CD

HE :A en pret

*s entre elles, uel en est le

, l'on obtient ce qui donne

es,

+ ABEF 1llèles.

mes respectifs boloïide partiel le paraboloïde > donné par un l'axe Dd de la uisque (1564) ÿ — db :db sou i donnera pour it, par le point abole le centre bissectrice GH n conséquence faites, comme GHp ou GHE, ip de la calotte tier et partiel et

l’on calcu'

DES 80LIDES. 699

lera, comme auparavant, les hauteurs G’P, Gp des conoïdes entier et partiel, à l’aide des angles GoË, G’nA et des droites Go et G’n dont on établira les longueurs comme il a déjà été dit, et on aura le volume du tronc= vol. ABG' — vol, FEG =surf, AB x 4G'P — surf. EF x 4 Gp. Pour avoir au besoin CD, l'on mênera d'un point quelconque entre A et F une droite Aa perpendiculaire à GH ou à G’H/, la perpendiculaire CD, où AD=aD, sera l’axe voulu.

PROBLÈME XLIX

Trouver le volume d’un hyperboloïde droit ou oblique, ou d’un tronc quelconque d’hyperboloïde, compris entre des bases parallèles, perpendiculaires,

ou non, à l’axe de révolution.

(49° :) REGLE. À la somme des surfaces des bases opposées du solide, ajoutez 4 fois la surface d'une section à.demi-distances entre elles, multipliez le tout par | de la hauteur et le produit sera le volume voulu.

Dans le cas de l'hyperboloïde droit ABC ou du tronc AB ba d’hyperboloïle droit à bases parallèles, cette règle est, en d'autres termes, celle même qu’enseigne le ‘#caleul dif, et int.” et puisque le diam. intermédiaire est ici essentiel au calcul à faire, il est à démontrer comment on peut l’ob-

tenir quand il ne se trouve pas au nombre des données nécessaires. L'hyperbole est telle que son centre est en O en dehors de l'enceinte de la courbe, et comme dans le cercle, l’ellipse et la parabole, de même dans l’hyperbole tout diamètre OG, OC prolongé bis. secte la corile ou double ordonnée AB, ab, EF, ef parallèle à la tangente g, lg’ menée par le point € ou G où tel diamètre rencontre la courbe. Il suit de là que pour déterminer le centre de l’hyperbole, il n’y a qu’à

mener et à bissecter en Dd, HA, denx paires de parallèles quelconques AB, ab, F ef, et à prolonger en dehors de la figure les droites Dd, HA

reliant les points de section, jusqu'à leur rencontre en O qui sera le centre

voulu, où, si la direction OD de l'axe est connue, l'intersection de cet axe par

la droite HA prolongée déterminera le centre voulu. Maintenant, par la

nature de l'hyperbole, i'on démontre en ‘‘ sections coniques ”’ que 20C.CD + 2 2 Et 2 ,

CD : 306, Cd+Cd :: DB : db , ou que 20G.GH + GH : 20G.GA + Gh ::

HE : ke. ; voilà done comment on obtient le diam. intermédiaire ab ou ef

en preuant Cd= dD ou Gh= AH suivant le cas.

mme +

nn

ÉËx. 1. La hauteur CD d’un hyperboloïde droit ABC est 10 pouces, et ÂD le rayon de s& base est 12 pouces, le diamètre intermédiaire ab est 15.8745 poutés: quel est le volume ?

Rep: (24° +4 fois 15.845”) x 10--6= 2073.454601 pouces cubes, 2. Un vaieseau qui paraît être un conoïde hyperbolique droit, a pour hauteur ou profondeur 50 pouces, pour diam. sup. 104 pouces et pour diam, intermédiaire 68 pouces : quelle en est la capacité en gallons à vin ?

Rep. 104 x.7864= 8494.8864= aurf. de la base supérieure, 4 fois 68°

x.71854=68 x.3.1416= 14526.7584, la somme de ces surfaces est 23021, 6448, cette somme x 4 50 ou, ce qui est la même chose x 50 et le produit —+.6= 19184704 pouces eubes,-:231= 8304 gallons. 3. Combien y a-til de mètres cubes d'espace sous une voûte qui a l'air d’être hyperbolique et dont la hauteur est de 15 mètres, le diamètre de la

base 32 mètres et le diam. intermédiaire 20 mètres ? Rep. 5152.224 mètres cubes,

4. Une chaudière en forme d’hyperboloïde, contient une certaine quantité de liqueur; l’on demande combien il faudra encore de gallons pour la remplir, la partie du vaisseau à combler ayant par conséquent la forme d’un tronc d’hyperboloïde à bases parallèles ; les diamètres de ces bases sont 24 et 3à pouces, le diam. iñitér. 28.1708 et la hauteur du tronc 20 pouces ?

Rèp. (24 +99" +4 fois 28.1708 )x.7854 x 20 -: 6= 124994 pouces cubes où 54:08 gallons, ou 7.2334 pieds cubes.

5. L'une des parties composantes d’un cul-de-lampe ou autre objet à estimer, présente l'apparence d'un tronc d’hyperboloïde dont la hauteur est 12 poucés, le petit diain. 6 pouces, le grand diam. 10 pouces et le diam. interm. 84 pouées : quel en est le volume ? Rep. 667.59 pouces cubes.

REM. Pour l'hyperboloïde oblique ou le segment d'un hyperboloïde droit par un plan non perpendiculaire à l’axe, le ‘‘calcul”’ enseigne à obtenir le volume en faisant la proportion suivante: GH + 2G0:: 3 GH+2G0::} cylindroïde de même base et hauteur: volume requis.

6. Soit à cuber un hyperboloïde EFG dont le grand axe EF de la base elliptique mesure 78 unités et son diamètre conjugé 69.2, soit OG=41.7, GH= 19.8, Gp= 15.8; l’on a vu que pour trouver ef il y a à faire 2GO.GH

+ GH: 2G0.Gh + GA: ! HE": he , ou (cequi (73, Ax.) est la même chose)

:: EF: ef, c'estèdire, en chiffres, 2043.36 : 023.67 : : 6084 : 2750.18= ef" d'où ef=52.44217 ; maintenant la section parallèle ef étant une ellipse sem-

blable à EF, ôn aura surf. ef sn faisant EF * ef ::surf. EF: surf. ef ou 6084 : 2750.18 : : 4239.275 : 1916.3=surf, ef; enfin (surf. EF + 4 surf. ef)

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