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(441) Si le diamètre AE passe en dehors de l’angle BAD), l’on a comme A.
auparavant ECB=2EAB et ECD= 2EAD ; mais ECD—ECB=BCOD et EAD—EAB=DAB; donc, encore
dans ce cas BCD=—2BAD. Ë D
(442) Cor. 1. Puisque (425) l'angle BCD au centre d’un cercle est B mesuré par l’arc BD qui ie sous-tend, et que l’angle BAD à la circontérence appuyé sur le même arc BD est, par cette prop., moitié de l’angle au centre ; il s'en suit qu’un angle quelconque BAD à la circonférence d’un cercle a pour mesure la moitié de l'arc BD compris entre ses côtés.
(443) Cor. 2. Tous les angles BAC, BDC, BEC inscrits (194) dans le même segment de cercle BDC sont égaux, parce qu’ils sont mesurés par la moitié d’un même arc BFC.
Tous les angles BFC que l'a:
ferait dans le segment BOF :e- À raient aussi égaux, puisqu'ils auraient chacun pour mesure la moitié de l’arc BDC.
(444) Cor. 3. Tout angle BAC, D
BDC inscrit dans un demi-cercle,
c'est-à-dire, appuyé sur le dia- À
mètre BC ou sur la demi-cir-
conferonce BEC du cercle, est B (y un angle droit ; parce qu'il a pour
mesure la moitié de la demi-cir-
conférence BEC, c-à-d., un quart B
de lu circouférence entière,
2° Et, réciproquement, il est clair que si un angle ins-
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crit dans un cercle est droit, cet angle est appuyé sur un diamètre ou sur une demi-circonférence.
(445) Cor. 4. D’après les deux dernières cors., il est évident qu’un angle BL'© (voy. la fig. du cor. 2) inscrit dans un segment BOF plus petit qu’un demi-cercle est obtus, étant mesuré par la moitié d’un arc F DC plus grand que la demi-circonférence ; et celui BAC inscrit dans un segment BOD plus grand que le demi-cercle est aigu, étant mesuré par un arc BFC plus petit que la demi-circonférence.
(446) Cor. 5. Les angles opposés À, C d’un qualiatère ABOCD inscrit dans un cercle valent ensemble deux angles droits ; car l'angle BAD « pour mesure la moitié de l'arc BCD et l'angle BCD est mesuré par la moitié de l’are BAD; donc, D ies deux angles A, C pris ensemble, sont mesurés par une demi-circonférence et valent en conséquence deux angles droits.
(447) Cor. 6. Si l’on prolonge un côté quelconque AB d'un quadrilatère inscrit dans un cercle, l’angle ext. EAD sera égal à l’angle int. opposé OC; car, EAD est (180) supplément de BAD, et par le dernier cor. l’angle BCD est aussi suplément de BAD; donc, EAD=C.
(448) Cor. "7. Il suit aussi qu'un quadrilatère quelco=que dont les angles opposés pris ensemble nue sont pas égaux à deux angles droits ne peut être inscrit dans un cercle.
(449) Cor. 8. Dans le même cercle ou dans les cefcles égaux, les angles égaux à la circonférence sous-tendent des arcs égaux ; et réciproquement, les angles à la circonférence appuyés sur des arcs égaux sont égaux.
Ilaété démontré (899) que les angles égaux au centre
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sont sous-tendus par des arcs égaux, et réciproquement, que les arcs égaux sons-tendent des angles égaux au centre; mais par cette prop. (440) les angles à la circonférence sont moitiés de ceux au centre sur arcs égaux, et les moitiés de quantités égales sont égaes.
D'ailleurs, la même conclusion dérive aussi du second cor. ; car, à l'égard des angles, être inscrit dans le même segment de cercle, n’est autre chose qu'être à la circonférence et appuyé sur ie même arc.
(450) Sco. PROB. Parce que l’angle D à la circonférence vaut la moitié de l’angle C au centre sur le même arc AF'B, et que (406) CE menée perpendiculaire au milieu Ge la corde AB, partage l’angle C en À deux parties égales ; il suit que l’angle ECB=D ; mais à cause de l’angle CEB droit et parce que dane un triangle rectangle les deux angles aigus valent ensemble un angle droit, on a l'angle ÉBC=CEB —ECB; or, ZCB vient d’être prouvé =D; donc aussi, EBC=CEB-—D ; c-à-d., que l’angle EBC ou ABC vaut un angle droit nrins l’angle D.
D'où l’on tire que pour décrire sur une ligne donnée AB un segment de cercle ADB capable de contenir un angle D égal à un angle donné quelconque; il n’y a qu’à faire à chaque extrémité A, B de la ligne donnée, un angle ABC=BAC égal à la différence entre l’angle donné et un angle droit. Les lignes BC, AC se couperont en C, centre du segment cherché.
(451) Si l'angle donné est druit, il est clair (144) que le centre du segment capable de le contenir, sur une base donnée, sera au centre de la ligne donnée. Cette lign:: sera alors un diamètre et le segment un demi-cercle.
(452) Si l'angle requis est obtus comme celui AFB, il
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est clair (445) que le seytieut capable de :: ecstenir sera plus petit qu’un demi-curcie, «1 que dans ce cas ce segment sera situé du côté de la lÿne AB opposé au centre OC.
PROP. XXXVII. THÉOR.
(453) Si dans un cercle deux lignes AB, DE qui ne passent pas par le centre C, se coupent, elle ne se bissecient pas.
Car si les deux lignes se bissectaient mutuellement en F, la ligne CF menée du centre © au point milieu F de chacune des cordes C AB, DE, serait (408) perpendicu- D laire à chacune d'elles; or il est À clair qu'une ligne ne peut êtreen D même temps perpendiculaire à deux :
lignes qui s’intersectent, car ces deux lignes sont par là | même inégalement inclinées à la troisième et font en conséquence (128) avec cette dernière des angles inégaux; p donc, etc.
PROP. XXXVIII. THÉOR.
(454) Si sur le diamètre AD d’un cercle, l’on nrend un point quelconque F qui ne soit pas le centre ; de toutes leg lignes FB, FC, FG qu’il soit possible de mener de ce point à la circonférence, la plus grande est celle FA qui contient le centre E du cercle et la plus petite, l’zu- À tro partie FD du diamètre ; et des autres, la ligne FB 4 qui est la plus voisine de celle qui passe par le centre 1 est toujours plus grande que celle FC qui en est plus
éloignée.
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Menez les rayous BE, CE, etc., et p parce que BE+-EF-=AT+EF et que Pau À la somme de deux côtés d'un triangle \\ est plus grande que le troisième of côté, l’on a BF plus petit que BE+ EF, c’est-à-dire plus petit que AF. + Maintenant CF est < BF parce que NT dans les deux triangles BEF, CEF l qui ont deux côtés BE, EF de l’un égaux aux deux CE, EF de l’autre, celui-là a (269) la plus grande base BF qui a le plus grand angle compris BEF. On prouverait de même GF plus petit que CF et DF<GF'; car DF+FE=GF+FE=DE et comme GE<GF+FE, de même DE<GF+FE ; or FE est commun à DF+FE et à GF+FE; donc, DF est plus petit que GF'; donc, etc.
(455) Cor. I. D’un même point F dans un cercle, l’on ne peut mener à la circonférence que deux lignes droites, égales FG, FH, l’une de chaque côté du diamètre passant par ce point ; car si l’on pouvait en mener une troisième FK, il s’en suivrait que FK plus ou moins éloignés de FD que ne l'est FH, serait égale à FH; ce qui d’après le dernier par, est impossible.
(456) Cor. 2. Il suit de cette prop. que si dans un cercle on prend un point dont on puisse mener plus de deux liges égales à la circopférence ; 0e point sera le centre du cercle.
Car il vient d'être prouvé q": de tout autre point Fil serait impossible de mener plus de ‘ux lignes égales à la circonférence.
(457) Cor. 3. Toute corde A1 dans un cercle est moindre que le diamètre AB.
Car A est un point quelconque sur le diamètre AB et par la prop.
AD est plus petite que AB.
D'ailleurs, AC+CB=AC+0CD ; CB, CZ étant rayons d’un même
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