PROP. V

(1352) Que la perpendiculaire menée du sommet à la base d'im triangle sphérique quelconque, tombe en dedans ou en dehors du triangle ; on aura, dans les deux cas, le moindre segment de la base adjacent au moindre ou au plus grand des deux autres côtés du triangle, suivant que la somme de ces côtés sera moindre ou plus grande qu'un demi-cercle.

Eu effet, soit ABD' un grand cercle de la sphère, DCD' un demi-grand cercle perpendiculaire au premier et C un point quelconque dans ce dernier, autre que P, pôle de ABD'.

Soient encore ACA', BCB' deux demi-grands cercles quelconques passant par C et terminés de côtés opposés de la perpendiculaire BCD'. Cette construction donne quatre triangles spliériques ACB, A'CB', A'CB, ACB', la perpendiculaire CD, CD' tombant en dedans des deux premiers et en dehors des deux autres. Soit aussi BD moindre que AD et B'D' en conséquence moindre que A'D', à cause de A'D' = AD et de B'D' = BD (984 et 138). On aura (1342) CA' > CB et par conséquent (CA' 4- CA) > (CA -f CB) ; c.-à-d. que la somme des côtés CA, CB du triangle ACB sera moindre qu'un demi-cercle, et la somme des côtés CA', CB' du triangle A'CB' en conséquence plus grande qu'un demi-cercle ; or, AD est par hyp. > BD ; donc (1342) CA > CB et CA' < CB', ou ce qui est la même chose, quand CA > CB, on a AD > BD, et quand CA' < CB', on a A'D' > B'D' ; donc ;

1° Quand la somme des côtés CA, CB est moindre qu'un demi-cercle, et que la perpendiculaire CD tombe en dedans du triangle ; le moindre segment BD de la base AB est adjacent au moindre côté CB, ou le moindre côté CB au moindre segment BD.

2° Quand la somme des côtés CA', CB' est plus grande qu'un derai-cercle, et que la perpendiculaire-CD' tombe en dedans; le moindre segment B'D' de la base est adjacent au plus grand côté OB', ou le plus grand côté CB' au moindre segment B'D'.

Jvlaintenant, puisque CA' < CB' et CB < CA, il est clair que (CA' + CB) > (CA + CB') ; or CA + CA' +CB + CB' = 2 demi-cercles ; donc CA + CB' est plus grand qu'un demi-cercle, et CA'+CB en conséquence moindre qu'un demi-cercle ; donc :

3° Quand la somme des côtés CA', CB est moindre qu'un demi-cercle et que la perpendiculaire BCD', tombe en dehors ; le moindre segment BD de la base prolongée DBA'D' est adjacent au moindre côté CB, ou le moindre côté CB au moindre segment BD.

4° Quand la somme des côtés CA, CB', est plus grande qu'un demi-cercle et que la perpendiculaire DCD' tombe en dehors, le moindre segment B'D' de la base prolongée DAB'D' est adjacent au plus grand côté CB', ou le plus grand côté CB' au moindre segment B'D'.

(1353) D'ailleurs. On a vu (1349) que l'angle D ou BDC étant droit et A'D' = BD, on a A'C = supplément de BC ; ou si A'C+BC = 180°, on aura A'D'==BD.

D'où, il est clair que, BC étant quelconque et restant constant, si A'C + BC est < 180°, le point A' sera plus éloigné de D', et si A'C + BC est > 180°, le point A' sera moins éloigné de D; c'est-à-dire que A'D sera < ou > BD^ suivant qu'on aura A'C + BC > ou < que 180°; or, quand A'D' est < BD, on a aussi AD < BD, à cause de AD = A'D', et par conséquent aussi, on a A'D' < B'D' qui est égal à BD ; d'où l'on obtient encore les quatre conclusions du dernier paragraphe.

SPHÉRiaUE.

2° Si la somme des côtés est égale à un demi-cercle et qne ces côtés soient inégaux, c.-à-d. dans ce cas, de différente affection; la perpendiculaire tombera en dehors du triangle et les segments A'D', BD de la base prolongée, seront égaux, ou, ce qui est la même chose, les segments A'D', BD' seront supplémentaires l'un de l'autre.

(1354) Pourvus, maintenant, des connaissances nécessaires, pour établir, dans tous les cas, l'affection des côtés d'un triangle sphérique quelconque, et pouvant déterminer s'il y a, ou non, ambiguïté de solution, c.-à-d. une, deux ou plusieurs réponses au problème ; et sachant aussi quand la perpendiculaire tombe en dedans du triangle, et quand elle tombe en dehors, et de quel côté elle tombe le plus près ; nous passons à la considération des :

EAPPORTS