.225.

3. On demande l'aire d’un ovale dont :.. longueur est 70 et la largeur 50 ? Rep. 2748.92.

4. L'axe majeur d’une ellipse mesure 840 chaînons, l'axe mineur 612 chaînons : on demande le nombre d’acres dans cette enceinte ? Rep. 4 acres 6 perches.

(1470) REME. Puisque la règle donne pour surface de l’ellipse l'expresnets sion AB.CD x.7854 ou, ce qui est (87) la même chose (Ar. CD) <

.7854, il suit évidemment que l'ellipse est égale en surface à un cercle dont le diumètre serait moyen proportionnel entre les deux diamètres de

l’ellipse. Soit d ce diam. moyen, on a AB:d::d:CD et puisque (404)

AB“: d° ::d°:CD° il est clair aussi que /: surface de l'ellipse est moyenne

proportionnelle entre celles des cercles ‘nscrit et circonscrit, c'est à dire entre celles de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les deux diamètres de l'ellipse.

(1471) RENMT. Aidés des deux règles qui enseignent à déterminer la circonférence et la surface d’une ellipse ; on pourra les substituer avec avantage à la méthode moins précise et plus longue du par. (48%) dans l'estimation des périmètres et surfaces des bases curvilignes, c’est-à-dire (1460) elliptiques, du cylindre oblique et du tronc de cylindre (997 et 1099) ain«i que celles du cône oblique et du tronc de cône (1055, 1065, 1067, 1140 etc.)

Trouver la surface d’un anneau elliptique.

(1479) REGLE L Déterminez séparément les surfaces des deux ellipses concentriques, et prenez en la différence qui sera la surface voulue.

(REGLE) EX. Multipliez la demi-somme des circonférences parallèles des deux ellipses limitatives par la largeur de l'anneau.

Ex. 1. Quelle est l’aire d’un anneau elliptique dont les diamètres intérieurs sont 10 et 20 et les diamètres extérieurs 12 et 22?

Rep. 10 x 20 x .7854 = 157.08, 12 x 22x.

7854=207.3456 ; la différence 50.2656 de ces deux résultats est la surface voulue de l’anneau.

2. La circonférence extérieure d’une ellipse D est 100, la circonférence intérieu-e 90, la largeur de l’espace intermédiaire étant de 3.5 ; on demande la surtace de l'anneau ? Rep. 332.5.

3. Déterminer la superficie d’un demi-anneau elliptique, dont les périmètres parallèles mesurent 93 et 77 pouces et la largeur 10 pouces ?

la largeur 50 ? p. 2748.9,

e mineur 612 ?

s 6 perches.

lipse l'expres-

rat == ENS NER cb) x *e à un cercle

diamètres de isque (104)

e est moyenne l, c'est à dire les deux dia-

léterminer la er avec avan- ) dans l’esti.

dire (1460) 1099) ainsi 1067, 1140

ue.

es des deux rface voulue.

ences paral-

termédiaire int les péri- 8 ?

Rep. 550 pouces carrés ou 5.9028 pieds c.

4. Evaluer l'aire d’une partie quelconque Aa cC d’un anneau elliptique, dont l'arc extérieur AC est 15, l'arc parallèle ac 12, et la largeur 3 ?

Rep. 40.5.

REM. Il est à peine nécessaire d'observer que si la largeur de l'espace annulaire n'était pas partout égale, où même si l’ellipse intérieure avait une position quelconque par rapport à son enveloppe extérieure, ou un rapport quelconque entre ses diamètres, on n’en obtiendrait pas moins la surface voulue par la première des deux règles de ce problème.

Trouver la surface d’un segment d’ellipse dont la base

est parallèle à l’un ou à l’autre axe de l’ellipse.

(11473) REGLE, Divisez la hauteur du segment par celui des deux diamètres dont cette hauteur fait partie, et trouvez dans la table annexée à ce traité le ses nent de cercle dont le sinus-verse est égal au quotient. Faites alors le produit continu du segment ainsi trouvé et des deux axes de l'eliipse ; ce produit sera la surface voulue.

Ex. 1. Evaluez l'aire du segment ellip- c A tique AGH dont la hauteur AK=10, et les deux axes AB, CD, 35 et 25 ? Sp Rep. 162.04 À O0 BC

2. Quelle est la surface d’un segment d’ellipse, dont la base GH est à 36 du centre O, les axes étant 120 et 40. Rep. 536.75.

3. Déterminez la surface d’un segment d’ellipse, dont la hauteur CL est 8 pouces; les deux axes étant 4 et 3 pieds. Rep.

(1474) REM Si les segments d’ellipses ACD, acd, ace, de la fig. du par. (1KK40) répondent à la définition de l'énoncé de ce prob. on pourra au besoin faire l’application de la règle ici donnée pour en exprimer les surfaces. On estimerait de même au besoin la superficie du segment d’ellipse qui forme la surface supérieure de l’onglet fig. 2 du par. (L148.) Et si le segment à esti. mer était la partie AEFB, CGHD, on aurait la surface voulue égale à la différence entre les demi-ellipses ACB, CAD et leurs segments respectifs ECF, GA.

if :

; l Hi LE F

Trouver la surface d’une parabole.

(1475) Cette figure est celle que présente la coupe d’un cône droit par un plan parallèle à son côté incliné. (ADC, fig. du par. (KH406) en donne une idée). Elle a ceci de particulier que tout point E, H, etc., de la courbe est également éloigné d’un point F qu’on appelle foyer et d'une droite M N perpendiculaire à l'axe CD) qu'on appelle directrice et dont la distance SC du sommet C de la parabole est. égale à la distance FC du foyer an sommet; c'est à dire que l’on a toujours EF=EM, HF= HN, «te; or on démontre que l'endroit F du foyer se trouve en bissectant BD en T. joignant CT, et menant TR perpendiculaire à CT pour avoir DR=CF=CS. Le foyer F trouvé et la position de la directrice MN léterminée, on trace la courbe en menant une série de droites indéfinies GH (appelées ordonnées) parallèles à AB ou perpendiculaires à l'axe CD ; puis, du foyer F comme centre et avec un rayon US égal à la distance entre les parallèles GH, MN on intersccte GH en G et H, ce qui détermine deux points dans le périmètre de la parabole. Cette opération suffisamment répétée donnera une série de points, par lesquels on fera passer une courbe qui sera la figure voulue.

(1476) On trace encore la parabole à l’aide d’une équerre abc, dont la branche bc est égale à la distance de la directrice MN à la base KL de la parabole proposée. A l'extrémité c de l’équerre et au foyer F, l’on attache un fil cGF égal en longueur à cb. On glisse alors la branche ab de de l’équerre le long de la directrice MN en tenant en même temps le fil tendu le long de la branche bc, au moyen d’une pointe ou crayon dont le mouvement décrit la parabole voulue.

(1477) REGLE. Multipliez la base par la hauteur et prenez les deux tiers du produit pour la surface voulue.

Ex 1. Trouver la surface de la parabole ACB

dont la base AB est 20 et la hauteur CD 18 ?

Rep. 240.