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228 GÉOMET®AIE.

Le problème suivant indiquera une des méthodes élémentaires les plus simples d'obtenir ces rapprochements.

PROP. LXXV. PROB.

(669) Etant données la surface d'un polygone régulier inscrit, et celle d’un polygone semblable circonserit ; trouver les surfaces des polygones réguliers inscrit et circonscrit ayant un nombre double de côtés.

Soit AB un côté du pol.ins- EŒE P M «Q F crit donné, EF parallèle à AB, un côté du pol. correspondant 4 B

circonscrit, C le centre du

cercle. Si on mène la corde

AM et les tangentes AP, BQ,

AM sera (659) un côté du pol.

inscrit ayant un nombre dou-

ble de côtés, et (658) AP+

PM=2PM (ou PQ) sera un C côté du pol. semblable circonscrit. Maintenant, comme la même construction aura lieu à chacun des angles égal à ACM, il suflira de considérer ACM par lui même; les triangles ACD, ACM étant évidemment l'un à l'autre comme les polygones entiers dont ils font partie (622 et 102). Soit donc A la surface du pol. inscrit dont le côté est AB, B celle du pol. semblable circonscrit, A’ la surface du pol. dont le côté est AM, et B’ celle du pol. semblable circonscrit. A et B sont donnés pour trouver A' et B’.

En premier lieu, les triangles ACD, ACM ayant le sommet commun À, sont l’un a l’autre (844) comme leurs bases CD, CM; ils sont aussi entre eux comme les polygones A et A’ dont ils font partie; d’où (75 Ax.) A : A':: CD: CM. Puis, les triangles CAM, CME, ajant le sommet commun M sont entre eux comme leurs bases CA, CE; ils sont aussi entre eux comme les polygones A’ et B dont ils

des élémenents.

ne régulier circonsorit ; 8 inscrit et

nt, comme la ngles égal à même; les n à l’autre côté est AB, rface du pol.

e circonscrit.

ayant le some leurs bases es polygones A:A'::CD:

le sommet CA, CE; ils et B dont ils

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