PREUVE

b et a t^out Ue iiieiiie aiiectiuii (.liS-itt)

Si a<90'', c et B sont de même affection (1347, 7°) )

Si a>90", c et B sont d'affection différente (1347, 8°) S

Si a < 90°, B et C sont de même affection (1347, 3") i

Si a>90o, B et C sont d'affection différente (1347, 3°) \

î? c et C sont de même affection (1346)

B ( Si 6 et C sont de même affection, BC estOO^. ... (1347, 5°)

i Si 0 et

l 'si à et

ft ^ |Oi c et C sont d'affection différente, BC est>90° . (1347, 6°) S B et 6 sont de même affection. .' (1346)

a Ambiguïté, ou, il y a deux solutions (1349)

ft Ambiguïté, " " deux solutions (1349)

fis

S Ambiguïté, " " deux solutions (1349)

1^ ^ it^uaud a.< yi)*^, 6 et c sont de u)eii)e affection. . . . (la»*"?

B ( Quand a>90'', & et c sont d'affection différente.. (1347, 2 )

<* 6 et B sont de même affection (1346)

2 c Quand a<90°, 6 et c sont de même affection (1347, 7°)

? \ Quand a>90^, 6 et C sont d'affection différente . . (1347, 8°)

Quand 6 et c synt de même affection, aest<90'^. (1347) Quand & et c sont d'affection différente, a>90°.. (1347)

B et 6 sont de même affection (1346)

C et c sont de même affection (1346)

^ ( jQuand B et C sont de même affection, a est < 90". (1347, 4°)

Ë ^ iQuand B et C sont d'affection différente, a>90o. (1347, 4";

ft |6 et B sont de même affection (1346)

ae le et C sont de même affection (Î346)

(1398) Dounons maintenant quelques exemples des divers cas, pour mieux faire comprende à l'élève tout le procédé à suivre pour résoudre le problème donné.

Ou a déjà dit que l'usage du complément arithmétique d'un logarithme, n'est pas essentiel ; mais on remarquera cependant que l'emploi de ce complément, rend l'opération plus concise, et réduit le tout (1277) à une simple addition. On donne néanmoins des exemples des deux manières de procéder, et dans certains cas aussi, le calcul par nombres naturels, afin que l'élève puisse juger par lui-même des avantages et désavantages relatifs de ces divers modes d'opérer, tant sous le rapport de l'exactitude comparative des résultats que sous celui de la somme de travail que requiert chacune de ces méthodes; comme d'ailleurs il a déjà pu s'en convaincre par les quelques exemples de solutions des triangles rectilignes, pages 504 et suivantes.

Ex. 1. Dans le triangle sphérique ACB rectangle en A, on donne a = 64° 40' et 6 = 42° 12', pour trouver le reste. Soit à trouver d'abord le troisième côté c.

On a (1394, 10) cos. b : cos. a :: R : cos. c ; ou (1391, 1) Rx cos. a = COS. b X cos. c ;

D'où, cos. 6 42° 12' comp. arith log. 0.130296

Esta cos.a64^40' 9.631326

Comme R 10.000000

Est à COS. c 54° 43' 07" (affection 1395, 10) 9.761622

Pour trouver l'angle B

On a (1394, 11) sin. a : sin. b::Ji: sin. B ; ou (1391, 4) Rx BÎn. 6 = sin. a X sin. B ;

D'où, sin. Cl 64° 40' comp. arith log. 0.043911

Esta sin. 6 42° 12' 9.827189

Comme R 10.000000

Est à sin. B 48° 00' 14" (aff. 1395, 11) 9.871100

SPHÉRiaUE. 565

Pour trouver l'angle C.

On a (1392, 8) R : cot. a :: tang. b : cos. C ; on (1391, 3; R X COS. C = cot. a X tang. b ;

D'où, R ,.-. conip. arith log. 0.000000

î:st à cot. rt G4° 40' p 9.675237

Comme tang. 6 42° 12' . 9.957485

Est à COS. C 64^ 34' 46" /\

(aft: 1395, 12j / V 9.632722

Ou (1394, 12) jj ^^ \^

Tang. a 64'^40'comp. ar. log ' 'c 9 . G75237

Est à tang. ^- 42^ 12' 9,957485

Comme R 10.000000

Est à cos. C 64° 34' 46" (ayant rejeté 20) i*i?3-'--

Ou, sans l'usage du eomp. arith.

Tang. « 64° 40' 10.324703

Est à tang. è 42° 12' 9.957485

Comme "" R 10.000000

Somme des log. cor. au prod., R x tang.^,= 19.957455

Est à cos. C 64° 34' 46" 9^632722

Ou, par sinus naturels.

Tang. nat. a, 64° 47 = 2.11233 : tang. nat. ^, 42°. 12' = . 90674 ::R= 1.00000 : cos. C = 1 .00000 X .90674= .90674

= .4292606 = cos. 64° 34° 46' ; car

Cos. 64° 34' =: .4294606^ 2627 : f Cos. 64° 34'= .4294606

Cos. 64° 35' = .4291979 l 60":: J Cos. trouvé = .4292606 \ 1:000 : j

Diff. pour 60"=. 0002627 J 46" [ Différence .0002000 Ex. 2. Dans un triargle rectangle ACB, les données sont l'hypoténuse a = 105° 34', et l'angle B = 80° 40', pour trouver les autres parties.

Soit d'abord à trouver C.

On a (1392, 6) R : cot. B :: cot. C : cos. a ou (1391, 1) Rx co^i. a = cot. B X cot. C ;

D'où, cot. B 80O 40' con^p. ar log, 0.784220

Est à COS. a 105° 34' ! 9.428717

Comme R 10.000000

Est à cot. C 148° 30' 54' (afi". 1395, 3) 10.212937

Ou (1394, 3)

R comp. ar log. 0.000000

: COS. a 105° 34' 9.428717

rrtaiio;. B 80° 40' 10.784220

: cot. C 148°30'54" 10.212937

Pour trouver le côté c.

Ou a (1392, 7) R : cot. a :: tang. c : cos. B ; oa (1391, 2) R X COS. B = cot. a X tang. c ; D'où, cot. a 105° 34' comp. ar. log

Esta R V

Comme cos. B 80° 40' ....*..

Est à tang. c 149° 47' 36" a^

(afl*. 1395, 2) B

Pour trouver le côté b.

Ou a (1394, 1) R : siu. a :: siu. B : sin. b ; ou (1392, 4) R X sin. b = siu. a X sin. B ;

D'où. R comp. ar log. 0.000000

Est.àsin. «105^34' 9.983770

Commesiu.B 80° 40' 9.994212

Est à sin. 6 71° 54' 33" (afll 1395, 1) 9.977982

Ex. 3. Dans le triangle spbérique ACB, rectangle en A, soient donnés a = 115° 25' et c= 60° 59' ; trouver le reste. Rép. B = 148° 56' 45", C = 75° 30' 33", 6 = 152° 13' 50"

SPHÉRiaUE

rt = 90^ B'=180

Ex. 4. Dans le trian.irle ACB, rectangle en a, on donne c = IIG^ 30' 43", et 6 = 29° 41' 32", pour déterminer les autres parties.

Rép. C = 103° 52' 46", B = 32° 30' 22", a = 112^ 48' 58".