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2° La perpendiculaire DC menée à la circonférence, d’un point quelconque D sur le diamètre d’un cercle, est moyenne proportionnelle entre les segments AD, DB du diamètre.

(581) Cor. 2. En comparant chacun des triangles partiels avec le triangle entier, l’on obtient AB: AC.: AC: AD et AB :BC::BC:BD; c.-à-d., chacun des côtés d’un triangle rectangle ACB est moyen proportionnel entre la base et le segment, adjacent a ce côté, formé pa: la perpendiculaire abaissée de l’angle droit sur l’hypoténuse.

(532) Sco. IL. Puisque AB : AC 0 :: AC : AD, le produit des extrémes est (87) égal à celui des moyens, et l’on a AC*—AB.AD. Pour la même raison, AB étant à BC ::

BC à BD, l'on a BC“—AB.BD. # LEE, Donc, AC°+BO*=—AB.AD+AB.BD; mais (855) la somme des rectangles d’une ligne et de chacune de ses parties équivaut au carré de la ligne; donc, AB.AD+AB.BD— (AD+DB)xAB—ABX AB=AB" ; c-à.-d., le carré fait sur l’'hypoténuse AB d’un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés AC, BC du triangle. |

(533) Nous arrivons donc encore au carré de l’h} poténuse par un chemin bien différent de celui (805) qui nous y à d’abord conduits, et plus légitimement de cette manière : puisque cette propriété est en réalité une conséquence de la propriété plus générale, que les côtés des triangles équiangles sont propertionnels (520). C’est ainsi que les propositions fondamentales de la géométrie se réduisent pour ainsi dire à cette seule proposition, qe le” triangles équiangles ont leurs côtés homologues proportionnels.

(5834) Sco. 2. PROB. L’angle C contenu dans un demicercle étant droit (444); si l'on demanduit à trouver une

\férence, role, est ), DB du

8 partiels C:AD et un trianentre la a: la perténuse.

la somme ses parties -AB.BD= ré fait sur squivalent tres côtés

hy poténuse i nous y à nière: puise de la proéquiangles ropositions pour ainsi les équian-

is un demi- OUVEr une

moyenne proportionnelle CD à deux lignes données AD, DB; il est clair (580 2°) qu'il n’y aurait qu’à joindre bout à bout les deux lignes données, de manière à n’en former qu'une seule et même ligne droite AB ; sur AB décrire le demi-cercle ACB ; élever alors au point de contact D la perpendiculaire DC qui serait la moyenne proportionnelle demandée.

(535) Sco. 3. PROB. La perpendiculaire DC menée à la circonférence, d’un point quelconque D sur le diamètre d’un cercle, étant (580 29) moyenne proportionnelle entre les

‘segments du diamètre; si l’on demandait à trouver par ce théor. un rectangle équivalent à un carré donné C et ayant la somme de ses côtés adjacents égale à une ligne donnée AB; il n’y aurait qu’à décrire sur AB un demi-cercle et à mener la parallèle DE à une PR e distance AD de AB égale au côté D E du carré donné; abaissant alors du point E la perpendiculaire EF sur AB, la ligne AB serait par- A F F tagée en F de manière à donner AF.FB—EF*; c-à-d. que l'on aurait AF, FB respectivement égaux aux côté adjacents d'un rectangle équivalent au carré donné.

Une autre solution de ce problème a déjà été donnée aux par. (373).

2° Si l'on avait à trouver un carré équivalent à un rectangle donné; il est clair qu'en prenant sur la ligne indétinie AB, AF égale à l’un des côtés du rectangle, FB égale à l'autre; sur AB décrivant un demi-cercle, et du point F menant FE perpendiculaire à AB; l'on aurait FE pie a côté du carré cherché ; puisque (430 2°) FE°= AF.FL.

(536) Cor. 3. La corde AC ou C BC est moyenne proportionnelle entre le diamètre AB et le segment naiscnt AD ou vil:

puisque AC*—AB.AD et que BC =AB.BD. À D B

(587) Cor 4. Puisque AC°=—AD.AB et que BC*=—BD.AB ; l'on a AC°: AD.AB :: BC°: BD. AB. Supprimant AB qui est commun aux deux conséquents (64) de la proportion, il vient AC?: AD ::BC° : BD ou alternando AC*: BC?::

AD: BD; c.-à-d. que dans un triangle rectangle quel-'

conque ACB, les segments AD, DB de la base sont entre eux comme les carrés des côtés correspondants.

2° Ilest clair aussi que AC: AB?:: AD:AB et BC*:- AB*::BD:AB; c-à-d., l’hypoténuse et un de ses segments sont entre eux comme les carrés de l’hypoténuse et du côté correspondant ou adjacent au segment.

(588) Cor. 4. PROB. Si EF est parallèle à AB, les triangles semblables ACB, ECF donneront AC: BC::EC:FC; de là (104) AC“: BC? :: EC:

FC. Maisparle dernier Cor., T AC° : BC°:: AD : BD, et parceque (75) les rapports qui sont égau:. à un même rapport son égaux entr’eux, l’on aura EC* : FC2:: AB : BD ; ce qui indique que pour trouver le côté FC d’un carré qui soit à un carré donné comme une ligne donnée BD à une ligne donnée AD ; il faut joindre bout à bout ces deux lignes, ou ce qui est la même chose, prendre sur une ligne droite indéfinie AB, deux longueurs AD, BD égales à celles des deux lignes données ; sur AB décrire un demi-cercle, au point D élever une perpendiculaire DOC, par les points À, C et B, C mener les lignes indéfinies EC, FC ; porter sur celle EC une longueur EC égale au côté du carré donné et mener EF parallèle à AB.

-BD.AB ; t AB qui ortion, il 2. BC?::

gle quelont entre

et BC°:ses segrpoténuse nt.

ts qui sont l’on aura rouver le pmme une ut joindre me chose, longueurs s ; sur AB perpendis lignes ingueur EC lèle à AB.

Cette dernière coupera la ligne FC en F et donnera FC égale au côté du carré cherché.

(589) Cor. 5. L'on a vu (410) q que la perpendiculaire AB menée par le milieu D d’une corde quelconque CF et terminée de part et d'autre à la circonférence, est un diamètre ; et réciproquement, le diamètre AB perpendiculaire À une corde quelconque CE, bissecte ÿ cette corde (408) ; or DC ou son égale DE est (530 2°) moyenne propc:tionnelle entre AD et DB, et DC—DE=# CE est la demi-corde ; done la moitié d’une corde perpendiculaire à un diamètre est moyenne propertionnelle entre les segments du diamètre.

(540) Sco. 5 PROB. Il suit directement du dernier cor. qu'étant donné la corde CE d’un arc de cercle quelconque CBE et la perpendiculaire DB au milieu de cette corde, c.-à-d. la flèche ou le segment du diamètre compris entre cette corde et la circonférence, pour trouver le diamètre du cercle ou le rayon de la courbe ; l’on obtiendrait le reste AD du diamètre ou le segment inconnu, en divisant le carré dela demi-corde DC par le segment donné DB; car BD: DC::DC:DA ; d’où, DA=—DC*, et le

BD rayon FB de la courbe—DA+DB.

Puisque AD.DB—DC; il est clair que pour trouver AD par construction il faudrait sur BD faire (800) un rectangle équivalent au carré sur la ligne CD; alors BD étant un des côtés de ce rectangle, l’autre côté serait évidemment égal à la ligne cherchée AD.

PROP. L. THÉOR.

(541) Si dans un triangle quelconque BAC, i ligne AD bissecte un angle BAC et coupe le côté BC oyposé à cet angle ; les segments BD, DC de la base auront l’un à l’autre le même rapport que celui des deux autres côtés BA, AC du triangle. C-à-d., l'on aura BD:DC:: BA : AC.

En eflet, menant CE parallèle E à AD jusqu’à ce qu’elle rencontre BA prolongée en E; la ligne droite AC qui rencontre les parallèles AD, CE, fera (153) l’angle ACE égal à son alterne DAC,

respoudant E; mais par hyp. DAB—DAC ; donc aussi, l'angle ACE—E ; c-à-d. (248) EAC est un triangle isocèle cc donne AE—AC. Maintenant ABD,EBC étant des triangles semblables, parce que CE est parallèle à AD, donnent (509) BD: DC:: BA: AE et l'on vient de voir que AE—AC; donc, (82 Ax.) BD : DC:: BA: AC; done, etc.

(542) Réciproquement, si les segments de la base d’un triangle quelconque ont l’un à l’autre le même rapport que celui qui existe entre les côtés du triangle ; la ligne menée de l’angle vertical (183) au point de section de la base, bissectera l’angle vertical.

Faisant la même construction que dans le dernier cas, l'on aura (509) BD: DC:: BA : AE et parce que par hyp. BD : DC:: BA : AC, l’on aura (75 Ax.) BA : AC :: BA: AE: donc (72 Ax.) AC=AE et par couséquent l'angle E—ACE; mais E= son correspondant DAB et ACE— son alterne

DAC, et ces deux angles sont égaux, donc aussi, DAB, DAC sont égaux; c-à-d. que l’angle BAC est bissecté par la ligne AD ; donc, etc.