L' tronc de
um. #n d'une eaeF ; or l'on nt EF : GH ::
irf, CD x 4 A0).
pour la calotte de ces calottes olume du tronc
oblique ou aboloïde ndi-
pposées, ajoutez ces entre elles ; r et le produit
; Lu sera = à DB et
lémontre que le scrit, c'est-à-dire se EF x à Gp;
sections paralsont entre elles +4 surf. ab=3 rf, AB +4 surf.
e elliptique sen
de paraboloïde multipliant par
ga a 7 os il
la hauteur dD du tronc, la demi-somme des surfaces de ses bases parallèles ;
or à cause de Cd: Cg: CD':: db: qn': DB : ilest clair que la surf. intermédiaire mn est moyenne arithmétique entre surf. AB et surf. ab; d’où il suit que surf. AB + surf. ab + 4 surf. mn =6 surf. mn; donc ’2 vol. de AB ba=(surf. AB + surf. ab +4 surf. mn) x } dD.
REDMI. Dans le cas du paroboloïde ou du tronc de paraboloïde proprement dit, il est clair que cette règle n'offre aucun avantage et au contraire il est plus simple d'arriver de suite au volume désiré en faisant le produit de 4 CD par surf. AB, ou de 4 Gd par surf. EF, ou de 4 dD par la somme des surfaces de AB et de ab, suivant le cas; mais c’est que dans la pratique il est rare que les solides à estimer soient parfaitement géométriques, et elles le seraient, qu'on ne le saurait pas sans un travail préliminaire qu’il vaudrait autant dévouer de suite au calcul du vol. requis d’après la règle qu’on en donne ici; tandis que si (1531, 1540) l’on prenait pour un paraboloïde, un solide qui fût au contraire un segment ou tronc de sphéroïde ou d’hyperboloïde, ou qui ressemblât seulement à ces solides sans pouvoir s'identifier avec aucun d'eux, la règle de ce problème est celle qui offrirait les garanties d’une exactitude très voisine de la vérité.
Ex. 1. Quel est le volume d’un paraboloïde droit dont la hauteur est 84, et le rayon de la base 24?
Rep. diam. 48 x 48 x .7854 x 4 84—76001.5872 le vol. requis.
2. Quelle est, en'gallons de 231 pouces cubes, la capacité d'un chaudron parabolique dont la profondeur est 36 pouces et le diamètre 60 pouces ?
Rep 60° x.7854 x 18-:-231 = 50,893.92 pouces cubes-:231=—220.32 ou 2204 gallons près.
8. Une voûte qui a l'air d’être parabolique, a 60 mètres de hauteur, le diamètre de sa base est 40 mètres et son diamètre intermédiaire est 28 mètres 285 millimètres ; quel est le volume de l’espace renfermé ?
Rep. (40° +4 fois 28.285 *) x .7854 x 606 = 37,699.2 mètres cubes.
4. Dans un vaisseau incliné qui peut être un paraboloïde ou un segment de sphéroïde, se trouve une quantité de liqueur dont la surface est en conséquence une ellipse ayant pour diamètres 50 et 30 pouces, la plus grande profondeur de la liqueur est de 18 pouces et l’un des diamètres (le moindre) de la section elliptique prise au milieu de cette profondeur est de 22.5 peuces : quel est le volume du contenu ?
Rep. La section intermédiaire étant semblable à la base ou surface, on aura son grand diamètre en faisant 30:50 :: 22.5:37.5 ; le volume=(50 x 30 + 4 fois 22,5 x 37.5) x.7854 x 3= 11486 pouces cubes.
5. L'une des parties composantes d’un solide à estimer, paraît être un tronc de conoïde parabolique à bases parallèles, les circonférences respectives
pe
me 7 Es s z : Fe
de ses deux bases circulaires et d’une section à demi-distances entre elles, sont 182.2, 944, 145.15 pouces et la hauteur est 48 pouces ; quel en est le volume en pieds cubes ?
Rep. Divisant chacune de ces circonférences par 3.1416 l’on obtient pour diamètres des sectious respectives 58, 30 et 46.2 pouces, ce qui donne
2 2 2 pour volume (58 +30 +4 fois 46.2 ) .7854=10054,5, et 10054,5 x 48+6 c'est-à d. par 8,= 80,436 pouces cubes,-:-1728= 46.55 pieds cubes,
PROBLÈME XLVIII
Déterminer le volume d’un tronc quelconque ABEF de paraboloiïde droit ABC, à bases non parallèles.
(4565) REGLE. Faites, par le dernier problème, les volumes respectifs du paraboloïde entier ABC dont le tronc fuit partie, et du paraboloïde partiel ou calotte EFG qui manque au tronc donné pour compléter le paraboloïide entier : la différence de ces solidités sera le volume demandé.
Soit ABEF (fig. du dernier problème) une section du trone donné par un plan perpendiculaire au centre D de sa base; prenez sur l'axe Dd de la section une Jongueur quelconque Dd, mesurez DB, db et puisque (4564)
2 » 2 e l'on a CD:Cd:: DB :db , faites (96, div.) CD cd:cd:: DB — db :db ;on
ce qui est est la même chose, DB — db :db :: Dd:dC, ce qui donnera pour hauteur de la parabole génératrice dD + dC= DC. Maintenant, par le point milieu H de EF, menez HG parallèle à DC (car dans la parabole le centre est infiniment éloigné et tout diamètre GH, c'est-à-dire toute bissectrice GH des cordes ou doubles ordonnées parallèles EF, ef, re, est en conséquence parallèle à l’axe CD), mesurez Hr quelconque, HE et rc et faites, comme
auparavant. rc — HE’: HE :: Hr: HG; avec HG et l'angle GHp ou GIE, l’on trouve facilement (4561.38) la hauteur perpendiculaire Gp de la calotte FGE, pour faire ensuite les volumes respectifs des conoïdes entier et partiel et leur différence, ce qui résoudra le problème.
RÊÈM. Siletronc à estimer ABEF est celui d’un paraboloide oblique ; menez entre À et F une droite quelconque Ae parallèle à FE, bissectez en ®’, o ces doubles ordonnées et imenez Goo’H qui passera par le sommet G de la calotte FEG ; menez ensuite Ff parallèle à AB, bissectez ces parallèles en n’, n et menez le diamètre G’n’
nH' qui rencontrera le sommet G” du paraboloïde oblique ABG : l’on calcu
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