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(844) Cor. 5. La surface d’un triangle quelconque ACB est égale au demi produit de sa base AB par sa hauteur CF; puisque (281) tout triangle ACB est moitié de son parallélogr. correspondant AP "D.

2° Il est clair aussi, comme pour les parallélogrs. que deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases et réciproquement ceux de même base comme leurs hauteurs.

(845) Cor. 6. En général, les triangles quelcong’ies sont entre eux comme les produits de leurs bases et hauteurs.

Car ce qui est vrai de deux ou plusieurs quantités, l’est également des moiïtiés, des doubles, ou de tous les autres multiples ou sous-multiples égaux Ce ces quantités (voir les axiomes 68, etc.) ; puisque si les quantités sont égales, leurs multiples et sous-multiples égaux seront aussi égaux, et que si les quantités ont l’une À l’autre un rapport quelconque, leurs multiples ou sous-multiples égaux auront aussi entre eux le même rapport (73 Ax.)

(346) Cor. 7. On a vu (325) qu'un trapèze ABOD est égal en surface à un parallélogr.

AEFD de même hauteur KL et de base DF égale à la derni-

somme sen des bases

parallèles AB, DC du trapèze, et l’on vient de voir (841) que la surface d’un parallélogr. AF est égale au produit de sa base DF par sa hauteur LK ; donc, la surface d’un trapèze est égale au produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases ou côtés parallèles.

(847) Sco. 7. La ligne HG qui joint les points milieux des côtés opposés non parallèles du trapèze étant égale (325) à la demi-somme des bases parallèles, on peut donc aussi dire que la surface d'un trapèze est égale au produit de sa

e ACB auteur on pa-

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és, l’est 3 autres (voir les es, leurs «, et que lconque, ei entre

841) que hit de sa trapèze mme de

lieux des à (325) à ussi dire t de sa

ê hauteur par la ligne qui joint les points milieux de ses cô’és inclinés.

(848) Sco. 3. PROBS. Donc, pour résumer; la surface d’un rectangle s’obtiendra toujours en faisant le produit de ses côtés adjacents ou ce qui est la même chose, de sa base par sa hauteur ; celle d’un carré en multipliant son côté par lui même, puisqu’un carré n’est qu’un rectangle à côtés égaux; celle d’un parallélogramme, rhombe ou losange, en. ltipliant sa base par sa hauteur; celle d’un triangle, en multipliant sa base par la moitié de sahauteur ou sa hauteur par sa demi-base, ou enfin, en prenant le demi-produit de sa base et hauteur; celle d’un trapèze, en faisant le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses côtés parallèles, ou en prenant le demi-produit de sa hauteur par la somme de ses côtés parallèles.

(349) Sco. 9. PROBS. Réciproquement, la division étant le contraire de la multiplication, puisque par la première opération l’on défait ou décompose ce qu’on fait par la seconde (22), il est clair que pour revenir de la surface d’une figure à ses éléments ou facteurs, il faut diviser cette surface par le facteur donné pour en déduire le facteur inconnu. Ainsi, la surface d’un rectangle divisée par sa hauteur donnera évidemment sa base, ou sa surface divisée par sa base donnera sa hauteur, et il en sera de même d’un parallélogramme quelconque. La surface d’un triangle divisée par sa demi-base donnera sa hauteur, ou sa surface par la moitié de sa hauteur donnera sa base, ou encore, sa surface par sa base donnera sa demihauteur. Pour le trapèze, il est clair que sa surface divisée -par sa hauteur donnera la demi-somme de ses bases parallèles, puisque ce sont là les facteurs qui concourent à la formation de sa surface, et réciproquement la surface du trapèze divisée par la demi-somme de ses côtés parallèles ou par la ligne qui joint les points milieux de ses côtés inclinés, donnera sa hauteur.

FL à ui À E ;

if FH hd

(350) Sco. 10. PROB. La surface du carré s’obtenant en multipliant un de ses côtés par lui même ou en carrant ce côté; il est clair que pour revenir de la surface d’un carré à son côté, il n’y a qu’à extraire la racine carrée de cette surface.

(851) Sco. 1L. PROB. Tout B quadrilatère BD pouvant se partager en deux triangles ABC, ADC, par une diagonale menée entre deux quel- À C conques de ses angles opposés; il est clair que la surface d'un quadrilatère quelcon- D que s’obtiendra en multipliant une de ses diagonales (base commune) AC par la demi-somme des perpendiculaires ou hauteurs BF, DE abaissées des angles opposés sur cette base.

(852) Sco. 12. PROB. Tout polygone régulier ou irrégulier BE pouvant se diviser en triangles ; il est clair que la surface d’un polygone quelconque peut s’obtenir en calculant d’abord séparément celle de chacun des triangles qui le composent, si ces triangles sont inégaux, ou d’un seul s'ils sont égaux, au moyen de leurs bases et hauteurs respectives BD, CK; AD, BL; AD, HE; etc.; et en ajoutant ensemble tous

ces triangles.

PROP. XX. THÉOR.

(853) Le rectangle AC de deux lignes AD, AB est équivalent à la somme AD.AE<+AD.EF+AD.FB des rectangles formés par l’une AD de ces lignes et les parties AE, EF, FB de l’autre ligne,

Mi = Li © & +

ant en rant ce [:) d’un

carrée

ht, si ces gaux, au BD, CK; ble tous

est équides rect-

s parties

Il est clair que le rectangle AC A Due RE LS est égal à la somme des rectangles AG, EH, FC; car (84 Ax.), le tout est égal à la somme de ses parties et EH=EG.EF, FC—FHFB; mais D ü —H À parce que les parallèles entre parallèles sont égales, EG—AD et FH=—AD; donc, EG.EF— AD.EF et FH.FB=:AD.FB; donc, AD.AB=—AD.AE+AD. EF+AD.FB ; donc, etc. 3

(854) Sco. I. Cette propriété dérive facilement de l’algèbre. Soit AD—«a, AE=b, EF=c, FB—d; l’on aura a (b+c+d)=ab+ac+ad.

(355) Cor. L. Si l’on suppose AB—AD, AC sera un carré ; donc, si l’on divise une ligne AB en deux ou plusieurs parties quelconques AF, EF, etc., les rectangles AG, EH, etc., contenus par la ligne entière et chacune des parties seront ensemble équivalents au carré de la ligne entière.

(856) Sco. 2. Soit AB—AD—a, AE—b, EB—c; alors, a=b+c; donc, multipliant de part et d’autre par a, l’on aura 2 ab+ad.

(857) Cor. 2. Si AB est partagée en deux parties quelconques AE, EB et que AD soit égale à l’une AE de ces parties ;: on aura évidemment AB.AE—AB.AD—EB.AD-+ AE; car AE étant —AD, AG sera un carré ; donc, si l’on divise une ligne en deux parties quelconques, le rectangle contenu par la ligne entière et l’une des parties est équivalent au rectangle contenu par les deux parties pl le carré de l’autre partie.

(858) Sco. 3. Soit AB—a, AE—È, EB—c; alors, a—b+ce et multipliant de part et d'autre par c, l’on a ac—be+c°.

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PROP, XXI. THÉOR.

(359) Si l’on divise une ligne AB en deux parties quelconques AC, CB; le carré de la ligne entière AB est équivalent à la somme des carrés des deux parties AC, CB de la ligne, plus deux fois le rectangle des parties ; c.-à-d., ABAC?-+CB°+2A0C.CB.

Soit AEle carrésur ABetBK=—BC. À 0 B Par les points ©, K menant CF paral- kr. gb) lèle à BE ou AD et KH parallèle à AB ou DE; il est clair que tous les angles seront droits, et parce que les parallèles entre parallèles sont égales (271) on aura CG—BK=CB=GK. D F E Donc, CK sera le carré sur CB. Maintenant parce que AH—BK=—CB et que AD=—AB, il est évident que HD—AC —HG=DF=GF; donc, HF est le carré sur DF ou son égal AC. Nous avons aussi le rectangle AG—AC.CG— AC.CB=GE, puisque GK=—GC et GF=—AC. Or, le carré AE est composé des carrés CK, HF et des rectangles égaux AG, GE ; done, AB-A0°+CB*+2A0.CB.

(860) Sco. 1. Cette propriété dérive aussi du carré d’un binome. Soit AC—a, CB=b; alors (a+b)?—a°+2ab+b?.

(361) Cor. 1. La diagonale BG prolongée passe par le point D. Car elle partage le carré CK en deux triangles égaux et isocèles faisant l’angle BGK—BGC. Les angles DGEH, DGF sont égaux à leurs opposés au sommet BGK, BGC et valent par conséquent chacun la raoitié d’un angle droit; mais parce que DGF est moitié d’un angle droit, DFG étant un triangle rectangle, GDF sera aussi moitié d'un angle droit. Le triangle DFG est donc isocèle et DF=GF. Le triangle DEB est donc aussi isocèle, puisque DBE, BDE sont des angles égaux; donc, DE—BE et DB

most psg __— = st

est la diagonale de AE et elle passe par le point G; donc, les parallélogrammes CK, HF autour du diamètre BD d’un carré AE sont aussi des carrés.

(862) Cor. 2. Si l’on divise une ligne AB en deux

{| {| es quel- parties quelconques AO, CB : carré AE de la ligne À AB est entière, plus le carré CK dr: . ‘ 3 des parties, est équi- (1 | ties AO, valent à deux fbis le rec .gle AB.BC de la ligne EMA parties ; entière et de cette partie, plus le carré HF de l’autre À partie AC. C'est-à-dire AB°+BO*= 2 AB.BC+AC°. 1 0 B Puisque par hyp., BK=—BC ; AK—AB.BC—EB.BC=—CE. | Maintenant il est évident que AK+-CE+HF=AE-+CK ; l û K car en prenant AK-+-CE, on prend le carré CK deux fois ; | A donc, etc. :

(863) Sco. 2. Soit AB—a, AC—b, CB=c; alors d—b°+ Lil 2be + c?; ajoutant «© de part d'autre, on aura PAIN TS fl F E 2be+2c° ; donc «°+c°—b°+ 2c(b+-c) ou + —Qnc+0?. LA | arce que (864) Cor. 3. Donc la somme des carrés de deux lignes À HD=AC est équivalente à deux fois le rectangle contenu par les | + F ou son lignes, plus le carré de la différence de ces lignes; car si 4 AC.CG=— AB, CB sont les deux lignes, leur différence est AC, et & , le carré comme on vient de le voir, AB°-+CB° ou AE+COK—=AK+ | | les égaux CE-+HF—2AB.BC+AC°? LU (865) Cor. 4. Il suit aussi du dernier cor. que le carré arré on HF décrit sur la différence de deux lignes, est équivalent ab+-b". à la somme des carrés sur les deux lignes respectivese par le ment, moins deux fois le rectangle. contenu par ces triangles lignes. Car a—c—b; et en carrant il vient a°—2ac+c?—b?, es angles ce qui se déduit aussi de la dernière sco. par transposition. Let BGK, un angle nie doit PROP. XXII. LEMME.

sei moitié aocèle et (866) Si une ligne AB'est divisée en deux parties >, puisque égales au point C et en deux parties inégales au point D ; BE et DB la partie CD de la ligne entre les points de section est

égale à la demi-différence entre les parties inégales AD,

DB de la ligne entière. F Faites AE—DB et vous aurez E D I ED égale à la différence entière À Ô B I entre AD, DB; or, puisque par L constr. AC—CB et AE—DB, il est clair (77. Ax.) que AC— I AËE=CB—DB; donc CD=—CE=X}ED ; donc, etc. is (867) Sco. 1. PROB. Donc, étant donné la somme B AD+DB de deux lignes AD, DB et leur difiérence ED et pour trouver les deux lignes ; il n’y aura qu'à ajouter à ci! AC, moitié de la somme des deux lignes, la moitié CD de C la différence, pour avoir le plus grand segment AD ; et de la moitié de la somme des deux lignes, retrancher la moitié le de la différence, pour avoir le plus petit segment DB. éc (868) Sco. 2. PROB. Ce que l’on vient de dire au sujet di de la somme et différence de deux lignes s’appliquera égale- (A

ment à toutes autres quantités de même espèce (25); car ce qui est dit des lignes s'entend des nombres d'unités de mesure de ces lignes; or ces nombres peuvent également représenter ceux de deux surfaces ou solides ou encore de deux angles ; donc, en général, on pourra toujours trouver deux quantités quelconques de même espèce, étant donné leur somme et leur diftérence.

PROP. XXIII. THÉOR.

(869) Si l’on divise une ligne AP en deux parties égales au point C et en deux parties inégales au point D; le rectangle des parties inégales AD, DB, plus le carré de la ligne CD entre les points de section, ost équivalent au carré de la moitié de la ligne ; ce.-à-d. que l’on aura AD.DB--CD°=0B?,

es AD,

o AC—

somme ace ED jouter à s CD de ); et de a moitié au sujet a égale- ; car ce s de ment repréde deux er deux donné

parties point D; le carré

valent ’on aura

Soit CF le carré sur CB moitié À C__D B de la ligne donnée. Faisant BN— BD et menont les parallèles NK, DG et AK, l’on aura conime dans le dernier théor. (359) DN—DB* LG=CD*? et AH—AD.DB=le E G rectangle des parties inégales. Maintenant parce que BF— BC=AC et parce que AK—DH—DB, le rectangle DF=AL et DF+CH=AL+CH=AH; or le gnomon GNC plus le carré LG=CF; donc aussi AH+LG=CF, ou AD.DB+ CD*=—CB? ; donc, etc.

(370) Cor. L. Il suit de cette prop. que la différence entre les carrés de deux lignes inégales AC, CD ou CB, CD, est équivalente au rectangle de leur somme AD et de leur difiirence DB ; c.-à-d. AC°— CD? ou CB?-—CD*—(A0+CD) (AC—CD).

(371) Sco. 1. Soit AC=a, CD=b; alors AD=—a+6, et DB—a—+b; donc (a+b)x(a—b)=a—b", c.-à-d. le produit de la somme et de la différence de deux quantités (24) est égal à la différence de leurs carrés.

(372) Cor. 2. De tous les rectangles contenus par les segments d’une ligne donnée, le plus grand est le carré décrit sur la moitié de la ligne,

Car par la prop. ce carré est équivalent au rectangle des

* segments de la ligne plus quelque chose; d’où il suit que le

rectangle en question est équivalent au carré de la moitié

de la ligne moins quelque chose; donc le rectangle est

moindre que le carré, ou le carré est plus grand que le rectangle.

(8378) Sco. 2. PROB. Il suit de cette prop. que pour diviser une ligne donnée AB de manière que le rectangle AD.DB de ses segments soit équivalent à un carré donné ; ou ce qui est la même chose, pour faire un rectangle équivalent à un carré donné et ayant la somme de ses

hp l tenta F-