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cercle; mais AD, côté d’un triangle, est moindre que AC +OD, somme des deux autres côtés ; donc AD<AB.

(458) Cor. 4. Donc, la plus grande ligne que l’on puisse inscrire dans un cercle, est un diamètre ; conséquence déjà tirée (188) des défs. du cercle, etc.

PROP. XXXIX. THÉOR.

(459). Si l’on prend un point quelconque D en dehors d’un cercle, et si de ce point on mène des lignes DF, DE etc. à la circonférence, l’une desquelles DA passe par le centre B du cercle ; de celles qui tombent sur la circonférence concave, la plus grande est la ligne DA qui passe par le centre; et des autres, celle DE qui est plus près de celle DA qui passe par le centre est toujours plus grande que celle DF qui en est plus éloignée.

Mais de celles DN, DL, etc. qui tombent sur la circonférence convexe, la plus petite est celle DN qui se trouve sur le prolongement du diamètre AN ; et des autres, celle DL qui est plus près de DN la plus courte, est toujours plus petite que celle DC qui est plus éloignée.

Ayant mené les rayons BE, BF etc. l'ona DB+BE=DB+BA=DA, à cause de DB commun et de BE, BA égaux, étant rayons d’un même cercle ; et dans le triangle DBE un côté DE< la somme DB+BE des deux autres côtés; done DE<DA.

Le côté DF< (269) DE, parce que dans les iriangles DBF, DBE, les côtés DB, BF sont égeux à ceux DB, BE, tandis que l'angle compris DBE est plus grand que celui DBF.

Maintenant DL est plus grande que DN, parce que (161)

mm, Lui = À, À LL 1

bent À) hd nn bd bad M "A mm

DB<DL+LB et que LB=NB; et puisque (268) si dans un triangle DOB l'on mène d'un point intérieur quelconque L des lignes DL, LB à la base DB, la somme de ces lignes est moin”re que celle des deux côtés du triangle, on aura DL+LB<DC+CB, et CB étant —LB, il restera DC>DL ; donc, etc.

(460) Cor. D’un même point quelconque D hors d'un cercle l’ôn ne peut mener à la circonférence concave ou convexe que deux lignes égales DL, DH ou DE, DG, l'une de chaque côté de celle qui passe par le centre ; car si l’on pouvait en mener plus de deux, il pourrait y avoir deux lignes différentes du même côté du diamètre qui seraient égales l’une à l’autre, ce qui par la prop. est impossible, puisque toutes ces lignes sont plus ou mons grandes suivant qu’elles sont plus ou moins éloignées de celle qui passe par le centre. :

PROP. XL. THÉOR.

(461) Les cordes égales AB, LE dans un cercle sont également éloignées du centre C ; et celles qui sont également. éloignées du centre sont égales ; et de toutes autres cordes, celle AÏ qui est plus près du centre est toujours plus grande que celle AB qui est plus éloignée ; et la plus grande est plus près du centre que la moindre.

D'abord, si AB=DE, il est à démontrer que la perpendiculaire CF —CG ; car ce sont ces perpendiculaires qui (200) mesurent les distances respec:.ves de ces cordes au centre. Or, les perpendiculaires CF, CG bissectent les cordes égales AB, DE et donnent par conséquent AF--DG; de plus AC=DC, rayons d’un même cercle;

d’où il suit que les triangles rectangles AFC, DGC ont deux de côtés de l'un égaux à deux côtés correspondants de l'autre, qu et donnent en conséquence (811) CF—CG. pa (462) En second lieu, si CF=—CG, il est clair que le même m raisonnement donnera AF—DG; or AB=—2AF et DE— gt 2DG ; d'où, AB=-DE. et (463) En troisième lieu, si CI<CF, l’on aura AH>AB; CI° sera<CF° et laissera AÏ°>AF*, puisque CI +AI— ta CF°+AF*=—CA?. ce (464) Enfin, si AH est plus grande que AB, il est à dé- O. montrer qu’elle sera aussi plus près du centre; c-à-d. que la perpendiculaire CI sera moindre que CF. Or, à cause des lis triangles rectangles AFC, AIO, l'on a (305) AC°*=AF*+ ra CF* et AC°—AI+ CI; donc, (68 Ax.) AF°+CF?—AT "+ B. CI*; mais parce que AI moitié de AH est plus grande que pa AF moitié de AB, AH étant par hyp. plus grande que AB, l'on a AÏ°>AF?; d'où il suit que CI*<CF* ; c.-à-d., que CI est moindre que CF ; donc, etc. a (465) Cor. Plus la corde est courte ou petite, plus elle ft est éloignée du centre ; réciproquement, plus la corde de est éloignée du centre, plus elle est petite. 1 su PROP. XLI. THÉOR. hs (466) Si une ligne droite PR touche un cercle OKG en V'e un point quelconque O, la ligne BO, menée du centre B er

au point de contact O est perpendiculaire à la ligne qui touche le cercle.

En effet, la plus courte ligne que l’on puisse mener d’un point B à une ligne PR est (818) la perpendiculaire BO; toute autre ligne BF oblique à PR étant plus grande aue BO. Mais si BF est plus grande que BO ou que son égale BE, car BO, BE sont rayons d’un même cercle, il est évi-

ynt deux l’autre,

le même t DE—