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sphère ext. = 20 x .5236 = 4188.8, le vol. int.=10 x .5236 = 523.6, la difrérence de ces volumes est 3665.2 pouces cubes; puis, 1 pied cube ou 1728 pouces cubes: 480 livres pesant :: 3665.2 pouces cubes: 1018 livres pesant,

PROBLÈME XXXIV

Déterminer la surface convexe d’une calotte sphérique ou d’une zone sphérique quelconque.

(1544) REGLE I. Multipliez (1073) la hauteur de la zone par la circonférence d'un grand cercle de la sphère ; le produit sera la surface voulue.

REDT. 1. Si le diamètre de la sphère n’est pas donné on le trouvera aisément par la méthode du par. (540) en divisant le carré du rayon de la base du segment par la hauteur pour avoir le reste du diamètre ; le reste ainsi trouvé + la hauteur donnée sera le diamètre voulu de la sphère.

Ex. Le diamètre d’une sphère étant de 42 décimètres, quelle est la surface convexe d’une calotte dont la hauteur est 9 décimètres ?

Rep. 42 x3.1416=circ. 131.9472 laquelle x 9 = 1187.5248 décimètres carrés.

2. Le rayon de la base d’un toit de vide-bouteille en forme de calotte sphérique, est de 10 pieds, la hauteur du toit est de 4 pieds. Combien faudra-t-il de pieds superficiels de plomb ou autre métal pour le revêtir ?

Rep. 10-425, 25+4=diam, de la sphère= 29, 29 x 3.1416—circ. 91.1064, puis 91.1064 x 4=364.4256 pieds carrés.

3. On demande la surface d'un couvercle de chaudière en forme de calotte sphérique dont la circonférence est de 91.1 pouces et la hauteur 10 pouces ?

Rep. 91.13.1416 —29=diam. du couvercle dont le rayon est en conséquence de 14.5 pouces ; pour avoir le diam. de la sphère dont la calotte

fait partie, on a (14.5) +10 = 21.025: le reste du diam. dont la hauteur du couvercle fait partie; donc le diam. voulu = 21.025 +10-31.025, ce diam. x 3.1416=97.46814=circ. d'un grand cercle, cette dernière x 10 donne 974.6814 pour la surface convexe voulue en pouces carrés.

4. Un dôme hémisphérique dont on a enlevé une calotte pour y asseoir la base de la lanterne qui le couronne, présente en conséquence la forme d’une zone sphérique ou d'un segment sphérique à deux bases; on demande à en déterminer la surface convexe, sa hauteur étant de 9 mètres et le diamètre de la sphère dont il fait partie de 20 mètres ?

Rep. 20 x 3.1416=cire. 62.832 et 62.832 x 9=—565.488 mètres carrés.

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REM. Si le rayon ou diam. de la sphère dont une zone fuit partie n’est pas connu et que les seules données soient les rayons ou diamètres des bases inf, et sup. du segment et la hauteur ou distance perpendiculaire qui les sépare, le paragraphe (574) fournira la méthode d'arriver au rayon voulu; mais on y parviendrait tout de même et d'une manière plus expéditive et assez exacte dans la pratique par un simple procédé graphique qui permettrait de déterminer de suite le rayon voulu ou diam. de la sphère à l'aide de la même échelle qui aurait servi à fixer sur le papier les proportions et positions relatives des données, le centre du cercle pouvant alors se trouver facilement par tâtonnement, c'est-à-dire par des essais répétés sur la perpendiculaire (prolongée s’il le faut) qui relie les centres des deux cordes données.

5. Les diamètres des bases inf, et sup. d'un toit en forme de segment de sphère merurent respectivement 16 et 12 méètres, et la hauteur 2 mètres; quelle est la superficie de la zone qui forme la surface latérale ou convexe du toit.

Rep. On obtient (574) soit par calcul on par construction graphique le diamètre 20 de la sphère dont le segment fait partie. Ce diam. donne pour circonférence 62.832, cette cire. x 2, hauteur du toit, donne pour sa surface convexe 135.664 mètres carrés.

6. Quelle est la surface convexe d’une calotte de 214 pouces de hauteur enlevée d’une sphère de 6 pieds de diam ?

Rep. 4840.577 pouces carrés,

7. Si le diam. de la terre considérée comme sphère parfuite est de 7970 milles, la hauteur de la zone glaciale sera de 252.361283 milles; quelle en est la surface ?

Rep. 7970 x 3.1416 x 252.361283=6,318,761 milles carrés.

8. Quelle est la surface de l’une des 10 sections composantes ou compar. timents d’une voûte ou d’un dôme en forme de calotte sphérique, le diamètre inférieur de la calotte ou de sa base étant de 40 pieds et sa hauteur de 10 pieds ?

Rep. Le reste du diamètre de la sphère dont la hauteur 10 de la calotte

fait partie est (5:89) (440) --10=—40, et le diamètre entier par conséquent= 40 + 10=50, la circonférence 50 x 3.1416 — 157.08 et la surface entière de la calotte= 157.08 x la hauteur 10—1570.8; donc la surface de la section proposée est de 1570.8-=10=—157.08 pieds carrés.

(4545) REGLE IT. Divisez la surface à estimer en zones d'égale largeur, et procédez ensuite à la manière du par. (4520).

Ex. 1. La circonférence inf. d’une zone sphérique, ou qui a l’air de l'être, mesure 260 pieds, sa circonférence sup. 213 pieds, et deux circonférences intermédiaires équidistantes 250 et 234 pieds, la longueur de l'arc généra-

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teur est de 15 pieds, et la largeur développée d’une des trois zones compo. santes est en conséquence de 5 pieds ; quelle est la surface de la zone entière ?

Rep. 4 260 + 250 + 234 + 4 213 = 720.5, cette somme x 5 = 3602,5 p. oc. près.

2. La voûte ou le plafond cintré d'une pièce circulaire en forme de calotte sphérique a pour diam. int. 186 décimètres, et pour diamètres interimédiaires de cinq zones composantes 154, 119, 82 et 42 décimètres, la longueur de la courbe génératrice, c'est-à-dire la distance curviligne du centre de la voûte à sa naissance est de 103 décimètres 28 millimètres ; quelle en est la surface concave ?

Rep. 103.28 décimètres-:5= 20.656 = largeur d’une des zones composantes, 4 diam. inf.=186-+2=93, 93 + 154 + 119 + 82+42=490, 490 x 3.1416 == 1539.384 somme des circonférences à entrer dans le calcul, puis 1539.384 x 20.656 =31,797.5 décimètres carrés ou 317 mètres carrés 974 décimètres carrés, puisque le mètre carré est de 10 x 10 = 100 décimètres carrés et qu’en reculant de 2 places le point décimal on divise par 100,