OG
aurait en divisant par 160, 5 acres, 108.0356 perches, et si l'on voulait ensuite traduire en pieds carrés, la décimale de perche, il est clair que la perche carrée étant de I63 x 16^ = 272.25 pieds carrés (ou l'acre = 272. 25 X 160 ou 66 X 660 pieds =43560 pieds carrés) il n'y aurait qu'à multiplier .0356 par 272.25 pour avoir 7.69 pieds carrés anglais.
Maintenant comme il y a 6 côtés, chacun égal à 20, on aura le périmètre = 20x6 = 120 et la surf. ^120x^(17. 32052) ou ce qui est la niêiiie chose = 17. 32052xè (120) = 17. 32052x60 = 1039. 23120 p. c.
Ex. 2. Quel est le contenu superficiel d'un octogone dont le côté est 20? Rep. 1931.368.
Car l'angle au centre = 360°-^8=45° dont la moitié 22° 30' est l'angle AOG adjacent au rayon droit, et sou complément OAG en conséquence = 90o o = 67".30; or on a (1231, 3°) OG = AG x tang. nat. OAG=10x 2.41421 = 24.41421 et surf. = 24.41421 x 80 (demi-pér.) = 1931 . 368.
3. On demande l'aire d'un nonagone dont le côté mesure 8 pieds et la perpendiculaire menée du centre = 10.99 pieds? Rep. 395.64 p. c.
4. Trouver l'aire d'un heptagone dont le côté =19.38 et le rayon droit = 28? flep- 1899.24.
5. Le côté d'un pentagone = 25 mètres et la distance du côté au centre = 17.2 mètres; quel est le contenu ? Rep* 1075 m. c.
(1440) A l'aide de cette règle, on obtient aisément l'aire d'un polygone quelconque, c'est-à-dire d'un polygone d'un nombre quelconque de côtés. Ayant donc calculé et disposé sous la forme du tableau suivant, les aires relatives des divers polygones ayant pour côté l'unité ou 1 ; savoir:
Noms.
Rayon du cercle circons.
Triangle 0.5773503 .
Carré 0.7071068 .
Pentagone.... 0.8506508 .
Hexagone 1.0000000 .
Heptagone . . . 1 . 1523824 .
Octogone 1.3065628 .
Ennéagone... 1.4619022 .
Décagone 1.6180340 .
Undécagone.. 1.7747324 .
Dodécagone.. 1.9318517 .
Cotés.
Raijon du cercle ins.
Aires.
L'angle OAU.
73tV
Et parce que (556) les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, l'aire d'un polygone donné quelconque aura au carré de son côté le même rapport que l'aire du polygone de même nom et dont le côté est 1, au carré de l'unité ; d'où, on a :
(1441) REGL.E II. Carrez le côté du polygone donné ; multipliez alors ce carré par Paire du polygone de même nom dont le côté est 1 ; le produit sera, la surface voulue.
Ex. 1. Quelle est la surface d'un hexagone régulier, dont le côté est 20 ?
Rep. 20^ = 400, l'aire de l'hexagone du tableau = 2.5980762, et 2.5980762x400 = 1039.2304800, comme auparavant.
2. Déterminer le contenu superficiel d'un pentagone dont le côté est de 25 verges? Rep. 1075.298375 v. c.
3. Le côté d'un décagone mesure 20 mètres; quelle est Taire ?
Rep. 3077.68352 m. c.
4. Trouver la superficie d'un dodécagone dont le côté est 6 ?
Rep. 403.06148G-4.
5. Le côté d'un terrain en forme de triangle équilatéral mesure 3 ar^^ents 7 perches et 6 pieds ; quel en est le contenu ?
Rep. 37^ per.x37^ per. =1393'- ou 1393.77777, x 0.4330127=603. - 5234787 ou 6 arpents carrés, 3^ perches carrées à peu près.
PROBLÈME VIII
Trouver la circonférence d'un cercle dont on a le
diamètre, ou le diamètre d'un cercle dont
on a la circonférence.
('14-1*2; Rï:Gr.E:. Multipliez (GSG) le diamètre par 3.1416, et le produit sera la circonférence ; ou divisez (6§'î) la circonférence par 3.1416, et le quotient sera le diamètre.
JEx. 1. Quelle est la circonférence d'un cercle dont le diamètre est 25 ?
Rep. 78.54.
2. Si le diamètre de la terre est de 7921 milles, quelle en est la circonférence? Rep. 24884.6136.
3. Déterminer le diamètre, dont la circonférence est 11652.1904?
Rep. 3709.
4. On demande la circonférence, quand le diamètre est de 17 mètres?
Rep. 53.4072.
5. On donne la circonférence d'un cercle = 354 pieds pour en déterminer le diamètre? Rep. 112.681.
REM. Le rapport 7:22 donnerait pour ce diamètre 112.636
ce dernier résultat est trop iaible de j^^^ d'une unité ou de xuetro du tout et met en mesure de juger de l'exactitude relative des deux rapports.
PROBLÈME IX
Trouver la surface d'un cercle.
(1443) REGLE I. Multipliez (431) la circonférence par la moitié du rayon.
REGL.E II. Multipliez (1024) le carré du rayon par 3.1416. REGEE III. Multipliez (dém. de 684) le carré du diamètre par
Ex. 1. Quelle est la surface d'un cercle dont le diamètre est 10 ?
Rep. 78.54.
Si la diamètre était 100, la surface serait 785.4
Si le diamètte était 1000, la surface serait 7854
2. On a le diamètre 7 et la circonférence 21.9912 pour trouver la superficie du cercle ? Rep. 38 .4846.
3. Combien y a-t-il de verges carrées dans un cercle dont le diamètre est de 3^ pieds? Rep. 1.0G9016.
4. Le diamètre étant 7, quelle est l'aire du cercle? Rep. 38.4846.
5. Trouver l'aire d'un cercle dont le rayon est de 30^ perches?
Rep. 2922.4734 perches carrées.
(1444) REGliE IV. Multipliez le carré de la circonférence par. .{)195S : le produit sera la surface du cercle. Car, soit c la circonférence donnée rf le diamètre et ;r = 3.14159; alors (6§6) c = Tld, et (681)
d — "; de là^ l'aire du cercle =-y- puisque (1024) la surf, d'un cercle
dont le rayon est r = r[ r et que d :^ 4 r ; mais puisque d z= -, on a
d = [- ] —~2 ; ^^ comme = ^ tt » , on a tt — = 4 7? = =
\7tJ TC" 4 ■^ 7r2 4 TT
EX. 1. Trouver l'aire d'un cercle dont la circonférence est de 10.75 ?
Rep. 9.196463750.
3. Déterminer, en acres, la superficie d'un terrain dont la circonférence mesure un mille (soit 80 chaînes de Gunter =66 x 80=5280 pieds anglais)? Rep. 50.9312.
PROBLÈME X
Trouver la surface d'un anneau circulaire ou l'espace compris entre deux cercles concentriques. (*)
(1445) REGEE I. Trouvez (1144) par le dernier problème les surfaces des deu.v cercles : leur différence sera la surface de l'anneau.
REOLE II. Multipliez (3'îl) la somme des diamètres par leur différence : ce produit multiplié par .7854 sera la surface voulue.
(*) Tel serait une allée autour d'un .jardin circulaire, la coupe horizon taie d'une colonne évidée, le plan-par-terre du mur d'une tour, une coupe perpendiculaire à l'axe d'un tuyau ou conduit, etc., etc.
RKGLif] III. Multipliez la demi-somme des circonférences des deux cercles par la demi-différence de leurs diamètres, c'est-à-dire par la largeur de C anneau, et le produit sera la surface demandée.
Car chaque unité du diamètre correspond à 3 . 1416 /^"^~-^^"\
unités de la circonférence ; donc, si a C = a. A = ^X^Z! ^\ ^\
une unité ou partie quelconque du diamètre A B ou h ?^. \ ''A
C D, l'excédant de la circoniérence a b sur la cire, -^tllr ] .]"
C D sera égal à l'excédant de A B sur a b- d'où a V". \^ ^/ -'/
b est moyenne arithmétique (1265) entre cire. A et X^ ■■\y'^
cire. C. Maintenant, (42S) A E : a c : C F : :
cire. A B : cire, a b : cire. C D ; donc a c est moyenne arithmétique entre AE, CF ; et puisque l'arc AE, indéfiniment petit, peut être considéré (430) comme étant sensiblement une ligne droite, la partie A E F C de l'anneau circulaire peut être régardée comme un trapèze ; or, surf, trapèze A E F C = (347) a c X AC ; donc aussi, surface anneau A C = cire, a b x A C.
Ex. 1. Combien y a-t-il de pouces carrés dans la surface d'un anneau circulaire dont le diamètre extérieur est 30 pouces et la largeur 2^ pouces ?
fiep. 215.985.
2. Les diamètres de deux cercles concentriques sont 15 et 10 : quelle est l'aire de l'anneau que forment ces cercles ? Rep. 98. 175.
3. On demande la surface de l'anneau dont les cercles contenants ont pour diamètres 9 et 5 ? R«p. 43.9824.
4. Les deux diamètres d'un anneau circulaire sont 21.25, et 9.75; quel en est le contenu superficiel ? îlep. 279.9951.
5. Déterminer la surperficie de l'espace compris entre deux cercles concentriques dont les diamètres sont 15 et 16? Kep. 24.3474.
(1446^ Si les cercles A B, a b, n'avaient pas le même centre, comme c'est le cas pour une roue excentrique, il est clair qu'on aurait tout de même la surface de l'espace annulaire compris entre les cercles en faisant (Règle I) la différence de surface de chacun d'eux.
PROBLÈME XI
Trouver la longueur d'un arc de cercle.
(1447^ REGLE. I. Multipliez le nombre de degrés dans l'arc proposé par. 0087266 et ce produit par le diamètre du cercle.
RE3I. 1. Puisque la circoniérence est 3.1416 quand le diamètre est 1, il suit que 3.1416-^-360 = 0.0087266 = longueur (*) de l'arc d'un degré,
(*) On a déjà eu occasion de faire remarquer et il est d'ailleurs clair que l'exactitude d'uu résultat est limité par celle des éléments qui y concourent ;
sous un diamètre égal à l'unité. Ce quotient multiplié par le nombre de degrés dans un arc, sera la longueur de cet arc dans le cercle dont le diamètre = 1 ; et ce produit multiplié par un diamètre quelconque donnera la longueur de l'arc dans un cercle de ce diamètre.
REM. 2. Puisque la minute est le GOème du degi-é, et la seconde le 60éme de la minute ouïe (60 x 60) 3600ème du degré; si l'arc proposé contient des minutes, on réduira ces minutes en les divisant par 60 à la décimale d'un degré et si l'on a aussi des secondes, on réduira d'abord les minutes en secondes pour diviser ensuite le tout par 3600 ; ce qui traduira comme auparavant en décimales d'un degré la partie fractionnaire de l'arc.
Ex. 1. Le diamètre étant de 18 pieds, quelle est la longueur de l'arc de 30°? Rep. 4.712364.
2. Trouver la longueur d'un arc de 12°. 10' ou 12|^'>, sous un diamètre 20? Rep. 2.12.3472.
3. Dans un cercle dont le diamètre est de 68, quelle est la longueur de Tare de 10°. 15' ou 10.25° ? Rep. 6.082396.
4. On demande la longueur d'un arc de 57° 17' 44^" ; le rayon du cercle étant de 25 pieds? Rep. 25 pieds.
Car 57° 17' 44^" est la 3.1415926ème partie de 180°, c'est-à-dire la Ion. gueur du rayon en termes de la circonférence.
5. Déterminer, dans un cercle dont le rayon est 20, la longueur d'un arc de 45° 30' 3"? Rep. 15.885.
REM. 3. Si le nombre de degrés dans l'arc voulu n'était pas connu, on y arriverait facilement par la méthode du par. ('î'§5). où la corde et la flèche de l'arc sont données pour trouver le reste.
(144S) REGLE II. Déterminez (785) la longueur de la circonfè rence entière dont l'arc donné fait partie et établissez alors la proportion suivante, savoir : 360° : la longueur de la circonférence : : le nombre de degrés dans Varc : la longueur de Varc.
Ex. 1. Sous un rayon 14, quelle est la longueur de l'arc de 60° ?
Rep. 14.6607720
il est donc à peine nécessaire de rappeler que suivant le degré de préci^on qu'on se propose, il peut devenir nécessaire de faire entrer en compte un nombre plus ou moins grand des décimales de l'unité de tel élément ; ainsi il e.-^t clair que la solution du problème dont il s'agit ici peut exiger que l'on remplace le rapport 7Z = 3.1416 dont on se sert d'ordinaire par le rapport plus exact TZ = 3.14159, ou par le rapport encore plus approximatif tc = 3.141592, TT = 3.1415926, n- = 3.14159265, etc., avec une décimale additionnelle du terme ou facteur 11 pour chaque décimale additionnelle de l'unité du résultat.
2. La corde A B d'un arc A C B est de 30 C pieds et la hauteur ou siiius-verse E C est de 8 pieds ; trouver la longueur de l'arc ?
Rep. 35^ pieds, près.
3. Quelle est la longueur de l'arc dont la corde est 48^ et la tlèche 18^ ?
Rep. 64.767 près.
4. Si la corde d'un arc mesure 20.886 perches, et son sinus-verse 4 perches; quelle est la longueur de l'arc ? Rep. 22.402 perches près.
5. On demande la longueur d'un arc de cercle dont la corde est 40 et la hauteur 15 ? Rep. 53.33 près.
(1449) REGL.E III. On démontre aussi que : L'on obtient, à peu de chose prés, la longueur d'un arc, en soustrayant de huit fois la corde de la moitié de l'arc, la corde de l'arc entier, pour prendre ensuite le tiers de la différence.
Ex. 1. La corde d'un arc est de 36.75 et la corde de la moitié de l'arc 23.2 ; quelle est la longueur de l'arc ? Rep. 49.616 près.
2. Quelle est la longueur d'un arc dont la corde est 50.8 et la corde du demi-arc 30.6? Rep. 64.66 près.
StEM. Quand on ne connaît que la corde et la flèche de l'arc entier, on obtient au besoin la corde de la moitié de l'arc égale (305) à la racine carrée de la somme des carrés de la flèche et de la demi-corde.
PROBLÈME XII
Trouver l'aire d'un secteur de cercle.
(1450J REGIME I. Multipliez (430.2») l'arc du secteur parle demi-rayon.
REGLE II. Faites (429) l'aire du cercle entier, et établissez ensuite la proportion : 360 degrés : degrés dans l'arc du secteur :: l'aire du cercle entier : l'aire du secteur.
Ex. 1. On demande l'aire d'un secteur, dont l'arc est de 18 degrés et le diamètre du cercle 3 pieds ? Rep. 0.35343.
2. Quelle est la surface d'un secteur dont l'arc est 20 et le rayon 10 ?
Rep. 100.
3. L'arc d'un secteur est 147° 29' et son rayon 25; quel est le contenu superficiel? Rep. 804.3986.
4. Déterminer la surface d'un secteur, quand la corde de l'arc = 28 et la corde de la moitié de l'arc = 16 ? Rep. 275.39 près.
5. Le rayon du cercle étant 10, quelle est la superficie du secteur dont la corde de l'arc est 20? aî««ï». 113 3 près.
6. La corde de l'arc est 16 et sa hauteur 6 ; quelle est l'aire du secteur ?
M<?p. 88.873 prés.
T. Trouver le contenu d'un secteur dont la hauteur de l'arc = 4etle rayon = 8? Hep. (ifi.858 près.
PROBLÈME XIII
Trouver l'aire d'un secteur d'anneau circulaire ou
l'espace compris entre deux arcs de cercles
concentriques.
(1451, REGÏ-IÎ ï. Multipliez (dém. de 1445, R. IIÏ.) la demiscmn.e des arcs intérieur et extérieur du secteur par sa largeur ; d est-àdire par la largeur de Vanneau dont le secteur fait partie, ou, ce qui est la même chose, par la différence des rayons des arcs concentriques qui le contiennent.
KECSÏjE II. Trouvez par le dernier problème les surfaces des deux secteurs concentriques : leur différence sera la surface voulue.
Ex. 1. L'arc AEB ou CFD d'un secteur AB d'anneau circulaire est de SO'*, la largeur AC de l'anneau de 2^ et le rayon AO de l'arc extérieur de 15 pouces? Rep. La surface= 17. 99875, soit 18 p. c.
2. Les deux rayons d'un secteur d'anneau circulaire sont 10.625 et4.875 et l'angle au centre 0 ou AOB c'est-à-dire l'arc AEB est de 270° ; (25'?') on demande l'aire du secteur? Rep. 209.996, soit 210.
3. Les arcs qui comprennent un secteur d'anneau circulaire sont 11 pieds 9 pouces et 10 pieds 3 pouces, et la largeur de l'anneau 13 pouces ; quelle ' en est la surface ? Rep. 11 ji p. c.
4. Déterminer la superficie de l'espace compris entre deux demi-cercles ayant un centre commun, et dont les diamètres mesurent 20 et 30 ?
Rep. 39.270x5 = 196.35.
(!452) RSbM. Si les secteurs composants ABO, CDo n'avaient pas le même centre ; on ferait d'abord la surface de l'espace CFDO en ajoutant au secteur CFDo, ou en lui retranchant, suivant le cas, la somme des triangles COo, DOo, pour prendre ensuite la dilicrence entre AEliO et CFDO ; ce qui est clair.
PROBLÈME XIV
Trouver la surface d'un segment de cercle.
(1453) KEGL.E ï. 1° Trouvez (4'i^) par Vacant dernier problèv^e, l'aire du secteur de même arc. 2° Trouvez ensuite l'aire du triangle fonné par la corde du segment et les rayons du secteur. 3'* La somme de ces surfaces sera (434J celle du segment, si le segment est plus grand qu'un demi-cercle, et si le segment, est moindre qu'un demi-cercle, sa surface sera égale à la différence de ces surfaces.
Ex. 1. Trouver Faire du segment AEB dont la corde AB est 12 et le rayon AC = 10. AD 10 comp. ar. log. 9.000000
:AD-è-^B 6 0.778151
:: Sin. D 90^ 10.000000
Sin. ACD W 52' ---36. 87° 9.778151
= 73 . 74"^ = les degrés dans l'arc AEB.
Alors 73.7-4 x (1455 RE.^l. 1.) 0 0087266 x 20 = 12.87 = longueur (près) de l'arc AEB et AEB v ^AC = 12.87 x 5 = 64.35 = surf, secteur AEBC.
Maintenant CD^VaC^ — AD» = VlOO - 36 = V6T'= 8 et 6 x 8 = 48 surface du triangle ACB. De là, sect. AEBC - ABC = 64.35 - 48=16.35 = seg. AEB.
2. On demande l'aire du segment dont la hauteur est 18 et le diamètre du cercle 50 ? Rep. 636.4834.
3. La corde d'un segment = 16, le diamètre = 20 ; quelle est la eurface ?
4. L'arc d'un segment contient 90° sous un rayon=9 ; quelle est la surface ? Rep. 23.1174.
5. Déterminer l'aire d'un segment dont la corde de l'arc est 24 et la corde de la moitié de rarc=13 ? Voyez (536) ou 539).
Rep. 52.53333.
(1454) REGLE II, l'^ Divisez la hauteur ou le sinus-verse par le diamètre et trouvez le quotient dans la table des sinus-verses à la fin de ce volume. 2'^ Multipliez alors lenombre à la droite du sinus-verse par le carré du diamètre, et le résultat sera la surface demandée.
(1455) La table dont il est question contient les surfaces ou aires des segments d'un cercle dont le diamètre est 1 et que l'on suppose divisé en 1000 parties égales. On y trouvera donc la surface d'un segment ayant pour hauteur la millième partie du diamètre, celle d'un segment dont la
hauteur égale les 2 millièmes du diamètre, celle du segment ayant pour hapteur ou sinus-verse les -ï^gjj du diam. et ainsi de suite jusqu'au segment dont la hauteur est de y^A '^^ diam. c'est-à-dire jusqu'au demi-cercle en entier.
(1456) Il est clair que cette règle est analogue à la règle II du problème VII et qu'elle n'exige pas une démonstration spéciale ; car il suffit de rappeler, pour en faire comprendre l'exactitude, que dans deux cercles ditierents les segments semblables sont (24) ceux qui correspondent à des angles égaux au centre et dont les cordes (double-sinus (1216) des moitiés de ces angles) et les sinus-verses ont en conséquence entre eux le rapport des diamètres de ces cercles et que (55'î') ces figures semblables sont entre elles comme les carrés de ces diamètres.
(1457) Il est a peine nécessaire d'ajouter que s'il s'agisait d'un segment plus grand que le demi-cercle on n'aurait qu'à opérer sur l'autre segnient, pour le retrancher ensuite du cercle entier, et si le quotient du sinus-verse donné par le diamètre ne se trouve pas dans la table, il sera facile de déterminer par une simple proportion la difi'érence de surface correspondant à la partie fractionnaire de tel sinus.
Ex. 1. Le sinus-verse d'un segment de cercle étant 10 et le diamètre 50 ; trouvez l'aire du segment ?
Rep. 10-7-50 = ;^g = |= .2 = sinus-verse de la table; l'aire qui correspond à ce sinus-verse est .111823 laquelle multipliée par 2500 le carré du diam. donne pour surf, du segment proposé 279.5575.
2. On demande la surface du segment dont la hauteur est 6 et le diam. du cercle 21 ?
Rep. 6^-21 =/j- = f=.285f= .sinus-verse de la table, auquel
correspond surf 184521
La surface qui correspond au sinus-verse plus grand suivant est.. . 185425
La différence entre ces surfaces est 000904
Cette différence x f , c'est-à-dire x 5 et^-7 donne pour surf. cor. à f . . 000646 A laquelle j'ajoute la surf, qui cor. à 285 184521
Pour avoir la surface entière du segment 285f de la table 185167
Maintenant, multipliant par le carré du diam. 21 x 21 = 441
On obtient pour surface du segment proposé 81 . 658647
3. Trouver l'aire d'un segment dont la hauteur est 2 et le diam. 52 ?
Rep. 26.88.
4. Le sinus-verse est 5 et le diam. 25 ; quelle est l'aire du segment ?
Rep. 69.889375.
5. La hauteur d'un segment est 9 pouces et le diam. 3^ pieds ; trouvez la surface? Rep. 205.4118 pouces carrés.
PROBLÈME XV
Trouver la surface d'une zone de cercle, ou l'espace compris entre deux cordes parallèles quelconques et leurs ares interceptés.
(145.S) REGLE I. Trouvez d'abord par la méthode du par . i5T( 4.1 etc., le diamètre ou rayon du cercle et les autres éléments du calcul àjaire. Déterminez ensuite (435) séparément par les problèmes déjà donnés les surfaces des secteurs et des triangles composants, pour en prendre la somme, si la zone est centrale ; ou si la zone est soit centrale ou latérale, déterminez par le dernier problème les surfaces des deux segments ayant pour cordes les cordes de la zone ; la différence entre ces segments, ou entre le cercle entier et la somme de ces segments, sera la surface voulue.
Ex. 1. Les deux cordes parallèles d' une zone sont 12 et 20 et leur distance perpendiculaire est 13 ; quelle est la surface?
Rep. 252.87859.
2- Trouver Taire d'une zone de cercle dont les cordes parallèles mesurent 12 et 16 et la distance entre elles 2 ?
Rep. 28.376.
3. Déterminez le contenu superficiel d'une zone dont les côtés sont 96 et 60 et la largeur 26 ? Rep. 2136.82.
4 Si les deux cordes parallèles d'une zone circulaire sont 20 et 15 et leur distance perpendiculaire 17.5; quelle est la surface ?
Rep. 395.4369.
5 On demande Taire d'une zone dont chacune des cordes parallèles est 40 et la largeur 36 ?
6 L'une des cordes parallèles d'une zone de cercle est de 30 et passe par le centre du cercle, T autre est de 16 ; on demande la surface.
REM- On pourrait aussi considérer le segment donné comme composé du trapèze ABFD et des deux segments égaux AD, BF pour en déterminer de cette manière la surface.
PROBLÈME XVI
Trouver la surface d'une lunule, ou l'espace compris
entre les ares de deux cercles excentriques
qui s'interseetent.
(1459) REGtiE. Trouvez (436) par Vacant dernier problème les aires de'i deux segments qui vont à former la lunule : leur différence sera la surface requise.
Ex. 1. La corde AB d'une lunule AEBLA est 20 et les hauteurs des segments composants AEB, ALB sont 5 et 8 ; quelle est la surface de la lunule? Rep. 49.392704.
2. La corde = 20, et les hauteurs des segments 10 et 2 ; quelle est l'aire de la lunule ? Rep. 130 204.
3. Déterminer la surface d'une lunule dont la longueur de la corde est 48, et les hauteurs des segments 18 et 7 ? Rep- 408.608.
4. La base AB d'une lunule est 10 est les rayons AC, AD des deux arcs contenants AEB, ALB sont 7 et 6 ; trouvez la surface.
5. La corde d'une lunule étant 10 et les hauteurs des segments 15 et 13 ; quelle est la surface?
PROBLÈME XVII
Trouver (*) la circonférence d'une ellipse.
Cette figure que fait voir toute coupe FI, AD (997) ou FE, RN (1099) d'un cylindre, ou 6e (1055), ac(105'î')d'un cône par un plan qui étant incliné à
(*) Quoiqu'on ne puisse à l'aide des principes dont il a été question jusqu'ici, donner une démonstration de cette règle et des quatre suivantes ; on a cru cependant devoir les insérer ici pour compléter les régies nécessaires au toisé des surfaces planes, ou de celles (1140, D'ail.) qui étant à simple courbure, peuvent se développer en surfaces planes.
DES SURFACES. 62a
Taxe de ces solides eu rencontre les deux côtés, se présente fréquemînent à la considération du mesureur. On la retrouve dans le cirque, l'amphithéâtre, le parterre, etc., et sur une plus petite échelle dans l'œil-de-bouc, etc., mais c'est surtout la demi-ellipse que l'on rencontre, dans la coupe des voûtes de toutes sortes, dans la tête cintrée d'une porte ou fenêtre, ou d'une ouverture arquée entre deux appartements, etc., etc.
(1460) On serait peut-être tenté de croire, au premier abord, que la circonférence de l'ellipse dût être une moyenne arithmétique entre les circonférences de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les grand et petit d'amètres de l'ellipse, ou ce qui est la même chose, que cette circonférence dût être égale à celle d'un cercle dont le rayon serait égal à la demisomme des grand et petit rayons de l'ellipse, c'est-à-dire dont le rayon serait moyen arithmétique entre les demi-diamètres de l'ellipse ; et il en est à peu près ainsi pour les ellipses dont les diamètres ne diffèrent, l'un de l'autre que de 25 à 20 pour cent ; mais pour se persuader qu'il n'en est pas toujours ainsi, on n"a qu'à recourir à un cas extrême (comme on l'a déjà fait au par. (S2S) ). En eflet, supposons que pendant que le petit axe de l'ellipse est 1, le grand axe soit 1,000,000; il est évident que la circonférence d'une telle ellipse sera sensiblement égale au double de son grand diamètre, c-à-d. 2,000,000 pendant que la demi-somme ôOQiiOO -f .5 ou 500000 (car on peut négliger le. 5), des axes x 3. 1416 = 1.570809 ; et si le petit diamètre était infiniment petit relativement au grand supposé égal à 2, la circonférence exacte serait 4, (double du grand axe) pendant que la circonférence moyenne arithmétique ne serait que de 3.14159 etc., l'erreur étant dans ce cas de 4-3 1416 = .8584 ou de près d'un quart. Mais, si l'on ne peut correctement obtenir la circonférence d'une elhpse, de cette manière, il est démontrable qu'on y arrive exactement par la méthode suivante :
(1461) REIGLE ï. Multipliez la racine carrée de la demi-somme des carrés des deux diamètres de V ellipse par. 3.1416, et le produit sera la circonférence voulue.
Ex. 1. Le grand diamètre AB d'une ellipse est 15 et le petit diamètre 12; quelle en est la circoniérence ?
Rep. (kB +CJ)\ ^ (39)=VÎ8475 = 13.-
583 et 3.1416 x 13.583 = 42.6723528.
2. Les grand et petit axes étant respectivement 24 et 20 ; déterminer la périphérie de l'ellipse ?
3. Les den■li-diamètre.^ d'une ellipse sont 12^ et 7^ ; quel en est le périmètre ? Rep. 64.7667.
(1462) Il est clair que la deviiellipse CBD est égale en périmètre et en surlace à la demi-ellipse ACB, et que chacune d'elles a pour mesure la
demi circonférence et la demi-surface de l'ellipse entière. Cette règle et la suivante qui enseignent à trouver la circonférence et la surface de l'ellipse entière fournissent donc aussi le n)03'en d^arriver au périmètre ACB ou CBD ou à la surface de la demi-ellipse de même nom.
Il est de plus évident que tout autre diamètre EH divise l'ellipse en deux parties de même surface et de même périmètre.
(1463) E est une propriété importante de V ellipse qui nous permet de la tracer avec facilité ou de découvrir si une figure curviligne qui ressemble à une ellipse en est une ou non ; c'est que la somme FC -f F'C, FG + F'G-, des rayons menés de deux points F,F' situés sur le grand diamètre et qu'on nomme foyers ou centres de l'ellipse, à un troisième point quelconque Q ou G etc., sur sa circonférence, est constante et égale au grand diamètre AB ; or il est clair que cette propriété là même nous permet d'établir les foyers. En efit'et, les deux diamètres d'une ellipse quelconque étant donnés, du point C ou D extrémité du petit axe, comme centre et avec un rayon CF=:CF'= OA ou 0B=5 AB on intersectera AB en F et F' les foyers voulus ; puis, des points F et F' comme centres, avec des rayons FG, F'G dont la somme =AB, c'est-à-dire, avec un rayon quelconque FG moindre que FB et un autre rayon F'G égal à la différence entre le premier rayon FG et le diamètre AB, l'on tracera des arcs dont les intersections en G donneront un point, et en répétant l'opération une suite de points par lesquels on fera passer une courbe qui sera l'ellipse voulue.
(1464) Ou, l'on taxera en F et F' des aiguilles auxquelles on attachera les extrémités d'un fil d'une longueur telle que l'on ait FC + F'C ou FG + F'G =AB ; il suffira alors de tenir le fil tendu au moyen d'un crayon ou d'une pointe que l'on promènera tout autour des deux foyers pour compléter le tracé de l'ellipse.
(146-5) Pour faire la même opération sur une grande échelle ; après avoir pris FG ou F'G à volonté, moindre que AF' ou BF, mais plus grand que AF ou BF', connaissant l'autre rayon =AB — FG ou AB - F'G, suivant le cas, et FF' étant aussi connu=2 0F = 2 VcF^-CU^ = 2 VOAs - OC^ on n'aura qu'à calculer l'un FF'G ou F'FG des deux angles à la base du triancrle GFF' et mener l'un des deux rayons de la longueur voulue et sous l'angle requis pour donner un point G de la circonférence proposée; cette opération répétée donnera une série de points par lesquels on fera passer une ligne qui sera la circonférence demandée. Observons aussi que l'on s'exempterait le mesurage du rayon GF ou GF', en calculant chacun des angles en F et en F' pour opérer ensuite une intersection G des directrices FG, F'G.
(1466) Ajoutons qu'une construction géométrique ou graphique sur une petite échelle aurait l'avantage de donner d'une manière plus exjjéditive et souvent assez exacte tous les angles GFF', GF'F etc., nécessaires à la détermination des intersections ou points G du périmètre voulu.
(1467) On trace encore l'ellipse comme suit : Soit ac=AO ou BO le demi grand axe, ab = CO ou DO le demi petit axe. En faisant mouvoir la droite ac de manière à tenu- le point c sur le diam. DC et le point 6 sur le diam AK, le point a décrira l'ellipse voulue. Dans la pratique la droite ac est une tige ou tringle quelconque, avec des aiguilles ou points saillants en a, b et c, et l'on dispose à Temlroit des diamètres AB, CD des tringles, rainures ou coulisses pjur servir de guides aux points b et c.
(140.^) SifJGLE II î Quand les diamètres ne sont pas très inégaux, on obtient assez correctement la circonférence de V ellipse en J'ai sant le produit de la demi-somme de ces diamètres par. .3.1416.
Ainsi les trois derniers exemples calculés de cette manière donnent respectivement pour réponses 42.41 au lieu de 42.67, 69.11 au lieu de 69.40, et 62.83 au lieu de 64.76; c'est-à-dire que quand la ditiérence entre les diamètres n'excède pas } ou 5 ou quand les rapports entre les diamètres sont ceux de 5 : 6 ou de 4 : 5, l'erreur dans le résultat ne va pas au-delà de lis ^'^^ rèij) ^' lorsque la différence entre les diamètres est de '| ou que ces diamètres sont entre eux comme 15:25 l'erreur devient gï^ à peu près du résultat entier. Quand les diamètres sont entre eux comme 1 : 2, les circonférences obtenues par les deux règles sont entre elles comme 47.12:49.66, l'erreur étant dans ce cas j'^ près. Les diamètres étant comme 1:3, les circonférences sont à peu près ::63:70, l'erreur étant dans ce cas de y',) pré-. Quand les diamètres sont : : 1 : 5, les circonférences sont : : 94 : 113 et l'erreur de ^ près. Enfin si les diamètres étaient entre eux :: 1:10 les périmètres seraient :: 173: 223, et l'erreur de /j ou de j près. Ce qui mettra en mesure de faire choix de l'une ou l'autre règle suivant le degré d'exactitude voulue dans le résultat.
RCM. D'ailleurs il est clair qu'on pourrait aussi, après avoir trouvé la circonférence voulue, d'après cette seconde règle, la corriger par l'addition du taux d'erreur ou de défaut proportionné au rapport entre les diamètres, et tel qu'établi plus haut.
PROBLÈME XVIII
Déterminer la surface d'une ellipse.
(S469) REGLE. Multipliez le produit des deux diamètres par . 7854 ; le résultat sera la surface voulue.
Ex 1. Quelle est l'aire d'une ellipse dont les diamètres sont 24 et 18 ? Rvp. 24 X 18 = 432=AB x CD. et 432 x .7854 = 339.2928 = surf. ACBD. 2. Si les a.xes d'une ellipse sont 35 et 25, quelle en e.st l'aire ?
Rep. 687 225.
3. On demande l'aire d'un ovale dont la longueur est 70 et la largeur 50 ?
Rep. 2748.9.
4. L'axe majeur d'une ellipse mesure 840 chaînons, l'axe mineur 612 chaînons : on demande le nombre d'acres dans cette enceinte ?
Kep- 4 acres 6 perches.
(1470) REin. Puisque la règle donne pour surface de l'ellipse l'expres-
sion AB.CDx .7854 ou, ce qui est CST) la même chose ^/AB.CD x
.7854, il suit évidemment que l' ellipse est égale en surface d un cercle dont le diamètre serait moyen proportionnel entre les deux diamètres de r ellipse. Soit rf ce diam. moyen, on a AB:d.:d.CT)et puisque (104)
AB : d :. d : CD il est clair aussi que la surface de V ellipse est moyenne proportionnelle entre celles des cercles inscrit et circonscrit, c'est à dire entre celles de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les deux diamètres de l'ellipse.
(14'î'l) RE in. Aidés des deux règles qui enseignent à déterminer la circonférence et la surface d'une ellipse ; on pourra les substituer avec avantage à la luéthode moins précise et plus longue du par. ('43'î') dans l'estimation des périmètres et surfaces des bases curvilignes, c'est-à-dire (1460) elliptiques, du cylindre oblique et du tronc de cylindre (997 et B099) ainsi que celles du cône oblique et du tronc de cône (1055, 1065, lOOf, 1140 etc.)
PROBLÈME XIX
Trouver la surface d'un anneau elliptique.
(1412) REGLE I. Déterminez séparément les surfaces des deux ellipses concentriques, et prenez en la différence qui sera la surface voulue.
(RECjîIiE) II. Multipliez la demi-somme des circonférences parallèles des deux ellipses limitatives par la largeur de Vanneau.
Ex. 1. Quelle est l'aire d'un anneau elliptique dont les diamètres intérieurs sont 10 et 20 et les diamètres extérieurs 12 et 22?
Rep. 10x20 X. 7854 = 157.08, 12x22x.
7854=207.3456; la différence 50.2656 de ces deux résultats est la surface voulue de l'anneau.
2. La circonférence extérieure d'une ellipse D est 100, la circonférence intérieure 90, la largeur de l'espace intermédiaire étant de 3.5 ; on demande la surface de l'anneau ? Rep. 332.5.
3. Déterminer la superficie d'un demi-anneau elliptique, dont les périmètres parallèles mesurent 93 et 77 pouces et la largeur 10 pouces ?
Rep. 850 pouces carrés ou 5.9028 pieds c. 4 Evaluer l'aire d'une partie quelconque Aa cO d'un anneau elliptique, dont l'arc extérieur AC est 15, l'arc parallèle ac 12, et la largeur 3 ?
Rop. 40.5.
RE!fI. Il est à peine nécessaire d'observer que si la largeur de l'espace annulaire n'était pas partout égale, ou même si l'ellipse intérieure avait une position quelconque par rapport à son enveloppe e.xtérieure, ou un rapport quelconque entre ses diamètres, on n'en obtiendrait pas moins la surface voulue par la première des deux règles de ce problème.
PROBLÈME XX
Trouver la surface d'un segment d'ellipse dont la base est parallèle à l'un ou à l'autre axe de l'ellipse.
(1 IT'Î) RE'ïLiE. Divisez la hauteur du segment par celui des deux diamètres dont cette hauteur fait partie, et trouvez dans la table annexée à ce traité le segment de cercle dont le sinusverse est égal au quotient. Faites alors le produit continu du segment ainsi trouvé et des deux axes de l'ellipse ; ce produit sera la surface voulue.
Ex. 1. Evaluez l'aire du segment ellip- p ^-4>v
tique AGH dont la hauteur AK=10, et les ^ — Sï^'^ (y p Xj
deux axe? AB, CD, 35 et 25 ? ^f \ f \ \ \
Rep. 162.02. -A- 0 B C 0 J>
3. Quelle est la surface d'un segment d'ellipse, dont la base GH est à 36 du centre 0, les axes étant 120 et 40. Rep. 586.75.
3. Déterminez la surface d'un segment d'ellipse, dont la hauteur CL est 8 pouces; les deux axes étant 4 et 3 pieds. Rep.
(14"Ï4; REITI Si les segments d'ellipses ACD, acd, ace, de la fig. du par. (1140) répondent à la définition de l'énoncé de ce prob. on pourra au besoin faire l'application de la règle ici donnée pour en exprimer les surfaces. On estimerait de même au besoin la superficie du segment d'ellipse qui forme la surface supérieure de l'onglet fig. 2 du par. (1143.) Et si le segment à esti. mer était la partie AEFB, CGHD, on aurait la surface voulue égale à la différence entre les demi-ellipses ACB, CAD et leurs segments respectifs ECF, G.AH.
PROBLÈME XXI
Trouver la surface d'une parabole.
(1475) Cette figure est celle que présente la coupe d'un cône dmit par un plan parallèle à son côté incliné. (ADC, fig. du par. (1140) en donne une idée). Elle a ceci de particulier que tout point E, H, etc., de la courbe est également éloigné d'un point F qu'on appelle foyer et d'une droite M N perpendiculaire à Taxe CD) qu'on appelle directrice et dont la distance SC du sommet C de la parabole est égale à la dislance FC du l'uyer au sommet ; c'est à dire que l'on a toujours EF=EM, HF=HN, ttc ; or on démontre que l'endroit F du foyer se trouve en bissectant BD en T. joignant CT, et menant TR perpendiculaire à CT pour avoir DR=CF = CS. Le foyer F trouvé et la position de la directrice MN déterminée, on trace la courbe en menant une série de droites indéfinies GH (appelées ordonnées) parallèles à AB ou perpendiculaires à l'axe CD ; puis, du foyer F comme centre et avec un rayon US égal à la distance entre les parallèles GH, MN on intersecte GH en G et H, ce qui détermine deux points dans le périmètre de la parabole. Cette opération suffisamment répétée donnera une série de points, par lesquels on fera passer une courbe qui sera la figure voulue.
(1476) On trace encore la parabole à l'aide d'une équerre abc, dont la branche bc est égale à la distance de la directrice MN à la base KL de la parabole proposée. A l'extrémité c de l'équerre et au foyer F, l'on attache un fil cGF égal en longueur à cb. On glisse alors la branche ab de de l'équerre le long de la directrice MN en tenant en même temps le fil tendu le long de la branche bc, au moyen d'une pointe ou crayon dont le mouvement décrit la parabole voulue.
(1477) REGLiE. Multipliez la base par la hauteur et prenez les deux tiers du produit pour la surface voulue.
Ex 1. Trouver la surface de la parabole ACB dont la base AB est 20 et la hauteur CD 18 ?
Bep. 240.
2. La base d'une parabole est 13.5, et la hauteur 11 .25 ; quelle en est l'aire ?
Kep. 101.25.
