ces volumes
e du fuseau entier
le est 29916,6714 0044 (moins d'un ire dans la pratique ard au travail addi aires ; et d’ailleurs
F f ul
comme on l’a déjà dit AUsT, 1534) on peut avec la règle ici donnée porter la précision à tel degré qu'on voudra par une subdivision du demi-fuseau en tranches plus nombreuses et dont les côtés s’approchent davantage de la ligne droite.
(4570) Ex. 2. Trouver le volume pres, d’un fuseau eliiptique (c'est-à-dire engendré par la révolution d’un are d'ellipse
autour d'une corde perpendiculaire à l’un de ses axes) dont la longueur AB ests :0 décimètres, le plus grand diam. CD 24 décimètres et un diam. EF égalemeut éloigné de A et CD 18.992094 décimètres ?
Rep. Soit AECGB la courbe génératrice ; pour en trouver le centre, menez (4562, R. I.) deux cordes parallèles quelconques BC, ab et par les points milieux de ces cordes menez une droite GO qui intersectera CD, prolongé s’il le faut, en O centre de l’ellipse. Soit maintenant CO=—30, l’on a un diam. de l’ellipse= 2C0, une ordonnée AK ou KB= 4 AB—40, une abscisse CK ou segment du diam.= 12 et par conséquent l’autre segment= 2C0 — CK= 60 — 12=48 pour trouver (4562, R I.) l’autre diamètre MN de l’ellipse en faisant \CK x (2C0 =CK): KB::2C0:MN ou Y12x48.40::650 100=MN, MN étant le moindre ou le plus grand diam. de l’ellipse, suivant que le rectangle des segments est plus grand ou moindre que le carré de l’ordonnée ou perpendiculaire KB.
Pour avoir ef, on fera d’abord la proportion MN : 2C0 ou (ce qui est la même chose) MO: CO :: VMg.gN:ge ou 50:30::V20 x 80: eg = 24 et comme ng=KO= C0 —CK= 30 - 12=18, on aura en= 24-—18= 6 et diam. ef=2en=12; on trouvera de même cs=—29.39412, cs — ms=11.39112= cm et 2cm—=diam. cd— 22.178824. | Si EF n'était pas donné on le déterminerait tout de même.
Diam. EF 18.990094 = 360.6558 Diam. EF 18.990941 = 360.6558 4 Diam. cd 22.78824 =92077.2155 4 Diam. ef 12.00000 — 576.0000 Diam. CD 24.00000° = 576.0000
Somme = 936.6558
Produit —735.649465
Quotient = 4904.32976 = 2 vol. EFA
Somme = 3013.8713 X .1854 Produit = 2367.0935 X 40 6) 94683.74 Quotient = 15780.6:
= 2 vol. ECDF
vol, 2 FC vol. 2 EFA
vol, AB = 20684.95
(Otis qe (ei al Lo ki j 144 î 4 {ILE (ml À | pi LUE ETAPE H ia PU Î
La somme 20,684.95 de ces volumes est celui du fuseau proposé et ne diffère que de 57 unités en plus, ou du quart de 1 pour cent, du vol. exact 20628.34 dont le calcul par les règles ordinaires exige un travail bien plus considérable, et offre par suite de la diversité des opérations à faire (telles que détaillées dans un énoncé de 16 lignes de texte) beauconp plus d'occasions de se tromper, comme c'est d’ailleurs toujours le cas, plus ou moins, quand le procédé à suivre n’est pas tellement simple et directe qu’on puisse sans effort se rendre compte, en poursuivant les détails du calcul, de la raison d’être de chacun d’eux. Voici l'énoncé dont il s’agit.
1°. De trois fois le carré du diamètre au centre (CD) soustrayez quatre fois le carré du diamètre (EF) ‘entre le milieu et l'extrémité ; aussi, de quatre fois ce dernier diamètre, retranchez trois fois le diamètre au centre ; et un quart du quotient provenant de la division de la première différence par la dernière, donnera la distance centrale (OK).
2°, Trouvez par la méthode du par. 1562, IR. E.) l'axe de l’ellipse et par la méthode du par. (1478) la surface du segment générateur (ACB).
3°. Divisez trois fois la surface ainsi trouvée, par la longueur (AB) du fuseuu, et soustrayez du quotient le diamètre au centre ; multipliez alors le reste par quatre fois la distance centrale, et retranchez en le produit du carré du diamètre au centre ; ce dernier reste multipliée par le tiers de la longueur du fuseau et le produit de nouveau par 1.57079, donnera le volume du fuseau. Ù
Le calcul à faire d'après cet énoncé est d’au moins deux à trois pages, et cela sans même y comprendre les détails des multiplications, divisions ete. ; tandis que tout ce qui est essentiel à l'énoncé de la règle ici donnée se résume en ces mots: Multipliez la sixième partie de la hauteur de chacune des tranches composantes par la somme des surfaces de ses bases plus quatre fois la surface d'une section à demi-distance entre elles ; la somme des volumes ainsi obtenus sera le volume du fuseau à très près ; et comme, dans la pratique, l’on obtient d'ordinaire les diamètres nécessaires ef, EF, cd, CD par un mesurage direct de ces diamètres ou de leurs circonférences respectives, tout le calcul à faire se réduit, sauf les multiplications, à celui que l’on vient d'indiquer au bas de la dernière page.
(1571) Ex. 3. Trouver le vol.
d’un fuseau parabolique, (c’est à-dire engendré par la révolution d'une parabole ACB ou ADB autour d’une double ordonnée AKB perpendiculaire à l'axe CK) dont la longueur AB est 60 et le plus grand diam. CD 34 ?
Rep. Dans le cas de la parabole et des distances égales An, nl, Lm,
(pt
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l'axe de l’ellipse et générateur (AB).
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eux à trois pages, et ions, divisions etc. ; ègle ici donnée se
de la hauteur de rfaces de ses bases nee entre elles ; la fuseau à très près ; amèêtres nécessaires ou de leurs circonles multiplications, e.
ales An, nL, Lim,
mK, les diamètres intermédiaires ef, EF, cd, s'ils ne sont point donnés sont des plus aisés à déterminer puisque comme on l’a vu (4564) les abscisses ou segments Cp, Cg, Cr, de l'axe sont comme les carrés des ordonnées correspondantes ep, Eg, Cr et que quand ces ordonnées sont des multiples ou sous-multiples égaux l'une de l’autre, les segments ou abscisses sont aussi de simples multiples ou sous-multiples de l’axe entier CK; or (245)
à cause de Eg= 34 AK on aura £Eg 3 AK et par conséquent Cg=} CK,
on aura de même Cr =} Cq ou ;4 CK et Cp=% CK puisque ep: AK ::3:4
2 2 et que 3 :4 ::9:16; l’on trouvera donc de cette manière Cqg=17-;4 = 4.25, Cr 4.254 on 17-16 1.0625, Cp=917=4 + ÿy= 8.5 + 1.0625 = 9.562, d'où l'on obtient diam. ef=2pK =14.875, EF =2Kq= 25.5, cd=2Kr=
31.879 ; maintenant vol, AEF= (surf. EF + 4 surf. ef) x 4 AL = (EF +4 ef)
