C:D, on a , Ax.), on a AXB—BXA st-à-dire À X A+C+E : B

proportionants seront

XE : BXF'::

EXH=FXG XH=BXF, hantités sont ); donc AX

D'ailleurs, si les représentants numériques des deux proportions sont respectivement 4, 2, 6, 8 et 8, 4, 6, 8, on devra avoir par ce théor. 4X8 : 2X4 ::6X6 : 8X8 ou 12: 8:: 86: 24; or 12X24=8 X 86, et tous autres représentants numériques proportionnels des quantités A, B, C, etc., donneraient le même résultat; donc, etc.

A Autrement, Puisque A:B::C:D,ona Ra et puisque

: mais si l’on multiplie des quan-

ji F H tités égales par des Qianen égales, # m0" seront égaux (78, Ax.); donc BF DH ou D = d'où l'on tire, comme auparavant, AXE: BXF : : CxXG : DXH.

(104) Cor. 1. Il est clair qre si l’on remplace E, F, G, H dans ce théor. par A, B, OC, D, on aura AXA:BXB::Cx C:DXD ou A?:B°::0°:D°, et si A?:1B°::C°:D° est l’une des séries données et À :B::0:D l’autre série, il est de même évident que l’on aura A: B°::C°:D°; c'est-àdire : si quatre quantités sont proportionnelles, leurs carrés et cubes seront aussi proportionnels.

. On peut de la même manière démontrer que les puissances ou racines égales quelconques de quantités proportionnelles sont proportionnelles.

(105) Cor. 2. Les termes F, F, G, H du second rapport du théor. pouvant se remplacer par ceux E:F::E:F, on aura AXE :BXF::CXE:DXF; ou, ce qui revient au même, si de quatre quantités proportionnelles on prend des multiples ou sous-multiples égaux quelconques des deux antécédents, et des multiples ou sous-multiples égaux quelconques des deux conséquents ; les autres quantités résultantes seront proportionnelles.

ET