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font partie; donc A':B::CA:CE. Mais puisque AD et ME sont parallèles, l’on a CD: CM:: CA: CE ; de là, (75 Ax.) A:A'::À':B; d'où, le polygone 4, l’un de ceux qu'on demande, est moyen proportionnel entre les deux polygones A et B, et en conséquence A—V A X B.

En second lieu, la hauteur CM étant commune, le triangle CPM est au triangle CPE comme PM est à PE; mais puisque CP bissecte (622) l'angle MCE, l'on a (541) PM : PE::CM:CE::CD:CA::A:1A'; delà, CPM : CPE :: A : A’ et en conséquence (95) CPM : CPM+-CPE (ou CME) :: A: A+A',. Mais CMPA on 2CPM et CME sont l’un à l’autre comme les polygones B et B', dont ils font partie; donc B':B::2A:A+A. Or, À’ a déjà été déterminé; cette nouvelle proportion servira donc à déterminer B' et donnera B'—2A.B; et de cette manière, au moyen des polygones

A et B il est facile de trouver les polygones A’ et B’ ayant un nombre double de côtés.

PP9P. LXXVI. PROB.

(670) Trouver le rapport approximatif de la circonférence au diamètre.

Soit le rayon du cercle IT; le côté du carré inscrit sera —1/5 (638) et celui du carré circonscrit sera égal au diamètre 2: de là, la surface du carré inscrit (at 2 et celle du carré circonscrit est 4. Mettant alors A=2 et B=4, on trouvera, par la dernière proposition, l’octogone inscrit A'—7/8=2, 8284271, et l'octogone circonscrit B'= 16 —3.3187085.

24/2 Ayant de cette manière déterminé les octogones inscrit et crconscrit, on déterminera facilement à l’aide de ces derniers, les polygones ayant un ombre double de côtés. On n’a dans ce cas qu’à poser ÀÂ=2.8284271, B=3.3137085; on trouvera A'=y/A.B=3.0614674, et B'=2A.B—8.1825979. A+A

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Ces polygones de 16 côtés fourniront à leur tour le moyen de trouver les polygones de 82 côtés ; et l'on peut poursuivre l'opération jusqu’à ce qu'il n’y ait plus de différence entre les polygones inscrit et circonscrit, ou au moins jusqu’au nombre de décims.es où se termine le calcul, c-à-d. jusqu’à la septième décimale dans cet exemple. Arrivés à ce point, on en concluera que le dernier résultat exprime la surface du cercle, lequel, puisqu'il doit toujours se trouver entre les polygones inscrit et circonscrit et parceque ces polygones s'accordent jusqu’à un certain ordre de décimales, doit nécessairement s’accorder avec chacun d’eux jusqu’à ce même nombre de décimales.

Nous donnons ici le calcul de ces polygones continué jusqu’à ce qu’ils aient sept décimales communes. Nombre de côtés. Polygone inscrit. Polygone circonscrit.

Œ séscenonocoo ce OUOOOUY ss évosesoree 4.0000000

B sssssoocoooss 28284271 veosssoue . 8.8137085

16 ….,....... + 3.0614674 so de er ones 8.1825979 82 se ose 81214451 ....….. so ucsererre 83.1517249

64 ....…....... 8.1865485 .....….. soosossnee 8.1441184 198 ...0 sooooo1 B1408BBIL ss soccoooe 3.1422236 256 coooos vos Dol412772 soso sors . 8.1417504 512 ss oosoo ses B1410188 eue re soso 8.1416321 1024 ....socosos 81415729 ses 3.1416025 2048 cossosoce BIAIDOTT sossssoou see …. 3.1415951 4096 sen vases DTSTONER corssseesrisionese 3.1415933 8192 00e vos 81415928 ou soc se 9.1415928 16384 .... 8.1415925 . 8.1415927 82768 00 vosscosee . 3.1415926 se ses 0e 8.1415926

D'où l’on conclut que la surface du cercle est égale à 8. 1415926 quand le rayon est 1.

Comme il pourrait exister un doute sur l'exactitude du dernier chiffre décimal, par suite d'erreurs provenant des parties omises, l’on fera remarquer que le calcul a été continué avec une décimale de plus pour que le dernier résultat ici donné fût absolument correct jusqu'à la septième décimale près.

r le moyen peut pourdifférence au moins cul, c-à-d.

irrivés à ce exprime la 86 trouver 1e ces polymales, doit jusqu'à ce

gs continué

circonscrit.

1.0000000 3.8137085 3.1825979 3.1517249 3.1441184 3.1422236 3.1417504 3.1416321 8.1416025 3,1415951 5.1415933 8.1415928 8.1415927 .1415926 st égale à 4.

actitude du ovenant des al a été connier résultat ptième déci-

(671) Cor. Puisque la surface du cercle est égale (481) à la demi-circonférence multipliée par le rayon, la derai-circonférence doit être 8.1415926 quand le rayon est 1; ou la circonférence entière doit être 8.1415926 quand le diamètre est 1; de là, le rapport de la circonférence au diamètre que l'on designera par Ÿ est égale à 8.1415926. Le nombre 8.1416 est celui qu’on employe géusralement,

(672) Sco. On a déjà en occasion de parler (58) de l’incoinr:onsurabilité du diamètre et de la circonférence du cercle, et l’on voit évidemment qu’en continuant à doubler le nombre des côtés des polygones, on ne fait qu'approcher de plus en plus du rapport réel, sans pouvoir jamais l’atteindre ; car, quelque soit le dégré de rapprochement auquel l’on parvienne, il sera toujours possible (659) de continuer à doubler le nombre des côtés du polygone sans jamais en finir, et sans autre résultat que celui d'ajouter continuellement aux 600 chiffres décimaux déjà trouvés sans arriver jamais à une limite; de même que pour le côté et la diagoriale d’un carré (398) l'on trouve après chaque subdivision un nouveau reste, sans pouvoir jamais arriver au rapport exact entre les quantités données.

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