DE QUELQUES PROBLÈMES

(673) Prob. Inscrire (184 Déf.) un parallélogramme ABCD dans un quadrilatère quelconque EFGH.

À cet effet, joignez les points milieux À, B, CO, D des côtés du quadrilatère donné, et le problème sera résolu.

Car, la construction donne (519) BC et AD respectivement parallèles à la diagonale EG, base commune des triangles EFG, EHG ; et on a, de même,

ENTES

arallélogramme EFGKH.

S pi Pen À

U on a, de même,

AB, DC parallèles à la diagonale HF, base commune des triangles HEF, HGF.

(674) Prob. Etant donnés la surface et les angles d’un triangle quelconque ; trouver les côtés ?

Soient A, B, O les angles donnés, et $S la surface,

A ae sous forme d’un carré équi- 7 LR | valent au triangle. Sup- * % 5 posons à l’un quelconque 4... \ A 5 B D E

AB des côtés cherchés, une

longueur arbitraire a b, et avec cette longueur et les AE | $ | angles donnés, construisons 6 d A

(266) un triangle abc. Ce dernier sera évidemment équiangle et par conséquent semblable à ABC. Réduisons maintenant (376) ce second triangle en un carré équivalent s, et on aura (552) s: 8: a b°: AB?, ou (104) 8: yB::a b: AB; c-à-d. (40) le côté de du carré s (:) est au côté DE du carré S (::) comme le côté supposé ab (:) est au côté requis AB. Donc AB est quatrième proportionnelle à de, DE et ab, et se trouvera par la méthode du pagraphe (516).

(675) Sco. 1. Si, dans le dernier problème, on connaissait lo nombre d'unités de surface (24) du triangle ABC et la racine ou côté (40 et 334) d’une de ces unités ; on procéderait, tout de même, à poser la ligne a b composée d’un nombre arbitraire d'unités linéaires, chacune égale à cette racine, et à faire sur a b un triangle équiangle à ABC. On aurait ensuite à touver (571 Lem. 9°, et 844) la surface relative de a be et à faire surf. ab c: surf. ABC :: a b°: AB?, Extrayant alors la racine carrée de AB, on obtiendrait AB, longueur d’un des côtés du triangle, et par suite (266) les autres côtés voulus.

(676) Sco. 2. Si la nature, c-à-d. la grandeur de l’unité de surface était inconnue ; on prendrait a b égale en lon-

F5 PS rhin sen per

gueur à un nombre arbitraire d'unités quelconques de mesure linéaire; et sur a b, faisant comme auparavant, un triangle équiangle à ABC, on mesurerait la hauteur de ce triangle, au moyen de la même échelle qui aurait servi à déterminer sa base. Il y aurait ensuite à trouver (844) la surface de ce triangle et à poser abc: ABC :: a b°: AB?; c-à-d., le nombre calculé d'unités de surface dans abc(:) au nombre donné d'unités de surface dans ABC (::) comme le carré du nombre d'unités linéaires dans a b (:) au carré du nombre d’unités linéaires dans AB. La racine carrée du résultat serait évidemment la longueur de AB en unités linéaires de dimensions égales à la racine ou côté d’une des unités de surface données.

(677) Sco. 8. Il est clair aussi qu’on obtiendrait une solution numérique du prob. (674) en mesurant (571, Lem 9°) les côtés de et DE des carrés s et S, au moyen d’une même unité de mesure, de longueur arbitraire, pour faire ensuite ed: ED::ab: AB; car (552) e d° ou surf. ab c: ED° ou surf. ABC::ab°: AB°; ce qui donne (104) ed: ED :: ab: AB.

(678) PROB. Etant donnés la surface d’un triangle quelconque ABC et le rapport entre ses côtés; trouver ces côtés.

Soient M:N:R les lignes C ou nombres exprimant les ter- e mes du rapport. Il suffira de se servir de ces termes mêmes ris Lem.) ou de toutes au- X BR & /.

res longueurs ayant entre

elles le rapport donné, pour construire un triangle a b e, dont les angles seront par là même (522) respectivement égaux à ceux du triangle ABC ; ce qui réduit le prob. à celui du par. (674).

(679) PROB. Si on avait à trouver le côté d’un polygone régulier quelconque lorsqu'on en connait la surface ; il est évident que le prob. se réduirait à celui du par. (674)

ues de mesure , un triangle le ce triangle,

à déterminer \ surface de ce -d., le nombre ombre donné carré du nomnombre d’unirésultat serait aires de dimentés de surface

drait une solu- (571, Lem 9°) n d’une même r faire ensuite ce: ED° ou surf.

) :: ab: AB.

d’un triangle ôtés; trouver

angle abc, dont ivement égaux ob. à celui du

ôté d’un polyhait la surface ; i du par. (674)

puisque (622) tout pol. rég. est composé de triangles isocèles égaux en toutes choses ; et on obtiendrait la surface d’un de ces triangles en divisant la surface entière du pol. par le nombre de côtés.

(680) PROB. S'il s'agissait d’un polygone irrégulier quelconque AD, dont on eut la surface, et les angles formés, tant par les côtés eux mêmes, que par les côtés et diagonales du pol., c-à-d. les angles des triangles composants, ABE, EBC, etc., (car, il ne suffit pas comme on l’a vu (526) de connaître les angles © formés par les côtés du A pol. irrégulier pour en € déterminer la forme ou le rapport entre les côtés) pour en obtenir les côtés ; l'on procéderait encore à supposer à l’un quelconque ED des côtés du pol. une longuenr arbitraire ed sur laquelle, comme base, on construirait par la méthode du par. (551) un pol. a d équiangle et par conséquent semblable à AD. Ayant ensuite calculé (571 Lem. 9°) la surface de ad, on ferait surf. ad: surf. AD :: ed : ED° dont on extrairait la racine carrée pour avoir ED.

(681) PROB. Il serait aussi uisé d'obtenir les côtés d’un polygone irrégulier que conque, av. moyen de sa surface et du rapport entre les côtés de ses triangles composants ; puisqu'il suffirait (678) de se servir des termes mêmes du rapport, ou de longueurs proportionnelles à ces termes, afin de déterminer les angles du pol. et par suite (680) les dimensions de ses côtés.

(682) Rem. Dans ces problèmes, pour éviter les répétitions, et la nécessité d'indiquer, dans chaque cas, la différence entre les procédés à suivre afin d'obtenir une construction purement géométrique ou une solution numérique ;

il suflira de se rappeler ce qui a été dit au par. (571 Lem.)

sur la manière de traduire les données, pour les rendre propres aux opérations requises.

(688) PROB. Soit à déterminer dans un quadrilatère quelconque AD trois de ses côtés, lorsqu'on n’a pour données que le quatrième côté AB et les angles en C et D opposés à ce côté, formés par les trois côtés inconnus et les deux diagonales.

I] s’agit encore ici d’une AÀ hypothèse à faire, et comme R on voit, c’est évidemment a sur le côté qui est adjacent aux angles donnés qu'il faut opérer, pour obtenir un ré- € D « sultat quelconque. Or ce côté est CD; et il est clair que si on lui assigne une valeur quelconque cd, et que sur cd, comme base, on forme les triangles c de, c d b équiangles à CDA, CDB, pour mener ensuite a b, on aura un quadrilatère ad en tout semblable à AD. Mesurant alors ab, on fera (548) ab: AB::cd:CD::6d:BD::ac: AC.

(684) PROB. Etant donnée la surface d’un cercle ; trouver son diamètre.

On se rappellera (671) que quand le diamètre d’un cercle est 1, sa circonférence est 8.14159 etc., et sa surface est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon ou le quart du diamètre; or 8.1416X1=—.7854; c-à-d. que la décimale .7854 représente la surface d’un cercle dont le diamètre est égal à l'unité. Mais les cercles sont (557) des figures semblables, et leur surfaces sont entre elles comme les carrés de leurs diamètres ou autres lignes homologues. Soit S le cercle donné et s celai dont le diamètre ab =1 etlasurface=.7854, On fera surface s: surface S::

ab°: AB? ou .7854 : 8 :: 1°:

AB°; mais 1°—1 et on ne change en rien une quantité

donnée en la multipliant par 1; donc AB*=$8-+.7854 ou 8 ; .T854

* les rendre

uadrilatère n n’a pour gles en CO et és. inconnus

t clair que si que sur cd, équiangles à quadrilatère ab, on fera

un cercle ;

y d’un cercle

surface est ié du rayon c-à-d. que la rele dont le nt (557) des elles comme homologues.

ine quantité

7854 ou S ;

c-à-d. que le diamètre d’un cercle quelconque s'obtient en divisant sa surface par .7854 et en prenant la racine carrée du quotient. :

(685) REM. Cette manière de trouver le diamètre d’un cercle dont on connait la surface, n’est autre que celle de trouver les côtés d’un triangle dont on connait les angles et la surface ; car il est clair qu’on pourrait supposer à a b une longueur quelconque, calculer ensuite la surface s et faire, comme auparavant, 8: S:: a b° : AB°.

(686) PROB. Il est à peine nécessaire e de dire, puisque (671) le rapport du diamètre à la circonférence est 1 : 3.1416, que pour trouver la circonférence d’un cercle 4 b dont on connait le diamètre, il n’y a 7 qu’à poser 1 : 8.1416::ab:adbe. On ob- a tiendrait encore le résultat désiré, mais avec moins d’exactitude, en se servant du rapport 7 : 22 qu’on doit à Archimède (668) ou de celui de Métius, 118:855; mais on ne manquera pas d'observer en même temps que le premier rapport est celui qui exige le moins de travail, puisqu'un de ses termes est l'unité ; ce qui, dans le cas actuel, exempte la division et réduit l'opération à une simple multiplication; car, 8.1416Xab — 8.1416Xab—adbe, tandis-

que l'emploi des autres rapports exige qu’on multiplie d'abord par 22, pour diviser ensuite par 7 ou qu’on multiplie d’abord par 855 pour diviser ensuite par 118.

(687) PROB. On conçoit aussi que s’il s’agit de trouver le diamètre a b d’un cercle dont on connait la circonférence; on a Seulement à renverser (93) les termes du rapport pour avoir 8.1416:1::abde: ab.

(688) PROB. On 2 les angles d’un triangle quelconque pour en déduire le rapport entre les côtés. A cet effet, il suffit de supposer (17) à l’un des côtés une valeur quelconque, afin d’en obtenir par construction la valeur corres-

pondante des autres côtés, et de là le rapport entre eux (525).

(689) PROB. Trouver le rapport entre les côtés d’une figure rectiligne quelconque, quand on ne connait que les angles des triangles composants, n’est autre chose que répéter, autant de fois qu’il y a de triangles, l'opération indiquée au dernier par. On supposera donc à l’un quelconque des côtés de la fig. donnée, une longueur arbitraire, et sur ce côté, comme base, on construira (551) avec les angles donnés, une fig. qui lui sera équiangle et semblable, et dont les côtés seront (548) entre eux dans le rapport voulu. Mesurant ensuite chacun des côtés ainsi obtenus, au moyen d’une échelle (571 Lem. 8°) de parties égales, on obtiendrait une expression numérique pour la longueur relative de chaque côté de la fig., c-à-d. pour chacun des termes du rapport cherché.

(690) PROB. Etant donnés la surface et deux côtés d’un triangle quelconque; trouver le troisième côté.

fnient AB, CB les côtés donnés; et suyposons (17) que ABC soit le tiangle voulu. On obtiendra CD, hauteur du triangle, en divisant (849) sa surface par sa demi-base.

Dans le triangle BDC, on aura À alors en D un angle droit, et deux côtés CD, CB, pour trouver (321) l'angle ABC, et par suite (2438) le côté AC.

Observons que le triangle ABC’ répond aussi (286 et 320) au problème, CC’ étant parallèle à AB et l’angle ABC’ supplément de ABC; et il y a toujours de même deux réponses, si ce n’est dans le cas où la surface divisée par l’un des côtés donne une longueur égale à l’autre côté. Dans ce dernier cas, il est clair qu'il n’y a qu’un seul triangle ABC” qui réponde au prob. et que ce triangle est rectangle.

(691) PROB. Dans un rectangle quelconque AC, on a la surface et la diagonale DB pour trouver les côtés.

t entre eux

côtés d’une onnait que autre chose , l'opération à l’un quelarbitraire, et 2c les angles ble, et dont oulu. Mesunoyen d’une iendrait une e de chaque du rapport

deux côtés ne côté.

), CB, pour e côté AC.

(286 et 320) angle ABC e deux résée par l’un é, Dans ce ngle ABC” ngle.

AC,on a s côtés.

PROBLÈMES. 239 La perpendiculaire AE est égale (8349) A

à la demi-surface (270) ADB du rectangle, divisée par la demi-base ou diagonale DB.

On «a vu (283) que les diagonales d’un

parallélogr. se bissectent mutuellement;

et ces diagonales sont évidemment égales

dans le rectangle ; donc la demi-diagonale AF—DF et le triangle DFA est isocèle. Dans le triangle rectangle AEF, on a donc AE, AF pour trouver (821) l'angle AFD, et par suite, AD et AB.

(692) PROB. Trouver le côté d'un carré AC, quand on ne connait que la différence DE entre le côté et la diagonale.

Puisque DE=DB—BC, on a BE—BC. A B Le triangle EBC est donc isocèle; l'angle EBC étant égal à la moitié d’un angle droit, et chacun des angles à la base, à la demi-somme de deux angles

droits moins l'angle EBC. Ayant mené % Ü

EF parallèle à BC et par conséquent per-

pendiculaire à DO, on à EF=DF=V 4DE* (810) c-à-d. égale au côté d’un carré dont DE serait la diagonale. Dans le triangle rectangle EFC, on a donc un côté EF et l'angle FEC égal à son alterne ECB, pour trouver FC. Enfin DF+FC=—DC le côté voulu.

(693) REM. On ne doit pas s'attendre à trouver dans les démonstrations et explications, ici données, des indications complètes de tous les détails de la méthode à suivre dans chaque cas, soit pour obtenir une solution numérique, ou pour résoudre un problème par construction. Les dimensions de ce traité ne le permettent pas; et d’ailleurs il est bon que l’étudiant aït à se reposer un peu sur ses propres ressources, pour s’habituer de bonne heure à faire lui-même, l'application des propositions précédentes, à la solution des problèmes qu’on pourrait lui soumettre, ou de ceux qu’il pourrait lui-même imaginer.

L'étudiant fera bien aussi de tenter lui-même la solution de chacun des problèmes ici donnés; s'aidant, au besoin, soit d'une simple inspection de la fig, ou, si cela ne suflit pas, de la lecture d’une partie seulement du texte.

(694) PROB. Etant donnés la surface d’un rectangle quelconque AC et le rapport m” :n7, entre ses côtés ; trouver ces côtés.

Si les termes du rapport contenaient des fractions, on les réduirait d'abord en unités égales de la plus petite espèce, pour faire disparaitre les dénominateurs; c'est ainsi que 1}:384 donnerait 10:95 ou 10: 25, et $ à 14 don-

nerait ? à 5 ou 8:5. Cela posé, il y aurait à faire le produit

4 4 mx n des termes du rapport et à diviser par ce produit la

surface donnée $, pour avoir la surface s d'une unité du rapport. Cette dernière est un carré Ac, à cause de Ab=Ad et pourrait être soit plus grande ou plus petite qu'une unité de la surface S; mais, dans l’un ou l’autre cas, il est clair que la racine carrée du nombre d’unités de surface contenues dans s donnerait la longueur du côté du carré Ac en unités linéaires de l’espèce voulue; et ce dernier nombre multiplié respectivement par m et x donnerait AB et AD, côtés du rectangle.

Tout ce que’on vient de dire se résume comme suit, savoir:

trouver s— $; puis, faire AB=y/; xm et AD=ys xn. mxXN

Observons que le problème pourrait aussi se résourdre, par la méthode du par. (681), et en général il y a plus d’une manière de résoudre un grand nombre de problèmes ; comme on à pu d’ailleurs s’en convaincre dans l'étude de ce traité. :

(695) PROB. Soit à trouver les côtés d’un rectangle BF dont on connait la diftérence AD entre un côté BC et la diagonale AC et le rapport m à n, entre les côtés.

OS QC EH 9 D

S Sr bn ©

ms es

nême la solus; s'aidant, au , Ou, si cela ne t du texte.

l’un rectangle re ses côtés ;

faire le produit

ce produit la l'une unité du use de Ab= Ad e qu'une unité as, il est clair rface contenues ré Ac en unités nombre multi- , et AD, côtés

esuit, savoir:

AD=y 3 Xn.

se résourdre, y a plus d’une lèmes ; comme

e de ce traité. :

rectangle BF n côté BC et les côtés.

Ayant mené DE parallèle BC, onavra F m (9) le triangle rectangle AED semblable à ABC; ce qui donnera AE:DE:imin. » D Avec ce rapport, on trouvera facilement les angles en À et D et par suite, les côtés AE, DE. Maintenant ayant joint DB, le triangle DCB sera isocèle, à cause de DC=BC par hyp.. L'angle ACB est égal à son alterne ADE et chacun des angles CDB, CBD À la base, à la moitié de deux angles droits moins DCB. L’'angle EDB= son alterne CBD. On a donc, dans le triangle rectangle DEB, un côté DE et les angles, pour trouver EB; et EB+AE=—AB, l’un des côtés requis.

(696) PROB. Faire un parallélogramme AH égal en surface et en périmètre à un triangle donné ABC.

Prolongez AB d'une quantité égale à BC et bissectez AD en E.

Menez BH parallèle à AC, et avec À comme centre et un rayon égal à AE (demi-somme des côtés AB, BC du triangle) coupez BH en Gt.

Joignez AG et par le point F, milieu de AC, menez FH parallèle A E ni)

à AG; AGHF est le parallélogramme demandé. En effet, puisque (270) AG—FTH et que AG= AD — AB+BO; il suit

que AG+FH—AB+BC. De plus AF—FC par constr., et AF=GH (270); donc AF+GH—AC ; donc le périmètre du parallélogr. est égal à celui du triangle. Quant à la surface du parallélogr. il est clair (289) qu’elle est aussi égale à celle du triangle, puisque ils sont entre mêmes parallèles et que la base du parallélogr. est moitié de celle du triangle.

(697) PROB. Diviser un cercle en un nombre quelconque de parties égales en surface et en périmètre.

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