ABC
AB X AC x sin. A AB x BC x sin. B
Ex. a. On demande la surface d'un triangle dont les côtés sont AB = 125.81, AC = 57.65, et l'angle inclus A = 57°25'?
^Ît-'P. r+log. AB 125.81 2.099715
l+log.AC 57.65 1.7G0799
Log. 2 ABC :
+ log. sin. A -log. R
Log. 2 ABC =
Et 2 ABC = 61 11. 4, ou ABC = 3055.7 -surface demandée. 2. Combien de verges carrées dans un triangle dont les côtés sont 25 pieds et 21 . 25 pieds et l'angle inclus 45» ? Rep. 20 . 8694.
3ème Cas.
Quand les trois côtés sont connus.
(1426) REGLi; I. Ajoutez ensemble les troi:^ côtés et prenez la moitié de leur somme. De cette demi-somtne soustrayez séparément chacun des
cotés. Faites le produit continu de la demi-somme et des trois restes. Ce produit sera le carré de la surface du triangle, et la racine carrée de ce produit la surface voulue.
Soit ACB le triangle. Prenez CD égal au côté CB et menez DB ; menez AE parallèle à DB, pour rencontrer en E le côté CB prolongé : CE sera alors égal à CA. Menez CFG perpendiculaire à DB et par conséquent aussi à AE qui est parallèle à DB ; CFG bissectera DB, AE en F et G. Menez, parallèle à AB, FHI qui rencontrera CA en H et EA prolongé en I. Enfin, du centre H, avec un rayon FH, décrivez la circontérence d'un cercle; cette circonférence rencontrera en K le prolongement de CA, passera par le point I, à cause de AI=FB=DP (d'où, HI=HF), et passera aussi (444) parle point G, parce que FGI est un angle droit.
Maintenant, puisque HA = HD = ^AD et CD^CB = ^CD + ^CB, il est clair que . CH est égal à la demi-somme des côtés AC, BC du triangle ; c'est-à-dire CH = ^CA-F ^CB ; et puisque HK = ^IF = ^AB, il suit que CK — ^AC -^ 2BC -H 2AB = 5S, si l'on représente par S la demi-somme des côtés.
De plus, HK = HI=èIF = ^AB, ouKL = AB; d'où, CL=:CK-KL = ^S-AB, AK-CK-AC = ^S-AC, et AL = DK=CK - CD = ^S - BC. Or, AG X CG = surf. ACE, et AG x FG=8urf. ABE, d'où AG x CF = surf. ACB; et par triangles semblables, AG:CG :: DF:CF, ou comme AI: CF; donc AG X CF (surf, de ACB)= CG x DF= CG x AI ; donc AG x CF x CG X Ai OU, ce qui est la même chose, AG x CF x CG x AI est égal au carré de la surf. ACB.
Mais CG X CF=(5'y6) CK x CL= ^S x (^S - AB),
et AGx AI=(5'S'2) AK x AL=(^S - AC) x (^S-BC) ; d'où, AG X CF x CG X AI =^S x (^S - AB) x (^ - AC) x (^S - BC) = surf. ACB X surf. ACB=(surf. ACB)2.
Ex- 1- Soit à trouver la surface d'un triangle dont les côtés sont 20, 30, et 40.
— 25= 1er reste.
45= demi-somme.
Maintenant 45 x 25 x 15 4- 5= 84375.
La racine carrée de ce produit est 290.4737, la surface voulue.
15=2ème
reste. 5= Sème reste
S5. Les trois côtés d'un triangle étant 24, 36, et 48 ; quelle en est la surface? Rep- 418.282.
3> On demande la surf, d'un triangle équilatéral dont le côté est 25 ?
Rep. 270.632.
(142'î') Par loi^arifhnies. Après avoir déterminé les trois restes, faites V addition des logarithmes de la demi-somme et des trois restes ; la demi-somme de ces quatre logarithmes répondra à la surface voulue.
Ex. 1. Combien y a-t-il de verges carrées d'enduits dans une surface triangulaire dont les côtés sont de 30, 40, et 50 pieds ? Rep. 66|.
2. Les trois côtés d'une parcelle de terre mesurent 505.3, 330.7, et 402.5 mètres. Quelle en est la surface ?
