TOISE DES SOLIDES ET DES SURFACES
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(1417) Il n'est pas inutile de recueillir maintenant et de présenter sous une forme plus succincte les diverses formules ou règles qui on trait au calcul des surfaces et volumes des divers corps et figures dont il a été jusqu'ici question. Un ensemble de cette sorte permettra de référer plus aisément à ces règles, pour y trouver d'un coup-d'œil celle dont on aurait besoin, eu égard au problème à résoudre, et quelques exemples pratiques des divers cas mettra l'élève plus au fait du procédé à suivre pour arriver au résultat voulu.
(1418) Déterminer une surface ou un volume, c'est comme on la vu (333 et 1014) trouver le nombre de fois que cette surface ou volume contient une autre surface ou volume que l'on prend pour unité de mesure (24). Ainsi, quand on dit qu'une toise carrée contient 36 pieds carrés, il faut entendre que l'unité de mesure est le pied carré et que cette unité est contenue 36 fois dans la toise carrée, la toise linéaire étant de 6 pieds, et 6 X 6 = 36. De même, si la toise cubique, contient 216 pieds cubes, c'est que le pied cube est dans ce cas l'unité prise pour mesure et que cette unité est contenue 216 fois dans la toise, laquelle étant de 6 pieds linéaires, son volume est (lOlS) 6 x 6 x 6 = 216 ; et si le mètre cubique contient 1000 déci-m êtres cubes, c'est que l'unité de mesure est le déci-mètre et que 10x10x10 = 1000.
(ï flîî» L'unité lie mesure qu'il convient d'employer e-^t d'ordinaire le carré ou le cube (.suivant le cas) dont le cô;é est (333 et 1014) l'unité linéaire qui a servi à établir les dimensions linéaires de la figure à estimer • mais il est clair que rien n'empêche d'estimer en mètres ou en verges carrés la surface d'une figure dont les dimensions seraient exprimées eu pieds ou en pouces, etc. ; et de même il sera inditiérent d'exprimer en pieds cubes, en mètres ou en toises, etc., le contenu d'un corps ou solide dont les diniensions linéaires seraient données en verges, en pieds ou en pouces, etc. ; faisant attention seulement aux réductions nécessaires pour traduire les éléments donnés en éléments d'un autre nom, c'est-à-dire, d'une valeur difiérente.
Arrêtons nous d'abord au toisé des surfaces.
PEOBLËME I.
Déterminer la surface d'un carré, rectangle, losange, rhombe ou parallélogramme quelconque (*).
(1420) REGif^E I. Multipliez la base (ïS2)par la hauteur (ÎSO) et le produit sera la surface voulue (333 et 341).
Ex. 1. Quelle est la surface d'un carré dont le côté mesure 204. 3 pieds?
RÉP. 41738.49 pieds carrés.
(*) Ces figures se rencontrent partout dans la pratique du mesureur, géomètre, arpenteur, toiseur, etc. ; ainsi, le parquet, plancher, ou plafond, ou l'un des pans d'un appartement ou d'une pièce quelconque sera d'ordinaire un carré ou un rectangle. Il en sera de même d'une porte ou d une fenêtre dont une partie au moins sera rectangulaire, et l'on retrouvera encore cette figure dans la surface développée d'une joue de porte, de fenêtre ou de toute autre ouverture qui serait cintrée .sans être ébra.sée ; ainsi que dans le développement du pourtour d'une pièce ou d'un appartement quelconque dont le plan serait un cercle ou tout autre figure curviligne et dont il .sera toujours facile d'obtenir avec assez d'exactitude les dimensions curvilignes à l'aide d'un galon, si la surface à estimer est convexe, ou au moyen d'une tringle assez mince pour pouvoir s'ajuster à la surface concave à estimer. Pour ce qui est du parallélogramme oblique-angle, on rencontrera souvent de ces surfaces à l'endroit de deux courses superposées d'escaliers de même inclinaison. Les subdivisons des territoires en cantons, lots et parcelles, affectent aussi pour la plupart des figures de cette sorte.
DESSURFACFS. 29T
*î. Quel est le nombre de carrés (le carré est de 10x10 = 100 pieds carré-) dans un plancher, plafond, colombage, lambris, couverture, etc. rectangulaire, dont la longueur-— 60 pieds et la largeur 35 pieds? Rep. 21.
3. Quelle est la superficie d'un parallélogramme dont la base égale 12.25 et la hauteur 8.5? Uep. 104.125.
4. Combien de verges carrées de peinturage, dans un rectangle dont la base est de 66.3 pieds et la hauteur 33.3 pieds? Rep. 2-45.31.
5. Déterminer la superficie d'une planche rectangulaire dont la longueur est 12^ pieds, et la largeur 9 pouces? Rey. l| p. c.
6. On demande le nombre de verges carrées de tapisserie nécessaire pour couvrir un parallélogramme, dont la base est de 37 pieds, et la hauteur de 5 pieds 3 pouces ? Rep. 21 ^V-
■y. Combien de pieds carrés de vitrage dans une fenêtre rectangulaire ayant 75 pouces en hauteur sur 37^ pouces en largeur? Rep. 75 x
37^^144 = 19 pieds carrés 76^ pouces carrés = 19. ]|j5 = 19.53125 pieds; ou 6'.3"x 3'.l^" = 19.6| = 19.^f^ = I9|^ = 19.53 ou 19^ p. c. à peu près.
S. Combien de pouces carrés de dorure faudra-t-il pour couvrir une surrace dont la longueur est de 3 pieds 3 pouces et la largeur développée ou périmètre de 13 pouces ? Rc'P 507.
9. Quel est le nombre de pieds surperficiels dans l'ensemble des moulures d'une corniche en pierre, en bois ou en plâtre, etc., dont la longueur est de 60 pieds 7 pouces et la largeur développée ou contour de 3 pieds 3^ pouces?
Rep. rJ9;5j (à très près) p. c.
REM. Ces largeurs développées, contours ou périmètres, s'obtiennent au moyen d"un fil ou galon que l'on ployé autour des diverses moulures, dans une direciion perpendiculaire (396 ou 93S) à leur longueur.
10. On demande le nombre de verges carrées de vernis sur une porte dont la hauteur est de 7^ pieds et la largeur développée (on mesure autour de toutes les moulures, etc.) de 3 pieds 11 pouces ? Rep. 3 v. c. 2*-i p. c. = 3 V. c. 2.375 p. c. = 3.2^3j7i v. c. = 3.2639 v. c, soit 3^ v. c. à peu près.
11- Combien de mètres carrés dans une parcelle de terre ayant 113.75 mètres en longueur sur 10.5 mètres en largeur? Rep* 1194.375.
12. Déterminer en arpents et perches carrés, la superficie d'une terre mesurant 40 arpents 5 perches en profondeur ou longueur, sur 3 arpents 7^ perches de front ou largeur (10 perches linéaires formant un arpt. lin. et par conséquent 10 x 10 ou 100 perches carrées, un arpent carré).
Rep, 151 arp. 87^ perches.
(Ï42Ï) RÎEGl,TÎ II. Faites le produit de deux côtés adjacents du parallélogramme, et multipliez ensuite ce produit par le sinus naturel de l'angle inclus.
En effet, on a vu (1231, 1°) que quand R=l la perpendiculaire DE du triangle rectangle AED est égale au produit de l'hypoténuse AD par le sinus de l'angle A ; mais DE est la hauteur du parallélogramme AG, et puisque A E B
surf. AG = ABxDE et que DE = ADxsin. A, il est clair alors que surf. AG- = ABx ADxsin.A.
Ex. 1. Quelle est la surface d'un rhombe ou losange dont le côté est de 25 chaînes et l'angle inclus de 57° 33'. lâep. 25 x 25 =
625, et 625 x .84386 (sin. nat. de 51° 33') = 527.4125 chs. c.
(1422) Pour résoudre le même problèm.e par logarithmes, où R^lO., on a (12^29, 1°) R:sin. A :: AD:DE ; d'où, DE =
A II X ^1 n T
1 or, surf AG = AB x DE et en substituant à DE, sa valeur
AD X sin. A
AD X sin. A ^^^ obtient pour surface AG, l'expression AB x ,
^ . -, ABx ADxsin.A . , ,. ,.,
ou ce qui est la même chose, surf AG= ^ ; c est-a-dire qu il
faut ajouter ensemble les logarithmes des deux côtés adjacents et le sinus loo-ariilimîque de l'angle inclus / cette somme, diminuée du log. du rayoni sera, le log. de la surface coulue.
r+log. AB 25 1.397940
c .n ! +log.AD 25, 1.397940
Log.surfAG=j ^j^°^.^^ 57^33' 9.926270
\^ - log. R 10.
Log.surf AG= 2.722150
Loo-. moindre suivant 2.722148 = 527.41 chs. ; la différence entre ce log. et le lofT. trouvé est 2, auquel ajoutant (12S6) deux zéros et divisant par 82 on a (à très prés) 25 que l'on ajoute à la droite des chifires 527.41 déjà trouvés, pour avoir comme auparavant, 527.4125.
Ex. 2. On demande la la surface d'une terre dont les côtés sont respectivement de 4O5 ar. et de 3 ar. 7^ per. et l'angle inclus 57° 33'.
Kci» r + log. 40^ ar. ou 405 per 2 . 607455
. I + log. 3 ar. 7^ per ou 37.5 per 1.574031
Log. sur .vou ue- -j ^ ^^^^ ^^^^^ ^^^^^ .^^^^^ ^^^ ^^, 9.926270
\^ -log. R 10.
Lûg. surf, voulue = 4.107756
Le log. moindre suivant .107549 correspond au nombre 1281 ; la différence entre ce log. et le log. trouvé est 207 ; ajoutant des 0 et divisant par la dif. (D) 338, on obtient 612426 que l'on écrit (12S(5) à la druite du nombre déjà trouvé 1281 pour avoir 1281612426 ; mais la caractéristiqae du log. trouvé est 4, ce qui correspond (IS'Î'S) à 5 chiffres d'entiers ; donc lenombrevouluestl2816.12426perches, oul28ar. 16.124(ou 1 6 J) perches, près.
• PROBLÈME II
Trouver la surface d'un triangle (*).
