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portionnelles pour que le produit des extrêmes soit égal à celui des moyens, et réciproquement si le produit des extrêmes est égale à celui des moyens les quatre quantités sont proportionnelles; donc, etc.

(8%) Cor. Si le produit de deux quantités est égal au carré d’une autre quantité, cette dernière est moyenne proportionnelle entre les deux premières.

(90) Sco. 1. PROB. Il suit du dernier théorème que pour trouver une quatrième proportionnelle D à trois quantités données À, B, ©, il n'y a qu’à faire (24) le produit des moyens B, C, et diviser ce produit par l’extrême connu A, your avoir le quatrième terme D. Si le terme inconnu est un des moyens, on le trouvera également en divisant par l’autre moyen le produit des extrêmes.

En effet, soïent 4, 2, 6, les représentants numériques (59) de À, B, C; l'on aura D; or 4:2::6:8, puisque 8X4—2X6 (88) ou que d’ailleurs 8 est moitié de 6 comme 2 est moitié de 4; et toutes autres valeurs numériques de A, B, C, prouveraient de même la solution du problème.

(91) Sco. 2. PROB. Puisque, si l'on a À : B::B :'C (87), AXC=BXB—B”, il est clair que pour trouver une moyenne proportionnelle à deux quantités données, il faut faire le produit de ces deux quantités et extraire la racine (87) carrée de ce produit.

(92) Sco. 8. PROB. Trouver une troisième proportionnelle à deux quantités données A, B, se fera évidemment en carrant le terme moyen, c.-à-d. (85) en le multipliant par lui-même et en divisant ce produit par l’extrême connu. Soit A—8, B—4, on aura BXB ou B°—4X4 ou 4*—16, et 16-+-8—2 qui est la troisième proportionnelle cherchée; mais 8:4::4:2 puisque chacun des antécédents est double de son conséquent respectif, et toutes autres valeurs numériques assignables à A, B, donneraient le même résultat.

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THÉOR, III.

(93) Si quatre quantités quelconques A, B, C, D sont proportionnelles, elles le sont encore par Inve ion ou Invertendo ; c'est-à-dire en prenant antécédents pour conséquents et conséquents pour antécédents.

La Proportion A :B::C:D donnera donc par inversion B:A::D:C. Soit A=-4, B—2, C—6, D=3, on aura (59) 2:4::8:6, ce qui est clair puisque 2 est moitié de 4 comme 8 est moitié de 6. D'ailleurs, 2X6—4X8 (88) et toutes autres valeurs numériques proportionnelles que l’on supposerait aux quantités sous cor”dération donneraient le même résultat ; donc, etc.

THÉOR. IV.

(94) Quatre quantités proportionnelles, le sont encore alternando ; c.-à-d., si 4 : B::C: D, on aura en prenant ces quantités alternativement A :C::B:D,.

En effet, si comme auparavant A—4, B=—2, C—6, D=—8, on aura A—4 : C=—6 :: B—2 : D—8, ou 4:6::2:8 puisque 4 sont les 4 de 6 et 2 les 4 de 8; d’ailleurs, on a toujours (88) 4X 8—6X2 ou AXD—BXC et tous autres représentants numériques proportionnels des quantités A, B, C, D, donneraient évidemment le même résultat; donc, etc.

THÉOR. V.

(95) Quatre quantités proportionnelles le sont encore par Composition ou Componendo, ce qui signifie que si À:B::0C:D, on aura A+B:B::C+D:D, ou la somme des deux premiers termes est au second terme, comme la somme des deux derniers termes est au quatrième terme,

En effet, supposant toujours à À, B, C, D, les mêmes valeurs numériques 4, 2, 6, 8, on aura pour l'expression

A+B:B::0+D:D, celle 4+2:2::6+8:8; mais 4+2—6 et 6+8—9 et 6: 2::9:8, ce qui est encore évident puisque 2 est le tiers de 6 et 8 le tiers de 9, ou que (88) 6X8—=2X9 ; et tous autres représentants numériques proportionnels de À, B, C, D donneraient le même résultat; donc, etc.

THÉOR. VI.

(96) Quatre quantités proportionnelles, le sont encore par Division ou Dividendo ; c.-à-d. si À : B:: C: D, on aura par ce théorème A—B : B :: C—D : D, ou la différence entre le premier antécédent et son conséquent est à ce conséquent comme la différence entre le second antécédent et son conséquent est à ce conséquent.

En effet, prenant encore 4, 2, 6, 8 pour représentants numériques des quatre quantités dont il s’agit, on remplacera l'expression AB : B::C—D:D, par celle 4—2:2::6—8:8 ou par 2:2::8: 8, puisque 4—2—2 et 6—8—38, ce qui donne toujours le produit des extrêmes 2X8 égal à celui des moyens et prouve (88) que les quantités sont proportiounelles ; car tous autres représentants numériques proportionnels des quantités dont il s’agit donneraient le même résultat; donc, etc.

(97) Sco. On vient de voir par les deux derniers théorèmes que si l’on augmente ou si l’on diminue les antécédents de quatre proportionnelles, de quantités égales aux conséquents, ces antécédents ainsi augmentés ou diminués seront encore proportionnels aux conséquents; mais augmenter ou diminuer les antécédents d’une proportion, de quantités égales aux conséquents, n’est autre chose qu’augmenter ou diminuer ces antécédents de quantités ayant entre elles le rapport des conséquents, et les multiples ou sous-multiples quelconques de ces conséquents ont entre eux le même rapport que les conséquents eux-mêmes (73); donc :

Cor. 1. En général si l’on augmente ou si l’on diminue les antécédents d’une proportion, de quantités propor-

is 4+2=—6 t puisque 2 tionnels de etc.

ont encore D, on aura rence entre conséquent ent et son

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tionnelles aux conséquents,les conséquents seront encore proportionnels aux quantités résultantes.

Cor. 2. Si l’on augmente ou si l’on diminue les conséquents d’une proportion de quantités proportionnelles aux antécédents, les antécédents seront encore proportionnels aux quantités résultantes ; car, alternando, l'6noncé deviendrait le même que celui du dernier cor.

THÉOR. VII.

(98) Quatre quantités proportionnelles le sont aussi par conversion ou convertendo ; c’est-à-dire en comparant le premier antécédent avec la différence entre cet antécédent et son conséquent, et le second antécédent avec la différence entre cet antécédent et son conséquent.

De cetté manière A : B:: C : D donnera A : A—B::C:0Q —D, ou 4:2::6:8 s'écrira 4:4—2::6: 6—8 ; mais 4—2—92, et 6—8—8, et 4: 2::6 : 8 puisque comme toujours 4X8—2X6, et que toutes.autres valeurs numériques proportionnelles que l'on pourrait assigner à À, B, C, D, donneraient le même résultat ; donc, etc.

THÉOR. VIII.

(99) Si dans deux séries de quantités proportionnelles, les antécédents sont les mêmes, les conséquents seront proportionnels.

Soient A:B::C:D et 4:2::6:8 leurs représentants numériques ; soient aussi À : E::C:}F et 4: 8:: 6 : 12 leurs représentants numériques ; il est à démontrerque B:D::E:F ou que 2: 8::8 : 12.

En effet le produit des extrêmes 2X12—24 est égal à celui des moyens 38X8—24 (86) et d’ailleurs on voit que 2 sont les deux tiers de 3 de même que 8 sont les 4 de 12 et tous autres représentants numériques proportionnels des quantités À, B, C, etc., donneraient le même résultat; donc, etc.

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(100) Sco. On prouverait aussi les antécédents proportionnels si les conséquents étaient les mêmes.

(101) Cor. Si dans deux séries de quantités proportionnelles il y avait un antécédent et un conséquent de la première respectivement égaux à un antécédent et conséquent de la seconde, les autres termes seraient proportionnels ; car, alternando, c’est-à-dire (94) en faisant le premier terme au troisième comme le second au quatrième dans chacune des séries, l'énonciation deviendrait la même que celle de ce théor. et se démcutrerait de la même manière.

THÉOR. IX.

(102) Si l’on a un nombre indéfini de quantités proportionnelles ; l’un quelconque des antécédents sera à son conséquent comme la somme de tous les antécédents à celle de tous les conséquents.

Soit A:B::C:D::E:F etc, on aura d’après ce théor. A:B::A+C+E:B+D+F. Puisque A:B::C:D, on a (86) AXD—BXC et puisque A:B::E:F (75, Ax.), on a AXF=BXE ; ajoutons à ces produits ceux AXB—BXA et l'on a A.B+A.D+A.F—B.A+B.C+B.E, c'est-à-dire A X (B+D+F)=BX(A+C+E); donc (88) A :B:: A+C+E:B +D+F ; donc, etc.

THÉOR. x.

(103) S'il y a deux séries de quantités proportionnelles ; les produits des termes correspondants seront proportionnels.

Soit A:B::C:DetE:F::G@:H, onaura AXE : BXF':: CXG: DXH; car, puisque AXD=BXC et EXH=FXG l'on a AXDXEXH—BXOXFXG ou AXE,XDXH=BXF, XCXG; or, si les produits de deux paires de quantités sont égaux ces quantités sont proportionnelles (88); donc AX E:BXF::CXG : DXH.