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pliez volui E)
e exprimée en ligne contient donnée (page Dites où pour en viseur, s'appli.
rayon puisque ‘idence entière otes Muinte ligne droite et nité de mesure
ce composante du solide, et le mer ies dimen.
oit.
a base par la rfuce ajoutez
le, se présente 3 principal et divers upparurs, piliers et petite échelle
Les toits à ire droit et les sont aussi des ansarde n'est parallépipède e triangulaire le du toit et lors un tronc Il y a encore me du cube, droit, cblique espêce. Les encore assez ulaires ayant
2. Déterminer la surface entière d'un prisme triangulaire, dont la base est un triangle équilatérel ayant 18 pouces de côté, et la hauteur 20 pieds ? Rep. 91.949 pds. carrés.
&. On demande le poids du cuivre nécessaire pour couvrir l'intérieur d’une citerne dont la longueur mesure 10 pieds, la largeur 5 pieds et la hauteur ou profondeur 4 pieds, le cuivre à employer étant de 5 livres au pied carré ? Rep. 850 livres.
4. Combien y-a-t:1l de mètres carrés dans la surface latérale d'un corps de bâtisse dont la longueur est de 100 mètres, la largeur 23.3 mètres et la hauteur 17 mètres ? Rep. 4192.2.
5 Un appartement mesure 40 pieds sur 25, et sa hauteur est de 15 pieds ; combien faudra-t-il de verges carrées d’enduits pour en recouvrir les quatre pans et le plafond ? Rep. 527}.
6 Quel serait le coût de garnir en plomb de 7 livres au pied et À 8 sous la livre, l’intérieur d'un vaisseau rectangulaire dont la longueur est de 3 pieds 2 pouces, la largeur 2 pieds 8 pouces, et la hauteur 24 pieds ?
Rep. Surface à couvrir = 37. Es LA pieds carrés, =263 a livres, = £4,7.94d.=817.55.185.
7. Quelle est la surface latérale d’un madrier de 10 pieds, sur 12 pouces, sur à pouces. Rep. 25 pd. car.
8. Combien de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface latérale d'un pilier octogone dont le côté est 15 pouces et la hauteur 10 pieds ?
Rep. 100.
9. Combien faudra-:t-il de carrés de lambris pour couvrir la surface latérale d’un édifice hexagone dont le rayon oblique est de 20 pieds et la hauteur 33 pieds ? Rep. 39.60,
10. Quelle est la surface latérale d’un poteau polygone de 3 pieds de périmètre et 10 pieds de hauteur. Rep. 30 pieds carrés.
11. Le périmètre d’une barre de fer est 3% pouces, sa longueur 7 pieds ;
quelle en est la superficie latérale ?
Rep. 3.75 x 84=—315 pouces carrés.
Trouver le volume d’un prisme droit.
(1490) REGLE. Déterminez d'abord la surface de la base ; multi. pliez ensuite cette surface par la hauteur ; le produit sera (1020) Le
volume du prisme.
Ex. 1. Quel est le contenu solide d’un cube dont le côté est 24 pouces ? Rep. 13,824.
He TE PS OS
ee tt re or Lt M ph éere
2. Conibien y at-il de pieds cubes dans un bloc de marbre dont la longueur est 3 pieds 2 pouces, la largeur 2 pieds 8 pouces et la hauteur ou épaisseur 24 pieds ? Rep. 2l{.
8. Combien de gallons d'eau pourra contenir une citerne des dimensions de l'exemple précédent, le gallon étant de 282 pouces cubes ?
Rep. 129}7.
4. Quel est le volume d’un prisme triangulaire dont la hauteur est 10 pieds, et les trois côtés de sa base triangulaire 3, 4 et 5 pieds ?
Rep. 60.
5. On demande le nombre de pieds cubes de pierre dans un pilier de 15 pieds de hauteur et dont la base est un hexagone régulier ayant 1 pied 4 pouces de côté ? Rep. 69.252.
6. Déterminer le nombre de toises de maçonnerie, (la toise étant de 6 x
6 x 2=72 pieds cubes) dans un prisme octogone de 12 pieds de hauteur et 3 pieds de côté ? Rep. 7 toises 17.47 pieds cubes.
*. Le pilier ou trumeau qui sépare deux fenêtres ébrasées, et dont la base
est en conséquence un trapèze, mesure 13 pieds de hauteur, 2 pieds d'é-
paisseur, 9 pieds de largeur en dehors et 7 pieds de largeur en dedans ; on
demande le nombre de briques qu'il & fallu pour le construire, à raison de 20 briques au pied cube ? Rep. 4,160.
8. Un pignon en pierre de l'épaisseur de 3 pieds, mesure 40 pieds de base
et 20 pieds de hauteur; combien contient-il de verges cubes de maçonnerie ? Rep. 41}i.
9. La façade d’un édifice est de 33 mètres, sa hauteur de 17 mètres et
l'épaisseur du mur 73 centrimétres ; quel en est le volume en mètres cubiques ? Rep. 33 x 17 x ,73:2409,53,
10. On demande le nombre de mètres cubes dans un remblais doat la
longueur est de 100 mètres, et dont chacun des plans parallèles qui en
constituent les extrémités est un trapèze ayant pour bases parallèles 3 mètres et 13 mètres et pour hauteur 3.3 mètres ? Rep. 2610.
11. Un puits doit avoir 27 pieds de profondeur, et le plan doit en être un hexagone régulier dont le rayon du cercle circonscrit soit de 5 pieds ; combien y aura-t-il de verges cubes de roc à miner pour donner les dimensions
voulues ? Rep. Le côté de l’exagone est (64i8) 5 pieds ; 5 =5x6= 25, et 25 x 2.5980762 (surface (4441) de l’exagone dont le côté est 1)=64,
4 , 9519 pieds carrés= surface de l’exagone donné, EEE == 64,9519 verges cubes,
Ex. 12. Quelle est la solidité d’une barre de fer rectangulaire de 44 x 1 pouces et de 14 pieds de longueur ?
Rep. 756 pouces cubes.
re dont la longueur iteur ou épaisseur Rep. 2l!.
ne des dimensions bes ?
Rep. 12917.
t la hauteur est 10 eds ?
Rep. 60.
ins un pilier de 15 ilier ayant 1 pied 4 toise étant de 6 x eds de hauteur et 3 7.47 pieds cubes.
ées, et dont la base auteur, 2 pieds d'é- ‘ur en dedans ; on struire, à raison de Rep. 4,160.
re 40 pieds de base es de maçonnerie ?
Rep. 41}5.
ur de 17 mètres et n mètres cubiques ?
X 473: 409,53, à remblais doat la s parallèles qui en parallèles 3 mètres Rep. 2610.
plan doit en être t soit de 5 pieds ;
iner les dimensions
leds ; 5 5x5 le côté est 1) 64.
angulaire de 44 x
56 pouces cubes.
13. On demande le volume d'un poteau à huit faces dont la hauteur est de 10 pieds et la largeur de chaque face 7 pouces ?
Rep. 7 x 7 x 4.8284271 = (1441) surf. de la base=236.5929279, et x 120—28391.15 pouces cubes, et-1728 (ou 12 x 12 x 12)=16.43 pieds cuhss.
Trouver la surface d'un prisme oblique.
(1491) REGLE. Multipliez (996) la longueur du côté par le péri. mètre d'une section perpendiculaire au côté.
Ex. 1. Quelle est la surface du dessous et des deux côtés d'une poutre in clinée à bases parallèles, dont la longueur est de 12 pieds, la largeur du dessous 9 pouces, et celle des côtés 134 pouces ? Rep. 36 pieds carrés.
2. La longueur d'une corniche sous une rampe d'escalier entre murs parallèles est de 20 pieds et le pourtour ou périmètre d’une section de la corniche perpendiculaire à sa direction est de 27 pouces ; quelle en est la surface développée ? Rep. 45 pieds carrés.
Trouver le volume d’un prisme oblique.
(1492) REGLE I. Multipliez (1020) la surface de la base par la hauteur ; Le produit seru le volume requis.
REGLE IE. Multipliez (1025) le côté par la surface d'une section perpendiculaire à ce côté.
Ex. 1. Combien faudra-til de pieds cubes de chêne pour une rampe d'escalier de 17 pieds de longueur et de 15 x 4 pouces d'équarrissage ? 2. La base horizontale d'une saillie de cheminée dévoyée, c’est-à-dire inclinée, mesure ? pieds sur 18 pouces, la hauteur perpendiculaire étant de 7 pieds 3 pouces; combien de briques contient le parallépipède, à 18 briques au pied cube ? Rep. 764 pieds cubes x 18—13704 briques.
8. Le côté triangulaire d'une lucarne a pour longueur horizontale 7 pieds, pour hauteur verticale 5 pieds, la largeur de la lucarne étant ds 4 pieds; le toit de la lucarne est en croupe parallèle au toit de l'édifice; la hauteur du triangle qui en constitue ln coupe verticale est de 2 pieds; quel est le volume total. Rep. le corps ou carré de la lucarne (prisme trian-
mnt mrmééher sr
Re
gulaire droit) (*)=4(7 x 6 x 4)=170 pieds cubes, le toit (prisme triangulaire oblique) = 4(7 x 4 x 2) = 23 pieds cubes ; le volume demandé est par conséquent de 98 pieds cubes.
Déterminer la surface d’un tronc de prisme.
(1493) REGLE. Trouvez séparément (1059) l'aire de chacune de ses faces composantes ; leur somme sera la surface voulue.
Ex. Quel est le nombre de pieds superficiels de pierre taillée dans le pourtour d’une tête de cheminée située obliquement sur un toit incliné, c'est-à-dire dont les faces composantes ne sont pas parallèles à celles de l'édifice ; le plan de la cheminée étant un rectangle de 3 pieds sur 4 pieds et les hauteurs respectives de ses quatre côtés ou arêtes, 7, 8, 94 et 84 pieds?
Rep. 107 +8) x 3(= 224) + 4(8 + 94) x 4(=35) + 4(04+84x3(==27) +4
Trouver le volume d’un tronc de prisme triangulaire.
(1494) REGLE LI. Multipliez (1093) la base du tronc par le tiers de la somme des hauteurs de ses trois côtés ou arêtes parallèles.
REGLE EX. Muitipliez le tiers de la somme de ses trois côtés parallèles par la surface d'une section perpendiculaire à ces cotés.
REM. Cette seconde règle a-t-on dit (1095) dérive évidemment de celle du paragraphe (4025); mais dût-on ne pas trouver assez rigoureuse ct satisfaisante, cette conclusion, peut être trop immédiate pour que l'élève puisse de suite en saisir la vérité, il est néan: moins facile d’en faire voir l'exactitude, de difrérentes manières, dont la suivante pour être la plus expéditive n’est pas la moins concluante. Soit donc ABC-DEF un tronc de prisme triangulaire oblique, divisé en deux troncs de prismes droits GHK-ABC, GHK-DEF par un plan GHK perpendiculaire aux côtés parallèles AD, BE, CF du
solide. Le volume de chaque tronc composant est égal (1093) au produit
(*) Jei le prisme dont il s’agit ne repose pas sur une de ses bases parallèles; mais cette circonstance ne doit empêcher de décider de suite de la nature du solide à évaluer; car, il est mment indifférent, eu égard au volume requis, que la position du polyèdre soit verticale, horizontale ou inclinée,
les b:
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quel
(14 des La
RI oppose paral
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Ex née a) pieds,
13 et
2, calier diamè rent r
Re
e triangulaire st par consé-
me,
le chacune de
aillée dans le 1 toit incliné, es à celles de 4 sur 4 pieds à et 84 pieds?
angulaire.
LC par de tiers es.
s côtés paral-
ment de celle
rigoureuse et que l'élève
) au produit
bases parale suite de la eu égard au rizontale ou
de la base commune GHK par le tiers de la somme des perpendiculaires GD, HE, KF...... GA, HB, KC; mais GHK x 4 (GD + HE + KE) + GHK x} (GA + HB + KO) = GHK x &(GD + GA + HE + HB + KF + KC) = GEK x 4 (AD+ BE +CKF); donc, etc.
Ex. 2. La base d’un tronc de prisme droit triangulaire est de 10 pieds carrés, ses côtés sont de 7, 8, et 9 pieds ; quel en est le volume ? Rep. 80 pieds cubes.
2. Les trois côtés d'un tronc de prisme oblique sont 74 8% et 9% pieds ; les base et hauteur d'une coupe perpendiculaire au côté sont respectivement de 6 et 3 pieds; quel eat le volume du solide ? Rep. 84x74 63% pieds cubes.
&. Les trois côtés de la base d’un prisme incliné mesurent respectivement 3, 4 et 5 mètres et les hauteurs de ses trois sommets sont 6, 7 et 8 mètres ;
quel en est le contenu solide ? ep. 42 mètres cubes.
Trouver le volume d’un tronc de prisme dont la base ou coupe perpendiculaire au côté est un polygone régulier ou à moitiés symétriques (1097)
(4495) REGLE 1. Multipliez (4097) la base par la demi-somme des hauteurs de deux côtés opposés ; le produit sera le volume requis.
REGLE IX. Multipliez la demi-somme de deur des côtés ou arêtes opposés du tronc par la surface d'une coupe perpendiculaire à ces côtés parallèles.
RETMI. Cette seconde règle dérive encore du par. (1093) puisqu'on peut supposer le tronc de prisme polygone divisé en troncs de prismes triangulaires, et faire pour chacun de ces troncs composants la même preuve que pour le tronc de prisme triangulaire du dernier problème.
Ex. 1. Combien y a:til de pieds cubes de pierre dans une tête de chemi. née ayant pour coupe horizontale un hexagone régulier dont le côté est de 2 pieds, les hauteurs ou longueurs de deux arêtes opposées du tronc étant de
13 et 17 pieds ? Rep. 2.5980762 x 2” x (- x =) = 165.884572,
2. Trouver le nombre de pouces cubes de mérisier dans un balustre d’escalier ayant pour coupe horizontale un octogone régulier de 3 pouces de diamètre et dont la moindre et la plus grande longueurs ou hauteurs mesurent respectivemect 27 et 29 pouces.
Rep. On obtient assez correctement dans le cas actuel, le côté voulu de
Boni ed Adi dibémé ait sn See TN ML dun
Le Ce pb
mm RE conne nas re mn oem
l’octogone, en décrivant un cercle de 3 pouces de diamètit pour trouver ensuite (651), la corde d’un huitième de sa circonférence. Cette opération donne pour largeur d'un des pans du balustre 1,5 pouces près, soit 1:15 ; or
(1.15)°=1.3225, et 1.3225 x (LÆA1) 4.8284271, ou pour abréger 4.83 x 1. 326.375 pouces carrés=—surface de la coupe du balustre ; enfin, 6.375 x 4 (27 + 29)=—6.375 x 28 — 1784 pouces cubes.
PROBLÈME. VIII
Déterminer le volume d’un tronc de prisme quelconque.
(1496) REGLE. Faites d'abord séparément (1098) le volume de chacun des troncs de prismes triangulaires composants, pour en prendre ensuite la somme.
Ex. Un déblais de terre présente la forme d’un tronc de prisme droit ayant pour base le polygone ABCDEA ; la surface de la base composante ABC est de 50 verges carrées, celle de la base ADC=73 verges et celle de la base ADE = 65 verges ; les hauteurs ou longueurs des côtés parallèles A, B, C, etc. sont respectivement de 7, 8, 9, 13 et 11 pieds ; quel est le nombre de verges cubes dans le solide proposé ?
Rep. (1108. 20°) 150% ETF 80) + DOTX ETF 019) + BOXE (T+13+ 11) = 3600 + 6351 + 6045= 15,996 pieds cubes; divisant par 27, on a 59244 verges cubes.
REM. Ici on a réduit en pieds carrés les surfaces des bases données en verges carrées, et l’on a divisé par 27, mais il est clair que puisque 3 fois 9 —27, ce serait la même chose de multiplier de suite par les verges pour diviser ensuite par 3.
Trouver le volume d’un coin.
(1497) REGLE. À deux fois la longueur de la base, ajoutez la longueur de l'arête. Multipliez cette somme par la largeur de la base, puis par la hauteur du coin ; divisez le résultat par 6 et le quotient sera de volume requis.
REM. Le coin, comme on l’a déjà fait remarquer (4100) n'est autre chose qu’un prisme triangulaire ou un tronc de prisme, suivant que l’arête est égale ou inégale aux deux autres côtés ; aussi la règle ici donnée pour en déterminer le volume est elle analogue à celle du prob. VI, quoique l'énoncé en soit un peu différent,
pour trouver ette opération , soit 1.15; or
‘éger 4.83 x 1.
afin, 6.375 x à
uelconque.
le volume de ur en prendre
me droit ayant sante ABC est elle de la base 8 À, B, C, etc., nbre de verges
13) + 585xÈ sant par 27, on
es données en isque 3 fois 9 es verges pour
e, ajoutez la ur de la base, quotient sera
) n’est autre ant que l’arête donnée pour . VI, quoique
Ex. La base rectangulaire d’un coin est de 20 x 40 pieds, l’arête 35 pieds et la hauteur 10 pieds ; quel en est le voiume ?
Rep. (40 + 40 + 35) x 20 x 10) ou (1094 Rem.)5(40 + 40 + 35) x 420)
2. Quel est le contenu solide d’un coin dont la base mesure 5 pieds 4 pouces sur 9 pouces, la longueur de l’arête 34 pieds, et la hauteur perpendiculaire 23 pieds ? Rep. 4.1319 pieds cubes.
8. Un plan incliné rencontre un plan horizontal et forme avec ce dernier un coin dont l’arête mesure 100 pieds; la base rectangulaire 80 pieds sur 20 pieds et la distance perpendiculaire entre l’arête et la base 300 pieds; quel est le volume du solide ? Rep. 260,000 pieds cubes.
Trouver le volume d’un prismoïde (*)
(1498) REGLE. 4 la somme des surfaces des deux bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface d'une section ou coupe parallèle à distances égales de ces bases: multipliez alors la somme ainsi obtenue par un sivième de la hauteur ou distance perpendiculaire entre les plans parallèles (LLO1) et le résultat sera le volume demandé.
Ex. L'une des bases d’un prismoïde rectangulaire est de 20 x 25 pieds, l’autre est de 10 x 15 pieds, la hauteur est de 12 pieds; quel en est la solidité?
nt non Sr 0 Rep. (25 x 20) + (15 x 10) + 4C20 x 15) x = 1850 x 2= 3700.
2. Un quai ou pilier a pour bases parallèles des rectangles qui mesurent respectivement 100 x 50 pieds et 80 x 40 pieds, la hauteur est de 30 pieds ; quel en est le contenu en verges cubes. Rep. 4518}.
8. Une pile de pierre cassée mesure 100 x 20 pieds au bas, 96 x 16 pieds
(*) Ce solide, comme le prisme, se présente fort souvent à l'évaluation du mesureur. Les cuves rectangulaires à côtés inclinés sont de cette forme ; un toit à croupes avec plate-forme, présente la même figure ; les grands réservoirs ne sont autre chose que des primoïdes renversées ; on le retrouve, dans les bassins, quais, piliers, culées et constructions de cette sorte ; les déblais et terrassements, fouilles et chaussées etc, prennent d'ordinaire cette forme ; le retnblais continu d’une voie ferrée se subdivise par des coupes ou sections verticales en prismoïdes qui reposent chacun sur une de leurs faces latérales et dont les bases parallèles sont par conséquent perpendiculaires à l'horizon; on retrouve le prismoïde dans chaque pièce de bois écarri dont les extrémités sont des rectangles inégaux, on le voit encore dans l’empilement des boulets et bombes, et il se répète encore souvent sur diverses échelles dans les arts ét métiers, ete. On a déjà remarqué (note page 412) qu’il faut se garder de confondre le prismoïde avec le tronc de pyramide, ou plutôt, aurait-on dû dire, le tronc de pyramide avec le prismoïde, car il suit évidemment de la définition du prismoïde que tout tronc de pyramide à bases
sur le dessus et a 3 pieds de hauteur ou épaisseur; quel en est le contenu en toises cubes ?
Rep. (100 x 20) + (96 x 16) + 4(98 x 18) x 4 (ou par 4) + 216 = 24H}£ toises cubes,
4. Un déblais, fouille ou excavation présente la forme d’un prismoïde renversé ; la surface inférieure de ia fouille est de 10,000 mètres, la surface supérieure 14,400 mètres, la surface à demi-distance entre les bases parallèles est de 12,100 mètres et la hauteur ou profondeur de l’excavation est de 9 mètres ; combien en a-t-on enlevé de mètres cubes ? Rep. 109,200.
5. Combien de pieds cubes d'eau pourra contenir un réservoir dont la base inférieure est un rectangle de 100 x 50 pieds, la base supérieure un rectarigle de 180 x 130 pieds et la profondeur 20 pieds. Rep. 262,6663.
6. Quel est l’espace cubique que remplit un toit dont la base est un rec. tangle de 40 x 60 pieds, le dessus une plate-forme rectangulaire de 20 x 40 pieds et la hauteur 12 pieds. Rep. 18,400 pieds cubes.
%. Quelle est la solidité d’une pièce de bois écarri dont la longueur est de 24 pieds et dont les extrémités sont des plans parallèles et rectangulaires de 30 x 27 pouces et de 24 x 18 pouces. Rep. 102 pieds cubes.
#. Une auge dont la profondeur est de 20 pouces, à pour bases parallèles des rectangles de 36 x 30 pouces et de 30 x 24 pouces.
Rep. 10.3472 pieds cubes.
9. Un remblais pour voie ferrée mesure 300 verges en longueur, les extrémités en sont des trapèzes dont les côtés parallèles de l’un sont de 4 et 34 verges et la hauteur 10 verges, les côtés de l’autre 4 et 19 verges et sa hauteur 5 verges; combien contient-il de verges cubes ?
Rep. Surf. d’une extrémité = 3 (4+34) x 10 —190 verges, surface de l’autre extrémité = 4(4 + 19) x 5=574 verges, surface intermédiaire= 34 +4) + 3(34+ 19) x 4010 + 5)= 15.25 x 7.5 = 114.375 verges carrées, 114.
375X4—457.500, 190 + 57.5 +457.5 = 705, et 705 x 4(300)=705 x 50 = 35,250 verges cubes.
parallèles est en même temps un prismoïde et peut s’évaluer d’après la règle applicable à ce dernier ; mais le prismoïde proprement-dit n’est pas un tronc de pyramide et on ne saurait en Conséquence en déterminer le volume par la règle applicable au tronc de pyramide, quoique cependant dans certains cas cette dernière règle puisse donner une approximation très voisine de la vérité. Ajoutons aussi que, puisque quand il y a à déterminer tout d’abord la nature du solide à estimer, il faut dans le cas du tronc de pyramide s'assurer de la proportionnalité des côtés aussi bien que de leur parallélisme, et qu’il suffit de leur parallélisme seul pour constituer le prismoïde ; on se sauvera souvent un travail inutile en regardant comme prismoïde tout solide dont les faces latérales seraient inclinées l’une à l’autre et les côtés des bases opposées parallèles entre eux.
A pra
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pour pieds
le contenu en
prismoïde renes, la surface 3 bases paralavation est de p. 109,200.
rvoir dont la rieure un rec- . 262,6663.
ase est un recre de 20 x40 pieds cubes.
longueur est rectangulaires pieds cubes.
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oieds cubes.
ieur, les extré-
ont de 4 et 34 verges et sa
brges, surface termédiaire= s carrées, 114.
er d’après la n’est pas un er le volume bendant dans n très voisine terminer tout onc de pyrae leur parale prismoïde ; 1e prismoïde re et les côtés
: iS DER tait
10. Une chaussée sur un terrain en pente ou incliné mesure 100 mètres en longueur; les surfaces des quadrilatères à côtés parallèles qui forment les extrémités verticales ou bases du prismoïde perpendiculaires à sa longueur, sont de 120 et 80 mètres ca:-és, et la surface d’une coupe à mi-distance entre ces dernières est de 100 mètres ; combien at-il fallu de mètres cubes pour le former ? Rep. 10,000.
11. Quel est l’espace cubique occupé par une pile de boulets dont la base rectangulaire est de 30 pieds sur 10, le plan supérieur 25 pieds sur 6 et la hauteur 4 pieds ? Rep. 833% près.
12. Le piédestal d’une statue équestre dont la hauteur est de 10 pieds, a pour bases parallèles des rectangles de 15 x 7 pieds et de 12=4 pieds; quelle est la solidité de la masse de pierre dont il est formé ?
Rep. 750 pieds cubes.
Trouver la surface d’une pyramide régulière.
(1499) REGLE. Multipliez (1039) le périmètre de la base par la demi-hauteur inclinée ; le produit sera la surface latérale ou convexe, À la surface latérale ajoutez celle de la base, quand la surface entière est requise.
Ex. . Quelle est la surface latérale d’une pyramide triangulaire régulière, dont la hauteur inclinée est 20 et chaque côté de 14 base 3,
2. On demande la surface entière d’une pyramide régulière dont la hauteur inclinée est de 15 mètres et la base un pentagone dont le côté est de 25 mètres ? Rep. 2012.778 mètres carrés.
3. Combien faudra-t-il de carrés de bardeau, zinc ou autre métal, etc. pour recouvrir un toit en forme d’une pyramide régulière dont la base a 200 pieds de périmètre et la hauteur inclinée 33 pieds ? Rep. 33.
Trouver la surface latérale d’un tronc de pyramide régulière à bases parallèles.
(1500) REGLE. Faites (1040) le produit de la demi-somme des périmètres des deux bases par la hautear inclinée du tronc ; vous aurez la surface voulue.
Ex. 1. Quelle est la surface latérale d’un tronc de pyramide heplagone,
perdre EST Ve ef pare
Re
* ee ER
Ge er ee
dont la hauteur inclinée est 55, chaque côté de la base inférieure 8, et chaque côté de la base supérieure 4. Rep. 2,310.
2, Un toit à huit pans, terminé par une plateforme, a pour mesure de sa hauteur inclinée 17 pieds; la longueur du côté de l’octogone régulier qui en constitue la base est de 20 pieds, et le côté du polygone supérieur est de 10 pieds; on demande le poids du plomb qui le recouvre, le plomb étant de 6 livres au pied carré ? Rep. 12240 livres.
&. Combien y a:t-il de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface latérale d’une tour polygone dont les périmètres inférieur et supérieur mesurent respectivement 100 pieds et 80 pieds et dont la hauteur inclinée est de 40 pieds ? Rep. 3600.
PROBLÈME XIII
Déterminer la surface d’une pyramide, ou d’un tronc
quelconque de pyramide, oblique ou irrégulière.
(1501) REGLE. Faites (1059) séparément la surface de chacune des faces composantes et prenez en la somme pour la surface voulue.
Trouver la solidité d’une pyramide quelconque.
(1502) REGLE. Multipliez (1049) la surface de la base par le tiers de la hauteur, et le produit sera le volume requis.
Ex. 1. Quelle est la solidité d'une pyranide, dont la base est un carré de 30 pieds de côté, et la hauteur 25 pieds ? Rep. 7500.
2. Le côté du triangle équilatéral qui forme la base d’une pyramide est de 3 pieds, sa hauteur est de 30 pieds; quel est le volume ?
* 8. Quel est le contenu solide d’une pyramide hexagone dont la hauteur est de 6.4 pieds et chaque côté de sa base 6 pouces ? Rep. 1.38564.
4. La hauteur d’une pyramide est 12, et chaque côté de sa base pentagonale est 2; on en demande le contenu cubique ? Rep. 27.5276.
5. Quel est le volume de l’espace qu’occupe la toiture d’une tour octogone dont le côté est de 5 mètres, la hauteur du toit étant de 10 mètres ?
Rep. 5 x4.8284271 (1441)—120.7106775 mètres est la surface de la base octagonale du toit et 120.71 x 10-:3 = 402.366 mètres cubes.
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8, et chaque ep. 2,310.
mesure de sa gulier qui en ieur est de 10 nb étant de 6 240 livres.
18 la surface et supérieur iteur inclinée ep. 3600.
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h surface de ubes.
Trouver le volume d’un tronc de pyramide à bases parallèles.
(1503) REGLE I. Trouvez (1061) d'abord une moyenne proportionnelle entre les deux bases ; faites ensuite l'addition continue de cette moyenne proporlionnelle et des deux bases du tronc ; multipliez alors cette somme par le tiers de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.
REGLE IT. À la somme des deux bases ajoutez (1102) quatre fois la surface d'une section à demi-distance entre elles, c’est-à-dire d’une section dont les facteurs linéaires soient moyens arithmétiques (1265) entre ceux des deux bases; multipliez alors la somme ainsi obtenue par un sixième de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.
Ex. 1. Quel est le nombre de pieds cubes dans une pièce de bois dont la longueur est de 24 pieds et dont les extrémités sont des carrés de 15 et de 6 pouces de côté ?
Rep. TS + 6 SUR 225 + 36 + 90=351=(-144) 2 pieds 54 pouces carrés, ce qui multiplié par le tiers de 24 donne 19.5 pieds cubes.
2. On demande le volume d’un socle pentagonale dont la hauteur est 5 pieds, chaque côté de la base inférieure 18 pouces et chaque côté de la base supérieure 6 pouces. Rep. 9.31925.
8. Un fort dont la hauteur est de 15 mètres, a pour base un octogone régulier dont le côté est de 10 mètres, le côté du polygone supérieur est de 9 mètres; quel est le volume de la tour ?
Rep. Surf. oct. inf.= (1441) 4.8284271 x 10° —482.84271 mètres carrés, surf. oct. sup. = 4.8284271 x 9" 391.1025951, surf. moy. prop. = V482.84 x 391.10—434.56, la somme des trois surfaces —482.84 + 391.1
+434.56= 1308.50, et 1308.5 x 4(15) — 6542.5 mètres cubes.
Rep. Par la règle (1101) du prismoïde, on a pour surface à demi-
distance des bases parallèles (10 + 9)+2=—9.5, et (9.5) x 4.8284271 — 435, 16,x4—1743.04, 1743.04 + 482.84 + 391.1—2616.98, et 2616.98 x 4(15=— 6542.45 comme auparavant, car la différence .05 entre les deux résultats vient seulement de ce qu’on n’a pas fait entrer en: compte dans les deux calculs un plus grand nombre de décimales.
REMX. Dans ce dernier exemple, l’aire de la moindre base — 4.8284271 x 9° et celle de la plus grande base=4,8284271 x 10"; le produit de ces deux
RS PTE = = PE TZ = saut ACT A + —- +? Eu”
ee
surfaces l’une par l’autre est4.8284271 x Ÿ x 4.8284271 x 10° -=4.8284271" x
9” x 10” dont la racine carrée est 4.8284271 x 9 x 10=la eurf. moyenne proportionnelle requise. Il est donc clair que dans le calcul du volume du tronc de pyramide par la lère des deux règles ici données, on se sauvera un travail long et inutile en se servant de Ja méthode que l’on vient d'indiquer pour déterminer la surf. moy. prop. voulue, au lieu de multiplier l’une par l’autre les surfaces 482.84271, 391.1025951, pour en extraire ensuite la racine carrée. Cette remarque s'applique aussi au tronc de cône prob. XXVIII.
Trouver le volume d’un tronc de pyramide quelconque.
(1504) REGLE, Déterminez (1067) séparément les volumes respectifs des pyramides entière et partielle ; la différence de ces volumes sera la solidité requise.
Ex. Les surfaces infériéure et supérieure ou opposées d'un tronc de pyramide à bases non parallèles, sont 30 et 20 mètres, les hauteurs respectives des pyramides entière et partielle sont 33 et 17 mètres; quel est le volume du tronc ?
Rep. 30 x 3(33) — 20 x 5(17)=—330 mètres cubes — 113$ mètres cubes = 2163 mètres cubes.
PROBLÈME XVII
Trouver la surface d’un cylindre droit.
(1505) REGLE. Multipliez (993) la circonférence de la base par la hauteur pour avoir la surface latérale. À cette surface ajoutez celles des deux bases si la surface entière est requise.
Ex. 1. Quelle est la surface latérale d’un cylindre dont le diamètre de la base est 20, et la hauteur 50 ? Rep. 3141.6.
2. Quelle est le nombre de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface convexe d’un pilier circulaire dont la hauteur est 7 pieds et la circonfé rence 8 pieds 4 pouces ? Rep. 581.
8. Combien y &t-il de verges d’enduits dans le pourtour et le plafond d’un appartement circulaire, ayant 20 pieds de diamètre et 10 pieds de hauteur ?
Rep. Circ.—3.1416 x 20—62.832, surf. convexe=—62.832 x 10—628.32, surf. du plafond=—20 x 20 x .7854=—314.16, surf. voulue—628.32 x 314.16
