Moins \ji. sin. C

loo-. sin.« 48° 00' 14" 9.871100

Ou, par sinus naturels, quand K=l, sin. « étant (1394, 8)=

sin c . • p on asin. nat.r, 42°12'=.6717206 \ — — ;OU-Mii.c . bin. u, ^^ sin. nat. C, 64° 40'=. 9038338/

etl-lll^- OU .6717206 ^.9038338 = .7431904; ladifFéren- .1)1135338 '

ce des sinus de 48° et 48° 1' pour 60" = 1946 et la différence

entre le sinus trouvé .7431904 et celui de 48°, .7431448, est

de 45!, et 1946 : 60":: 451 : 14", ou plus exactement 13.9054".

SPHÉRiaUE. 569

35817800 (1398) Les sinus nat., ici employés, vont à 7 décimales, pendant que ceux des tables de ce vol. ne vont, faute d'espace, qu'à 5 décimales ; d'ailleurs, on se procure aisément ces tables, et il est clair que plus il y aura décimales, plus aussi il y aura d'exactitude dans l'établissement des secondes et fractions de secondes.

Pour trouver l'angle B.

On a (1391, 3) li X cos. C = sin. B X ces. c ; d'oii, sin. B =

a X cos. c ,

; et

cos. c

Log. cos c 64° 40' 9.631326

rius log. n 10.000000

Somme des log. corresp. au pro., R x cos. C, = 19.631326 Moins log. cos. c 42° 12' 9.869704

= log. sin. B 35° 16' 53" (aff. 1395, 9) 9.761622

Pour trouver le côté b.

On a (1391, 4) R x sin. b = cot. C X tang. c ; d'où, sin. b = cot. C X tang. c R """•

Log. cot. C 64° 40' 9.675237

Plus log. tan^. c 42° 12' 9.957485

Somme des logs. corresp. au pro., cot.CXtang. c,= 19.632722 Moins log. R 10.000000

= log. sin. b 25° 25' 14" (aff. 1395, 7) 9.632722

Donc, on a, dans le triangle donné BCD, 00=90^ — 6 = 90° — 25° 25' 14" = 64» 34' 46", DBG = 90° — ABC = 90° — 35° 16' 53" = 54° 43' 07", et BC = a = 48° 00' 15".

Ex. 2. On a dans un triangle, un coté = 90°, un des côtés adjacents = 115° 09', et l'angle inclus 115° 55' ; trouver le reste.

Rép. le Sème coté = 113° 18' 19", les angles 117° 33' 52" et 101° 40' 07".

(1399) Nous passons maintenant à la considération des six (1336). cas de triangles oblique-angles, nous rappelant toujours, à part ce qui a déjà été dit sur les affections des côtés et les cas ambigus, que, pour éviter toute fausse solution :

1"^ Tout angle et tout côté d'un triangle sphérique est moindre que 180°. 2° Le plus grand angle est opposé au plus grand côté, et le moindre angle opposé au plus petit côté, et réciproquement.

l9r Cas.

(1400) Deux côtés BC, AC, ou a et b, et un angle B opposé à l'un d'eux, AC, étant donnés.

Trouver l'angle A opposé à l'autre côté donné BG.

Ex. 1. Soit b = 84° 14' 29", L

rt = 44°ia'45" et A = 32° / ^^^ W\

Axr—^'^^ ^ \ \ On a (1366) sin. a : siu. A :: ^^^^^ I^^J^^B

sin. b : sin. B ; ^ B' "'^

D'où, sin. a 44° 13' 45" .... comp. ar log. 0.156437

Est à sin. A 32° 26' 07" 9.729445

Comme siu. b 84° 14' 29" 9.997803

Est à sin. B 49° 54' 38" ou (1385, 2°) siu. B=

Ici il y a deux solutions, puisque le sinus du côté opposé

SPHÉEiaUE. 571

à l'ano-le cliorché c?t plus gratid que lo sinus de l'autre côté don né, et l'ambiguïté no peut disparaître, qu'à la condition de savoir si A est aigu ou obtus.

Maintenant, soit à trouver l'angle ACB et la base AB, et par conséquent aussi l'angle AC13', et la base AB', puisqu'il y a deux solutions. A cet eftét, menez la perpendiculaire CD à la base AB, (car il est clair que la condition même des deux solutions BC ^^ BC, l'une de chaque côté de la perpendiculaire CD, veut que la perpendiculaire tombe en dedans du triangle ACB) ce qui divisera le triangle donné en deux triangles rectangles ACD, BCD, dans chacun desquels on a l'angle A, B, à la base, et l'hj'poténuse a, b.

a Et en général, quand on se propose de résoudre le triangle oblique-angle, à l'aide du triangle rectangle, il faut mener la perpendiculaire CD de manière qu'elle passe par l'extrémité C d'un côté donné AC ou BC et qu'elle soit opposée à un angle donné A ou B.

Pour trouver Tangle C du triangle rectangle ADC.

On a (1394, 3) R . .,. comp. ar log. 0.000000

Est à COS. b 84° 14' 29" 9.001465

Commetang. A 32° 26' 07" 9.803105

Estàcot. ACD 86° 21' 06" 8.804570

Pour trouver l'angle C du triangle rectangle ADC.

On a (1394, 3) R comp. ar log. 0.000000

Est à COS. a 44° 13' 45" 9.855250

Comme tang. B . 49° 54' 38" 0.074810

Estàcot. BCD 49° 35' 38" 9.930060

Maintenant, il est clair (1342) à cause de CD perpendiculaire sur AB et de B'C = BC, qu'on a aussi B'D = BD ; et comme CD est commun, les triangles rectangles B'DC, BDC sont symétriques et (1174) égaux; donc l'angle B'CD = BCD. D'ailleurs, les parties égales B'C, BC et B = B'=sup. AB'C, donnent encore K : cos. a (B'C) :: tang. B' : cot. B'CD,

et par conséquent B'CD=BCD, puisque (1347,2) quand B'C = BC on a B'D, BD chacun de même aftection que le côté commun CD, et par conséquent (68 Ax.) de même afiection entre elles ; donc, ACB = ACD + BCD et ACB'= ACD-B'CD ; c.-n-d., ACB = 86° 21' 06" + 49^ 35' 38" = 135^ 56' 44", et ACB' = 86^ 21' 06" — 49° 85' 38"=36° 45' 28".

Pour trouver le côté AB.

Sin. A 320 26' 07" comp.ar.log. 0.270555

Estàsin. C 135'' 56' 44" 9.842198

Commesin.a 44° 13' 45" 9.843563

Est à sin. c ou AB 115° 16' 11" ou sup. 64° 43' 49" 9.956316

Mais, de ces deux valeurs qui correspondent au sinus de AB, la moindre 64" 43' 49" ne peut répondre au problème, puisqu'il est nécessaire (1182) que le côté AB opposé au plus grand angle C, soit plus grand que le côté a, 84° 14' 29" opposé à un moindre angle A =49° 54' 38" ; donc 115° 16' 11", supplément de 64° 43' 49", est la valeur qu'il faut prendre.

Pour trouver AB', on fera

Sin. A : sin. B'C :: sin. ACB' : sin. AB', ou sans chercher d'abord ACB', on fera (1394, 2) K : cos. A::taug. AC : tang. AD, puis (1368) cos. AC : cos. B'C :: cos. AD : cos. B'D ; ou, on trouverait encore AB et AB', en cherchant d'abord AD et BD dans les triangles rectangles ADC, BDC, pour avoir AB = AD + BD et AB' — AD - B'D.

Ex. 2. On donne «=91° 03' 25", b = 40° 36' 37' et B = 35° 5T 15" ; on demande les autres parties, l'angle A étant obtus.

Rép. A = 115° 35' 41", C = 58° 30' 57", e = 70° 58' 52".

(1401) Si, dans le cas (1385) des deux solutions, l'angle donné A est obtus, on fera attention seulement de ne pas confondre la perpendiculaire CD avec son prolongement CD'

SPHÉRiaUE.

qMÎ tombe en dehors du triangle. Il est clair, alors qu'après avoir déterminé, comme auparavant, l'autre angle B à la base, puis, dans les triangles rectangles ACD, -^ '-..^

BCD^= B'CD, les angles ^"^

de même nom, et les bases -^

AD, BD=B'D, on aura l'angle ACB = ACD + BCD et ACB'= ACD — B'CD, et de inême on aura AB = AD + BD, et AB' = AD — B'D, comme auparavant. On arriverait néanmoins au même résultat, à l'aide des triangles ACD' BCD', et comme on aurait D'D = 180°, on trouverait B'D = BD = 180°— B'D', etc. (2ème cas) Si la perpendiculaire CD tombe en dehors du triangle, ce qui aura évidemment lieu si A est obtus, on aura ACB = BCD — ACD et ACB' = B'CD-ACD ; et AB = BD — AD ou AB' = B'D- AD, etc.

2ème Cas.

(1402) Deux angles, A et B, donnés et un côté, AC ou b, opposé à l'un deux.

Trouver le côté BC ou a opposé à l'autre angle donné.

Ex. 1. Dans le triangle ABC soit A= 58° 8', B = 50° 12' et 6 = 62° 42'. On a (1366).

Siu. B 50° 12' corap. ar log. 0.114478

Est a siu. A 58° 8' 9.929050

Comme siu. b 62° 42' 9.948715

Est à sin a 79^ 12' 10", ou (1385, 4°) 100^ 47' 50" 9.992243

• Ici il y a deux solutions ou réponses au problème, ABCetAB'C car le sinus

de l'angle A opposé au côté clicrché BC est plus grand que j

le sinus de B opposé au côté donné, et l'ambiguïté ne cassera '

d'exister que quand on saura si BO est > ou < 90^*.

Suiposons d'abord que a soit > 90", c.-a-d., = 100° 47' I 50". Ayant mené la perpendiculaire CD, on aura, comme I dans le dernier cas, deux triangles rectangles ADC, BDC 1

dans chacun desquels on a Tliypoténuse b, a, et un angle A, B, pour trouver, comme auparavant, l'angle ACD, l'angle BCD et les segments AD, BD de la base.

Ce qui donnera ACB ou C = ACD + BCD = 156° 15' 06"

On aura de même AB ou c = AD + BD = 152=» 14' 18"

En second lieu, prenant a' < 90° c.-à-d. = 79° 12' 10", on calculera le triangle rectangle B'DC dans lequel on a B'C = 79° 12' 10" et l'angle B' = B = 58° 08', pour trouver B'CD et le côté B'D, ce qui donnera alors ACB' = ACD + B'CD = 130° 54' 28" et c ou (AD + B'D) = 119» 03' 26".

Il est clair aussi qu'après avoir trouvé l'angle ACB, on aurait AB en faisant sin. A : sin. BC ::sin. ACB : sin. AB, et de même, ayant trouvé ACB' = ACD + B'CD, on trouverait AB' en faisant sin. A : sin. B'C :: sin. ACB' : sin. AB'.

Mais sans chercher ACB, on aura (1394, 2) R : cos. B :: tang. BC : taug. BD, puis (1369) tang. A : tang. B :: sin. BD : sin. AD.

Si la perpendiculaire tombe en dehors, il est clair qu'on aura l'angle ACB = BCD —ACD, ACB' = B'CD — ACD, AB = BD — AD, et AB' = B'D — AD.

Ex. 2. Dans un triangle sphérique ABC, on donne A = 1030 59' 57", B = 46° 18' 7" et a = 42° 8' 48" pour trouver le reste. IJ «n'y aura (1385, 3°) qu'une solution, puisque sin. B < sin. A. Rép. ^=30^, C=36° 7' 54", c=24o 3' 56".

Sème Cas.

(1403) Dans un triangle sphérique ABC on a deux côtés et l'angle inclus pour trouver le reste.

SPHÉEIQUE. 575

Les analogies de IS'apier (1380 et 1381, 3*^) nous fournissent le moyen de déterminer la demi-somme et la demidifférence des angles à la base ; savoir :

Cos. l{a + b): COS. f {a. —b):: cot. i C : tang. i (A + B) Sin. 1 (a + 6) : sin. ^{a — b):: cot. | C : tang. i (A — B)

A l'aide de cette demi-somme et de cette demi-différence des angles à la ba-e, on aura (363) les angles eiix-ménies, en ajoutant à la demi-souime la denii-ditîérence, pour avoir le plus grand angle, et en soustrayant de la demi-somme la demi-différence, pour avoir le plus petit angie, et l'on placera alors le plus grand angle (1182) vis-à-vis du plus grand côté et le [)Ius }ietit angle vis-a-vis iiu plus jielit côté.

Ex. 1. Dans un triangle spliérique ABC, on donne « = GS^ 46' 02", b = 37° 10', et C = 39« 23' ; trouver le reste.

l {Cl + 6)=52° 58' 1", \ {Cl ~b)=lD° 48' 1", | C = 19^^ 41' 30" Cos. H« + ^) 52° 58' 01" .... comp. ar. log. 0.220210

Est à cos. H« — '■') 15''48'01" 9.983271

Comme cot. iC 19-^ 41' 30" 10.446254

Est à tang. 1 (A+B) 77^ 22' 25" 10.649735

Sin. i {a + b) 52° 58' 1" comp. ar.... 0.097840

Est à sin. 1 (rt — ^) 15° 48' 1" 9.435016

Comme cot. i C 19« 41' 30" 10.446254

Est à tang.i(A— B) 43^ 37' 21" 9.979110

De là, A = 77« 22' 25" + 43° 37' 21" = 120<^ 59' 46" et B = 77° 22' 25" + 43° 37' 21"= 33° 45' 04" et sin. A : sin. C :: sin. a : sin. c = 43° 37' 37"

Ou sans l'usage du complément aritb., on ajoutera ensemble les logarithmes des second et troisième termes, pour soustraire de leur somme le log. du 1er terme ; le reste sera le logarithme du 4ème terme.

TEIGOÎIOMÉTEIE

(1404) Les données étant, par exemple, l'angle A et les côtés AB, AC, de l'un quelconque C des angles / non donnés,, menez /y CD perpendiculaire au -g côté opposé, et vous

aurez (1394, 2) R : cos. A :: taug. AC : tang. AD ; d'où, BD est connue, étant =AB — AD ou à AB + AD, suivant que la perpendiculaire CD tombe en dedans ou en dehors du triangle, c.-à-d., suivant que A est aigu ou obtus. Maintenant on a (1388) cos. AD : cos. BD :: cos. AC : cos BC et (1342, 2°) suivant que les segments AD, BD seront de même ou de diftérente aifectiou, les côtés AC, AB seront aussi de même ou de ditl'éreiite afiectiou ; le moindre segment AD de la base, étant (1352) adjacent au moindre ou au plus grand des deux côtés c/ et h, suivant que la somme de ces côtés est, ou non, moindre qu'un demi-cercle.

Ayant trouvé AB, on fera sin. a : siii. A::sin. b : siu.B:: sin. c : sin. C.

Pour trouver l'un B des angles inconnus, on fera, après avoir trouvé les segments de la base, sin. BD : sin. AD :: tang. A : tang. B (1369).

Ex. 2. On^lonne b = 83° 19' 42", c = 23° 27' 46", l'angle inclus A = 20° 39" 48'. Ou obtient B = lôG'' 30' 16", C = 9° ir 48", a = 61'' 32' 12".

4èine Cas.

(1405) Etant donnés deux angles d'un triangle sphérique et le côté inclus ; trouver le reste.

Les analogies de Napier donnent :

Cos. |(A + B) : cos. J (^ — I^) :: tang. i c : tang. i (a + 6) Sin. ^ (A + B) : sin. |(A — B) :: tang. i c : tang. Ha — b) d'oij on obtient a et b (368) comme dans le dernier cas.

SPHÉRiaïïE. 577

Ex. 1. Dans un trîano:le sphériqne ABC, on donne A= 81° 38' 20", B = 70° 9' 38", c = b^"" 16' 23" ; trouver le reste- ^ (A+B)=75° 53' 59", l (A-B)=5° 44° 21', i c=29° 38' 11"

Log. COS. H^ — S) 5° 44' 21" 9.997818

+ log. tang. ic 29° 38' 11" 9.755051

= log. (COS. I (A— B) X tang. i c) 19.752869

Moins log. COS. 1 (A + B) 75° 53' 59" 9.386713

= log. tang. ^{a + h) m° 42' 52" 10.366156

Log. sin. i (A— B) 5° 44' 21" 9.000000

-h log. tang. i c 29° 38' 11" 9.755051

= log. (sin. i(A— B) X tang. |c) 18.755051

Moins log. sin. i (A + B) 75° 53' 59" 9.986714

= log. tang. 1 {a— h) 3° 21' 25" 8.768337

De là, a = 66° 42' 52" + 3° 21' 25" = 70° 04' 17"

l'angle C = 64° 46' 33"

(1406) Autrement, A et ACB étant les deux angles donnés et AC le côté donné (ce n'est que pour les adapter à la figure que lions changeons

les données). On q «<

mènera do l'angle /"'^''^X V

inconnu C une per- /^ \ \ o / Vx

pendiculaire CD ; on Z i \ / z\ \

fera (1394, 3) R : cos. / ^ — B^^A / I \

AC :: tang. A : cot. 1/^ y lyH

ACD ; d'où, on a Z 'u^ B'^'j^