DONNÉS
Deux côtés a et b et un angle A op popé à l'un d'eux.
Autre tableau pour la SOLUTION du triangle sphérique oblique-angle.
Sin. B =
pin. b X sin. A
8in. a
Trouvez y, tel que cot. y = cos. 6 x tang. A, et x, . , alors C = x +
cos. y X tang. 6. „ou:r-w
tel que cos. x = r- r ; y ou u. y,
1 tang. a suivant le cas.
Trouvez», tel que tang. n = tang. 6 x cos. A, et
cos. a X cos. n
trouvez m tel que cos.7?i = c^^ 6
c = m + n, ou c = m — n, suivant le cas.
'^"' : alors
Deux angles A et B et un côté b, opposé à l'un d'eux.
Sin. a =
sin. 6 X sin. a sin. B
Trouvez n, tel que tang. n = tang. 6 x cos. A; et sin. n X tang. A
m tel que sin. m = ^^^ ^
c = m + n, ou c = m- n, suivant le cas.
alors
iTrouvez y, tel que cot. y = cos. 6 x tang. A, et
n ! . sin. y X COS. B , v I J7 tel que sm. ;r = r ; diur»
^ COS. A
c = .r + y, ou C = .r — 7/,8uivant le cas.
5î DONNÉS, o»
tf
Suite du tableau
pour la SOLUTION du triangle
sphérique oblique-angle.
Deux côtés h et c et l'angle inclus A
Trouvez n, tel que tang. n = tang.6 x cos. A ; alor
gin. n X tang. A /ou, suivant le sin. (c - n") i cas, c + n.
tang. B =
Trouvez n, tel que tang. n — tang.6 x cos. A ; alors
a I COS. ftxcos. (c-n) /ou,c + n, suicos. a = r— x^ 'vantlecas.
Deux angle*- A et C et le côté compris 6.
Trouvez y, tel que cot. y = cos. b x tang. A ; alors!
tang. a:
tang. b X cos. y /qu, suivant le cas,N | 9
COS. (C - y)
Trouvez y, tel que cot. y = cos. b x tang. A ; alors
COS. B
cos. A X sin. (C - y) sin. y
ou,C -f y, suivant le cas.
Les trois côtés a, b, c.
Soit a + 6-f c = s.
Sin. i A = ^^'"- {is-b)x sin. (^ g - c). Vsin. b X sin. c
ou Cos. ^ A - V'^in.è^xjin.(^g-a) Vsin. 6 X sin. c
Les trois angles A,B,C.
Sin.
Soit A + B -f C = S.
^ Vcos. ^ S X cos. (3 S - A).
Vsin. B X sin. C
ou Cos. i a ^ "^^Q^- (^ S - B) X cos. (^ S - C) Vsin. B X sin. C
SPHÉRiaUE. 591
(1413^ Après avoir obtenu, à l'aide des formules de ce tableau ou du dernier, un angle opposé à un côté donne ou un côté opposé à un angle donné, et connaissant l'un quelconque des autres angles ou des autres côtés ou deux quelconques d'entre ces angles et ces côtés, il suffit, pour déterminer les autres inconnues, de se rappeler qu'on a dans tous les cas (1366) sin. A : sin. a : : sin. B : sin. /> : : sin. C : sin. c.
2° Remarquons aussi que dans les formules 11 et 12, de ce tableau, l'analogie fait voir de suite comment on changerait de nom les données qui s'y trouvent, afin d'adapter ces formules aux autres angles B, C ou aux autres côtés h, c, suivant le cas.
3*^ Il est clair (1263) que la division par B, est sous-entendue dans les expressions, cos. tXtang. A, et cos. Axtang. h, des formules 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 et 10 des quatre premiers cas du tableau ; en effet, ces expressions sont des carrés ou rectangles, c'est-à-dire (333) des surfaces, puisque chacune d'elles résulte de la multiplication de deux lignes, oos. h, tang. A, et cos. A, tang. 6, l'une par l'autre ; or, les quantités coi. y, cos. x, tang. 71, cos. m, etc. ne sont que des lignes et ne sauraient en conséquence être égales aux surfaces dont on vient de parler, puisqu'on ne peut (25) comparer ensemble des quantités de différente espèce ; mais en divisant par B, (terme ou diviseur linéaire) les rectangles ou surfaces dont il s'agit, on a (349) pour quotients, des lignes, ce qui rend alors de même espèce et permet de comparer les quantités de chaque côté du signe (=) d'égalité. Cependant, comme on l'a déjà vu, la division par 1 (l'unité) ne change aucunement la valeur des expresssions cos. h X tang. A, cos. A X tang. h ; d'où il suit qu'on peut négliger la division par B quand R = l.
4*^ Il est de même évident que le fttcteur ou multiplicateur B est sous-entendu dans les quatre formules (11 et 12) des deux derniers cas du tableau, et pour une raison analogue à celle qu'on vient d'indiquer • car, les numérateurs et dénominateurs de ces quatre fractions sont évidemment linéaires, chacune de ces huit expressions étant la racine carrée d'un rectangle ou surface ; or la multiplication de chacune des quatre fractions, c'est-à-dire, de leurs numérateurs linéaires, par un facteur linéaire B, en fait un rectangle et ce rectangle divisé par un dénominateur linéaire, donne pour quotient une ligne ; ce qui rend encore de même espèce chacun des membres des quatre équations dont il s'agit et donne à ces formules leur raison d'être.
5° Ce tableau est donc surtout adapté au calcul par nombres (sinus,
etc.) naturels, où le rayon est censé dgal à l'unité, ce qui dispense de le faire entrer en compte ; mais l'on peut s'en servir, tout de même, en procédant par logarithmes, puisqu'il suffira dans ce cas, pour diviser par E. les expressions, cos. b X tang. A, et cos. A X tang. h, de diminuer de 10 la caractéristique du logarithme de chacune d'elles, et que de même l'on n'aura qu'a augmenter de 10 la caractéristique des logarithmes des quantités à la droite du signe d'égalité, dans les formules 11 et 12 du tableau, pour obtenir le logarithme de la quantité à gauche du signe.
(Î414) Quant aux fractions de secondes, qu'on a, d'ordinaire, négligées dans le calcul des quelques exemples de triangles sphériques et rectilignes de ce livre et du dernier, on peut, au besoin, les faire entrer en compte, comme dans le cas des distances ou parallaxes des étoiles fixes, etc., en se servant à cet eifet, de tables, comme il s'en trouve, calculées, à la seconde, ou au moins pour tous les 5 ou 10 secondes, et allant, ainsi que les autres facteurs on éléments nécessaires au calcul, à un nombre de décimales, plus grand que celui qu'on trouve dans les tables ordinaires ; ce qui est surtout nécessaire pour les quelques premiers ou derniers dcorés du quort-de-cercle, à cause du trop ou du trop peu de variation dans les longueurs respectives des ligues trigonométriques de très petits ou de très grands angles, (1300 et 1301).
(1415) Il est nécessaire de remarquer que dans l'application pratique de la trigonométrie sphérique, il est assez rare que l'on ait à considérer des triano-les dont les côtés excèdent le quart-de-circonférence, et au contraire, dans la triangulation à faire pour relever la carte géographique d'une partie de la sphère terrestre, c'est à peine si les côtés des triangles composants excèdent ou atteignent même un seul degré (le degré est de 60 milles ou de 20 lieues nautiques, chaque minute de la circonférence de la terre étant un mille nautique ou astronomique). On aura donc rarement à considérer les affections des côtés d'un triangle, ce qui simplifiera d'autant l'intelligence des opérations et en diminuera le travail.
(1416) Il résulte aussi de la petitesse comparative des triangles, eu éo-ard aux dimensions de la sphère terrestre, dont la surface est presque plane, excepté pour des distances assez considérables, que la somme des trois ano-les d'un de ces triangles sphériques, excède rarement de plus de la fraction d'une seconde, la somme (180°) des angles d'un triangle rectiligne, et il existe une méthode, démontrée par Legendre, de déterminer cet excédant par une formule assez simple dépendant de la surface même du triangle à résoudre.
SPHÉRiaUE. 593
2^ On répartit alors également, c'est-à-dire, pour un tiers, sur chacun des trois angles à estimer, l'excédant ainsi obtenu, et cela, soit en plus ou en moins, suivant que l'on veut changer les angles du triangle, considéré comme rectiligne, en angles sphériques correspondants, ou que l'on désire substituer au triangle considéré comme sphérique, le triangle rectiligne de même nom ; car dans la pratique, et même avec des instruments assez grands, on ne peut guère porter l'exactitude des observations faites sur le terrain au-delà des secondes, ce qui nécessite d'avoir recours au calcul pour corriger les angles observés et les traduire à volonté de sphériques en rectilignes ou de rectilignes en sphériques, suivant que l'on désire procéder d'après la supposition que la surface à relever est, proprement-dite, sphérique ou convexe, ou qu'on regarde cette surface comme celle d'un polyèdre (939) infinitaire, c.-à-d. d'un polyèdre ayant pour surface latérale une infinité de triangles rectilignes.
3^ La formule de Lcgendre pour l'excédant sphérique en secondes S , "
est — 2"^" • ^^ ^ ^^^ ^^ surface du triangle, et R, le rayon de la terre.
Considérant la terre comme une sphère parfaite d'un rayon de
20,921,400 pieds anglais; une seconde d'espace = (20,921,400 X 3.
14159 X 2 = 131,453,000 = circonférence) ~ 1,296,000 (nombre de
secondes dans 360°) = 101 .43 pieds, (101 .43)'^ = le nombre de pieds
carrés dans une seconde carrée, R" est le rayon exprimé en secondes
et vaut par conséquent (1,296,000" -- 3.1415926) ^ 2 = 206264.8.
S S L'expression • R" ou, ce qui est la même chose, -r: devient
surface du triangle en pieds
donc :; • ou en logarithmes, losT.
surface — 4.0123328 — 5.3144251 == log. surf — 9.3267579 = log.
de l'excédant sphérique en secondes; (4.0123328 étant le log. de
(101 .43)2 et — 5.3144251 la différence entre le log. — 10.6288502 de
X (206264.8)2 et le log. — 5.3144251 de -- 206264.8).
4* Ex. Soit un triangle dont la somme des angles observés, au lieu
d'excéder 180°, comme il devrait en être, (car tout angle horizontal
observé est essentiellement sphérique, et dans tout triangle mesuré sur la
surface de la terre, la somme des trois angles, si on les a observés
correctement, doit nécesssairement (1186) excéder 180^) est au contraire
moindre que 180° d'une demi-seconde; suit 1 .29" l'excédant sphérique
calculé, d'après la formule qu'on vient de donner, l'erreur d'observation étant par conséquent de 1,79'^. Un tiers de cette erreur ajouté à chacun des angles observés, les corrige comme angles d'un triangle sphérique, et un tiers de l'excédant sphérique 1 .29" déduit de chacun de ces angles sphériques, ainsi corrigés, les convertit en angles d'un triangle rectiligne ayant pour côtés les cordes des arcs qui servent de côtés au triangle sphérique correspondant, et dont la somme des angles est ISO'*, comme on le voit par l'exemple ci-dessous.
Angles observés.
Tiers de l'erreur.
Angles sph. Tiers de coriigéa. l'excéd. sph.
Angles rect.
coirigés.
Ici, on a déduit de chaque angle, le tiers de Texcédant sphérique ; mais on aurait pu calculer cet excédant pour chaque angle séparément, en réduisant les angles du triangle sphérique aux angles formés par les cordes. Ainsi, il y a trois modes de solution pour les grands triangles d'un relevé géodésique: d'abord, en les calculant comme triangles sphériques avec les angles sphériques corrigés : puis, en les regardant comme triangles rectilignes avec les angles des cordes : enfin, par la méthode de Legendre qui consiste à diminuer chaque angle du tiers de l'excès sphérique ; cette dernière méthode étant de beaucoup la plus expéditive. Dans " la base du système métrique " on a calculé les côtés des triangles par chacune des trois méthodes. Dans le relevé de l'Angleterre, on a procédé par la seconde méthode et on a vérifié les calculs par la troisième.
