CD=:10, AD = 8 ; quelle est la surface

Rep 106'|. K*'" I

(1478) REM. Il suit de la définition de la parabole que toute 2jartie GCH, ECV de la parabole ACB terminée par une base GH, EV, parallèle à AB, est encore une parabole, et non un simple segment, comme .dans le cas de l'ellipse ; car le cône peut-être sensé coupé par un plan parallèle à sa

base et cela tant en deçà qu'au delà de cette base en KL sans cesser d'être un cône et par conséquent, sans que la définition de la section KCL ou ECV, etc, en soir aucunement altérée.

D'où, il ré.-iulte que pour arriver à la surface d'un segment AEVlî de parabole par une ligne quelconque EV parallèle à sa base, on n'aura qu'à prendre la diiférence des parabole.-^ entière et partielle AGI?, ECV.

(14"Sî>) Il y a encore, l'îiyperboîe. (section d'un cône par un plan qui en rt.'ucontre la ba^e soU8 un angle plus grand que celui que t'ait le cô.é du cône avec cette ba-e) lar.v« loicî (que faitdécnre à un point situé sur la cire .>nlérence d'un cercle nuiintenu dans un n.ênie pitin, une révolution entière du dit cercle le loiigd'une droite qu'on appelle basede lacourbe)ef plu^ieursaulres ligure* curvillgues, dont on peut avoir à évaluer les surfaces et périmètres, et pour lesquelles il existe des règles spéciales qui permettent d'en établir avec toute la précision voulue les aires et circonférences relatives ou absolues; mais on remarquera ici, comme on l'a tléjà fait (113C) qu'il y aura généralement à s'enquérir tout d'abord de l'espèce même de la figure propo.-ée ; et le travail seul qu'exigerait cette opération préliminaire serait souvent sufl[îsant p.»ur déci.ler de recourir de suite à la méthode du prubléme suivant.

(i4SO) Un œil même exercé aura souvent peine à se remire compte de la nature de la figure à estim-^r, et l'on commettra parf lis d'assez graves erreurs en s'y méprenant. Il y a par exemple C la courbe AECFB, dite ansed -panitr et W^^^s"''^ ! "'*°'=:^^I' d'autres de relie sorte qu'on letruiive stu /^ i " \ vent dan- la coupe d'une voûte et dans la A^ ' — jnj 'B

tête cintrée d'une ouverture, et qu'on serait peut être quelquefois tenté de preiidre pour une ellipse, afin d'eu évaluer le contenu superficiel d'après la régie applicable à celte figure; or, l'on voit que dans le cas actuel la dillérence AECe -r BFCy fou 2 AECe) entre les deux figures peut être trop considérable pour permettre de la négliger.

PROBLÈME XXII

Déterminer la surface d'une figure curviligne quelconque.

(14Si) KEfil.E. Divisez lafigwe entière si elle est irrégulière, {c est à dire sites partifs correspondantes ne sont pas symétriques) la moitié ou le quart, si elle est régulière, e:i trapèzes de même largeur ou hauteur, et procédez ensuite à la manière du problème VI., doublant ou quadruplant au besoiii la surface ainsi trouvée pour avoir l'aire entière du laji£ure.

(14S2) La méthode d'évaluation par trapèzes, sera d'autant plu? exacte qu'il y aura dans la figure à estimer des concavités et convexités adb, bec, compensatoires l'une de l'autre, comme l'on en remarque dans les fissures g, h, m, k, puisque alors le segment bec qu'on néglige en considérant comme traj^èze la partie A, 3 G BCceô de l'aire à évaluer, sera compensée ou remplacée par le segment adb qui est de trop dans le trapèze ABba.

('14S3) Mais quand la figure sera toute convexe on ajoutera à la précision en faisant entrer en compte la somme des segments abd, bce, etc. dont on fixera à l'œil ou autrement la largeur moyenne que l'on multipliera par le périmètre correspondant adbec pour en avoir la surface.

(14§4) Observons aussi que au lien de regarder conmie nulle la hauteur

(*) Parmi ces figures, a est l'ove ou ovale; (telle est la coupe verticale de l'œuf, etc.,) b est l'ellipse, (telle est la coupe du melon, etc.,) ou toute autre figure analogue, l'œil-de-bouc, la coupe du sphértïJe, l'amphithéâtre, etc. ; c est lademi-ellip^e. anse-de-panier, cycLïrle, tête cintrée surbais>ée d'une ouverture, coupe d'une vcûte, etc.; d, une figure curviligne in égulière quelconque ; e, une parabole ou autre figure analogue, hyperbole, tête cintrée surhaussée d'une ouverture, coupe d'une voûte, coupe verticale d'un concïJe, d'un dôme, etc. ; y est l'arche rampante ou la coupe d'une voûte inclinée : g" est la surface latérale ou convexe développée d'un onglet de cylindre droit; h, ]& surface latérale déveh ppée d'un unglet de cône droit ; m le développement de la surface d'un onglet de cylindre pu de cône oblique. Les lunettes ou intersections de vi ûtes, dont on a tait déjà mention à l'article (1143) présentent aussi des surfaces dont le développfnient oft're à la considération du mesureur les trois dernières figures que l'on vient de définir. La surface latérale développée d'un tronc de cylindre droit présente la forme k, et il suit du par. (9yî) et de la déni, du par. (1099) qu'il sutiit de multiplier la detm-aomiue de aa moindre et de sa phia grande iaauteur tr, ra, par la

initiale de" la figure, à l'endroit A de la naissance de la courbe, ce qui don nerait pour aire de la partie AE6daA de la fig. le triangle AB6, on obtiendra plus d'exatitude en regardant comme ligne droite la partie presque verticale Aa de la courbe, ce qui donnera alors pour surface plus approximative de cette partie composante de la fig. le trapèze AaôB au lieu du triangle A6B.

Il est clair aussi qu'une subdivision continue Bd, Ee, et suffisante pour permettre de considérer comme étant sensiblement des lignes droites les parties ad, db, be, etc., de la circonférence convexe ou concave de la fig. aura aussi Tetiet d'ajouter singulièrement à l'exactitude du résultat.

(l-i§5) Il est encore un moyen assez correct et expéditif d'arriver à la surface d'une figure jrrégulière ABCD, celui de la réduire en une figure régulière ou rectiligne é(]uivalaiite quelconque par des lignes compensatoires a6, bc, c'est à dire telles que la somme des parties exclues par ces droites soit égale en surface à la somme des parties comprises dans leur enceinte, opération graphique ou mécanique pour l'exactitude de laquelle on s'en rapportera souvent à une appréciation oculaire.

(14S6) Enfin, pour ce qui est de l'évaluation des longueurs développées des périmètres des figures dont il s'agit ici, remarquons encore comme on l'a fait, page 596, que la manière souvent la plus expéditive et non la moins exacte d'j' arriver, consistera dans l'emploi d'un fil ou galon ou de tiges ou tringles en bois ou en métal assez minces pour permettre de les ajuster aux périmètres à estimer, afin d'en déduire de suite les dimensions voulues.

Passons maintenant au

Toisé des corps ou solides.

(14§'î') Le toisé des solides, comprend celui de leurs surfaces et celui de leurs volumes ou solidités.

On a déjà vu que l'unité de mesure pour les surfaces planes est un carré dont le côté est l' unité de longueur.

longueur op perpendiculaire à rs ou vt, cette largeur étant évidemment égale à la circonférence développée d'une section du cylindre par un plan perpendiculaire à sol axe ou côté. Le développement de la surface latérale d'un cylindre oblique (99'î) présente la figure n, dont la hauteur rs qui est celle du côté incliné du cylindre, est partout uniforme, l'aire de l'enveloppe étant par conséquent égale au produit de rs par la largeur op, périmètre d'une section perpendiculaire à l'axe ou au cô:é du solide.

Il est utile de dire aussi que si l'onglet de cylindre droit dont la fig. g est l'enveloppe, au lieu d'être partiel comme KLNE ou KLRF page 409, est entier ou complet comme AÎld, page 388, on aura la superficie de g en faisant le produit de op par la moitié de rs, car dans ce cas g ne sera antre qu'une enveloppe k de troue de cylindre dont la moindre hauteur vt serait égale à zéro.

L'on réfère ans'^i à une unité de longueur une ligne courbe expriTiiée en notiilirep, e( f-a valeur numérique est le nombre de fuis que la ligne contient 8(.n unité. Il y a aussi lieu d'observer ici que la règle déjà donnée (page 1 77, 2") pour trouver le rapport numérique entre deux lignes droites ou pour en déterminer la commune mesure ou le plus grand commun diviseur, s'applique également à deux lignes courbes quelconques de même rayon pui«que cette égalité de courbe permettra la superposition et la C' 'incidence entière et parfaite de ces lignes tout de n.êmeque si elles étaient droites. Maintenant si l'on suppose que l'unité linéaire soit réduite aune ligne droite et que sur cette ligne l'on construise un carré, ce carré sera l'unité de mesure pour les surfaces courbes.

(B4*S) L'unité de volume est (Î014) un cube dont la face composante est égale à l'unité superficielle qui sert à estimer la surface du solide, et le cô.é égal à l'unilé linéaire dont on a fait usage pour en exprimer les dimensions linéaires.

PROBLÈME I

Trouver la surface d'un prisme (*) droit.

(14!^9j IlECiLE Multipliez 992) /e périmètre de la base parla hauteur et le produit sera la, surface latérale. A cette surface ajoutez celles des deux bases, quand la surface entière est requise.

Ex. 1. Quelle est la surface d'un cube dont le côié est 20 ?

Ri' p. 2400.

(*) Le prisme, qui comprend aussi le cube et le parallépipèJe, se présente tous les juurs au calcul de mesureur. Un le voit dans le curps principal et les ailes d'édifices de toutes sortes, ainsi que dans la figure des divers appartements qui en font partie. On le retrouve encore dans les murs, piliers et trumeaux de constructions de toute espèce et sur une plus petite échelle dans chacune des pierres ou briques composantes de ces corps. Les toits à pignon présentent le plus souvent la figure du prisme triangulaire droit et les pignons mêmes des murs qui en forment les bases parallèles sont aussi des prismes de n.ênif^ nom. Le corps ou carré d'une lucarne de mansarde n'est autre chv se d'ordinaire qu'une prisme triangulaire ou demi-parallépipède druit et le ti)it d'une lucarne, s'il est en cruupe, est un prisme triangulaire oblique pnurvu que l'inclinaison de la croupe soit égale à celle du toi't et si le plan de la croupe n'est pas parallèle à celui du toit, c'est alurs un tronc de pn-me d( nt en a à évaluer le contenu solide et superficiel. Il y a encore dans les arts et métiers mille et un oljets qui affectent la forme du cube, du parai. èp.jjé.ie ur^it, oblique ou tronqi.é, du prisme polygone droit, oblique ou tronqué ou qui peuvent se décompuser en solides de cette espèce. Les déblais et reinblaw pair v^ies terrées et autres présentent encire assez Souvent à la considération du mesureur de.s prismes quadrangulaires ayant pour bases parallèles des trapèzes.

2. Déterminer la surface entière d'un prisme triangulaire, dont la base est un triangle équilatéral ayant 18 pouces de côté, et la hauteur 20 pieds?

Rc|». 91.949 pds. carrés.

3. On demande le poids du cuivre nécessaire pour couvrir l'intérieur d'une citerne dont la longueur mesure 10 pieds, la largeur 5 pieds et la hauteur ou profondeur 4 pieds, le cuivre à employer étant de 5 livres au pied carré ? Rep. 850 livres.

4. Combien y-a-t-il de mètres carrés dans la surface latérale d'un corps de bâtisse dont la longueur est de 100 mètres, la largeur 23.3 mètres et la hauteur 17 mètres ? Rep. 4192.2.

5 Un appartement mesure 40 pieds sur 25, et sa hauteur est de 15 pieds ; combien faudra-t-il de verges carrées d'enduits pour en recouvrir les quatre pans et le plafond ? Rep. 327|.

«> Quel serait le coût de garnir en plomb de 7 livres au pied et à 8 sous la livre, l'intérieur d'un vaisseau rectangulaire dont la longueur est de 3 pieds 2 pouces, la largeur 2 pieds 8 pouces, et la hauteur 2^ pieds?

Rep. Surface à couvrir — 37. ■ " ' '■ pieds carrés, = 263 -^, livres, =

£4. 7. 9Jd. =$17. 55. 185.

•y. Quelle est la surface latérale d'un madrier de 10 pieds, sur 12 pouces, sur 3 pouces. Rep. 25 pd. car.

S. Combien de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface latérale d'un pilier octogone dont le côté est 15 pouces et la hauteur 10 pieds ?

Rep. 100.

9. Combien faudra-t-il de carrés de lambris pour couvrir la surface latérale d'un édifice hexagone dont le rayon oblique est de 20 pieds et la hauteur 33 pieds.? Rep. 39.60,

10. Quelle est la surface latérale d'un poteau polygone de 3 pieds de périmètre et 10 pieds de hauteur. Rep. 30 pieds carrés.

11. Le périmètre d'une barre de fer est 3| pouces, sa longueur 7 pieds • quelle en est la superficie latérale ?

Rep. 3.75 X 84=315 pouces carrés.

PROBLÈME II

Trouver le volume d'un prisme droit.

(!490) REGLE. Déterminez d'abord la surface de la base; multipliez ensuite cette surface par la hauteur ; le produit sera (1020) le volume du prisme.

Ex. 1. Quel est le contenu solide d'un cube dont le côté est 24 pouces ?

Rep. 13,824.

2. Combien y a-t-il de pieds cubes dans un bloc de marbre dont la longueur est 3 pieds 2 pouces, la largeur 2 pieds 8 pouces et la hauteur ou épaisseur 2^ pieds? Rep. 21^-.

3. Combien de gallons d'eau pourra contenir une citerne des dimensions de l'exemple précédent, le gallon étant de 282 pouces cubes ?

Rep. 129if.

4. Quel est le volume d'un prisme triangulaire dont la hauteur est 1 0 pieds, et les trois côtés de sa base triangulaire 3, 4 et 5 pieds ?

Rep. 60.

5. On demande le nombre de pieds cubes de pierre dans un pilier de 15 pieds de hauteur et dont la base est un hexagone régulier ayant 1 pied 4 pouces de côté ? Rep. 69.282.

6. Déterminer le nombre de toises de maçonnerie, (la toise étant de 6 x 6 X 2 = 72 pieds cubes) dans un prisme octogone de 12 pieds de hauteur et 3 pieds de côté ? Rep. 7 toises 17.47 pieds cubes.

'y. Le pilier ou trumeau qui sépare deux fenêtres ébrasées, et dont la base est en conséquence un trapèze, mesure 13 pieds de hauteur, 2 pieds d'épaisseur, 9 pieds de largeur en dehors et 7 pieds de largeur en dedans ; on demande le nombre de briques qu'il a fallu pour le construire, à raison de 20 briques au pied cube ? Rep. 4,160.

S. Un pignon en pierre de l'épaisseur de 3 pieds, mesure 40 pieds de base et 20 pieds de hauteur; combien contient-il de verges cubes de maçonnerie?

Rep. 44^-f.

9. La façade d'un édifice est de 33 mètres, sa hauteur de 17 mètres et l'épaisseur du mur 73 centrimétres ; quel en est le volume en mètres cubiques ?

Rep. 33 X 17 X .73 = 409.53.

ÏO. On demande le nombre de mètres cubes dans un remblais dout la longueur est de 100 mètres, et dont chacun des plans parallèles qui en constituent les extrémités est un trapèze ayant pour bases parallèles 3 mètres et 13 mètres et pour hauteur 3.3 mètres ? Rep. 2640.

H. Un puits doit avoir 27 pieds de profondeur, et le plan doit en être un hexagone régulier dont le rayon du cercle circonscrit soit de 5 pieds ; combien y aura-t-il de verges cubes de roc à miner pour donner les dimensions

voulues ? Rep. Le côté de l'exagone est (645) 5 pieds ; 5 =5 x 5=r 25, et 25 X 2.5980762 (surface (1441) de l'exagone dont le côté est 1) = 64.

9519 pieds carrés ^éurface de l'exagone donné, et — : — — — ^=64.9519

verges cubes.

Ex. 12. Quelle est la solidité d'une barre de fer rectangulaire de 4^x 1 pouces et de 14 pieds de longueur ?

Rep. 756 pouces cubes.

13. On demande le volu'ue d'un poteau à huit faces dont la hauteur est de 10 pieds et la largeur de chaque face 7 pouces ?

Rei». TITTx 4.8284271 =(1441) surf, de la base=236.5929279, et x 120 = 28391.15 pouces cubes, et-^1728 (ou 12 x 12 x 12) = 16.43 pieds cubes.

PROBLÈME III

Trouver la surface d'un prisme oblique.

(1491) REGIME. Multipliez (99G) la longueur du côté par le périmètre d'une section perpendiculaire au côté.

Ex. 1. Quelle est la surface du dessous et des deux côtés d'une poutre in clinée à bases parallèles, dont la longueur est de 1 2 pieds, la largeur du dessous 9 pouces, et celle des côtés 13^ pouces ? Kcp. 36 pieds carrés.

2. La longueur d'une corniche sous une rampe d'escalier entre murs parallèles est de 20 pieds et le pourtour ou périmètre d'une section de la corniche perpendiculaire à sa direction est de 27 pouces ; quelle en est la surface développée ? Rep. 45 pieds carrés.

PROBLÈME IV

Trouver le volume d'un prisme oblique.

(149'i) REGLiE I. Multipliez (1020) la surface de la base par la hauteur ; le produit sera le volume requis.

REOLE II. Multipliez (XQ^^) le côté par la surface d'une section perpendiculaire à ce côté.

Ex. 1. Combien faudra-t-il de pieds cubes de chêne pour une rampe d'escalier de 17 pieds de longueur et de 15 x 4 pouces d'équarrissage ?

Rep. 64.

2. La base horizontale d'une saillie de cheminée dévoyée, c'eat-à-dire inclinée, mesure 7 pieds sur 18 pouces, la hauteur perpendiculaire étant de 7 pieds 3 pouces; combien de briques contient le parallépipède, à 18 briques au pied cube ? Rep. T6i pieds cubes x 18 = 1370^ briques.

3. Le côté triangulaire d'une lucarne a pour longueur horizontale 7 pieds, pour hauteur verticale 5 pieds, la largeur de la lucarne étant de 4 pieds ; le toit de la lucarne est en croupe parallèle au toit de l'édifice; la hauteur du triangle qui en constitue la coupe verticale est de 2 pieds ; quel est le volume total. Rep. le corps ou carré de la lucarne (prisme trian-

gulaire droit) (*) = ^(7 x 5 x 4)= 70 pieds cubes, le toit (prisme triangulaire oblique) = ^(T x 4 x 2) = 23 pieds cubes ; le volume demandé est par conséquent de U8 pieds cubes.

PROBLÈME V

Déterminer la surface d'un tronc de prisme.

(1493) REOLE. Trouvez séparément (1059) Vaire de chacune de ses faces composantes ; leur somme sera la surface voulue.

Ex. Quel est le nombre de pieds superficiels de pierre taillée dans le pourtour d'une tête de cheminée située obliquement sur un toit incliné, c'est-à-dire dont les faces composantes ne sont pas parallèles à celles de l'édifice ; le plan de la cheminée étant un rectangle de 3 pieds sur 4 pieds et les hauteurs respectives de ses quatre côtés ou arêtes, 7, 8, 9^ et 8^ pieds?

Rep. ^(7 + 8) X 3( = 22^) + ^(8 + 9^) v 4(=35) + ^(9^ + 8^ x 3( = 27) + ^ (8^-f 7;x4(=31)=115i

PROBLÈME VI

Trouver le volume d'un tronc de prisme triangulaire.

(1494) REOEE I. Multipliez (1093) la base du tronc par le tiers de la somme des hauteurs de ses trois côtés ou arêtes parallèles.

RECiEE II. Multipliez le tiers de la somme de ses trois côtés parallèles par la surface d'une section perpendiculaire à ces cotés.

REM. Cette seconde règle a-t-on dit (1095) dérive évidemment de celle du paragraphe (1025); mais dût-on ne pas trouver assez rigoureuse et satisfaisante, cette conclusion, peut être trop immédiate pour que l'élève puisse de suite en saisir la vérité, il est néan- a

moins facile d'en faire voir l'exactitude, de diffé- r /"^^ 7\

rentes manières, dont la suivante pour être la plus /\''-. ''/. \

expéditive n'est pas la moins concluante. Soit / \ '•■/ "'■••\y

donc ABC-DEF un tronc de prisme triangulaire / 'm/ ^--^^^VK'

oblique, divisé en deux troncs de prismes droits ^^*'^— ~/-^— --;;:^ GHK-ABC, GHK-DEP par un plan GHK per- XZ^'^^^^

pendiculaire aux côtés parallèles AD, BE, CF du J

solide. Le volume de chaque tronc composant est égal (1093) au produit

(*) Ici le prisme dont il s'agit ne repose pas sur une de ses bases parallèles; mais cette circonstance ne doit empêcher de décider de suite de la nature du solide à évaluer; car, il est évidemment indifiérent, eu égard au volume requis, que la position du polyèdre soit verticale, horizontale ou inclinée.

de la base commune GHK par le tiers de la somme des perpendiculaires GD,

HE, KF G A, HB, KC ; mais GHK x U<^1^ + HE + KF) + GHK x ^

(GA + HB + KC) = GHK x ^(GD + GA + HE + HB +XF + KC) = GHK x \ (AD + BE + CF) ; donc, etc.

Ex. 1. La base d'un tronc de prisme droit triangulaire est de 10 pieds carrés, ses côtés sont de 7, 8. et 9 pieds ; quel en est le volume ?

Rep. 80 pieds cubes.

2. Les trois côtés d'un tronc de prisme oblique sont 7^ 8| et 9| pieds ; les base et hauteur d'une coupe perpendiculaire au côté sont respectivement de 5 et 3 pieds ; quel est le volume du solide ?

Rep. 8^ X 7^ = 6:5| pieds cubes.

3. Les trois côtés de la base d'un prisme incliné mesurent respectivement .S, 4 et 5 mètres et les hauteurs de ses trois sommets sont 6, 7 et 8 mètres ; quel en est le contenu solide ? Rep. 42 mètres cubes.

PROBLÈME VII

Trouver le volume d'un tronc de prisme dont la base

ou coupe perpendiculaire au côté est un polygone

régulier ou à moitiés symétriques (1097)

(1495) REGliE f. Multipliez (109TI) la base par la demi-somme des hauteurs de deux côtés opposés ; le produit sera le volume requis.

REGLiE II. Multipliez la demi-somme de deux des côtés ou arêtes opposés du tronc par la surface d'une coupe perpendiculaire à ces côtés parallèles.

RE^n. Cette seconde règle dérive encore du par. (1093) puisqu'on peut supposer le tronc de prisme polygone divisé en troncs de prismes triangulaires, et faire pour chacun de ces troncs composants la même preuve que pour le tronc de prisme triangulaire du dernier problème.

Ex. 1. Combien y a-t-il de pieds cubes de pierre dans une tête de chemi. née ayant pour coupe horizontale un hexagone régulier dont le côté est de 2 pieds, les hauteurs ou longueurs de deux arêtes opposées du tronc étant de

13 et 17 pieds? Rep. 2.5980762 x 2% /^1L^^ = 155.884572.

2. Trouver le nombre de pouces cubes de merisier dans un balustre d'escalier ayant pour coupe horizontale un octogone régulier de 3 pouces de diamètre et dont la moindre et la plus grande longueurs ou hauteurs mesurent respectivemect 27 et 29 pouces.

Rep- On obtient assez correctement dans le cas actuel, le côté voulu de

l'octogone, en décrivant un cercle de 3 pouces de diamètre pour trouver ensuite (651), la corde d'un huitième de sa circonférence. Cette opération donne pour largeur d'un des pans du balustre Iç'^j pouces près, soit 1.15 ; or

(1.15)^=.1.3225, et 1.3225 x (1441) 4.8284271, ou pour abréger 4.83 x 1. 32 = 6.375 pouces carrés = surface de la coupe du balustre ; enfin, 6.375 x ^ (27 + 29) = 6.375 x 28 = 178^ pouces cubes.

PROBLÈME. VIII

Déterminer le volume d'un trône de prisme quelconque.

(1496) REGLE. Faites d'' abord séparément (109S) le volume de chacun des troncs de prismes triangulaires composants, pour en prendre ensuite la somme.

Ex. Un déblais de terre présente la forme d'un tronc de prisme droit ayant pour base le polygone ABCDEA ; la surface de la base composante ABC est de 50 verges carrées, celle de la base ADC = 73 verges et celle de la base ADB = 65 verges ; les hauteurs ou longueurs des côtés parallèles A, B, C, etc., sont respectivement de 7, 8, 9, 13 et 11 pieds ; quel est le nombre de verges cubes dans le solide proposé ?

Kep- (BIOS. 20°) 450x1(7 + 8 + 9) + 657 x |(7 + 9 + 13) + 585 x | (7 + 13 + 11)^3600 + 6351 + 6045 = 15,996 pieds cubes; divisant par 27, on a 592|f verges cubes.

REM. Ici on a réduit en pieds carrés les surfaces des bases données en verbes carrées, et l'on a divisé par 27, mais il est clair que puisque 3 fois 9 = 27, ce serait la même chose de multiplier de suite par les verges pour diviser ensuite par 3.

PROBLÈME IX

Trouver le volume d'un coin,

(1497) REGEE. A deux fois la. longueur de la base, ajoutez la longueur de l'arête. Multipliez cette somme par la largeur de la base, puis par la hauteur du coin ; divisez le résultat par 6 et le quotient sera le volume requis.

REM. l^e coin, coinme on l'a déjà fait remarquer (llOO) n'est autre chose qu'un prisme triangulaire ovi un tronc de prisme, suivant que l'arête est égale ou inégale aux deux autres côtés ; aussi la règle ici donnée pour en déterminer le volume est elle analogue à celle du prob. VI, quoique l'énoncé en soit un peu ditîérent.

Ex. La base rectangulaire d'un coin est Je 20 x 40 pieds, l'arête 35 pieds et la hauteur 10 pieds ; quel en est le volume ?

Rep. (40-f 40 + 35) X 20x10) ou (lOO-t ReinOàC-lO + -10 + <Î5) x |20) (i X 10)=3833.33.

2. Quel est le contenu solide d'un coin dont la base mesure 5 pieds 4 pouces sur 9 pouces, la longueur de l'arête 3^ pieds, et la hauteur perpendiculaire 2| pieds ? Kep. 4.1319 pieds cubes.

3. Un plan incliné rencontre un plan horizontal et forme avec ce dernier un coin dont l'arête mesure 100 pieds; la base rectangulaire 80 pieds sur 20 pieds et la distance perpendiculaire entre l'arête et la base 300 pieds; quel est le volume du solide ? Rep. 260,000 pieds cubes.

PROBLÈME X

Trouver le volume d'un prismoïde (*)

(149S) REGLiE. A la somme des surfaces des deux bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface d'une section ou coupe parallèle d distances égales de ces bases : multipliez alors la somme ainsi obtenue par un sixième de la hauteur ou distance perpendiculaire entre les plans parallèles (llOlj et le résultat sera le volume demandé.

Ex. L'une des bases d'un prismoïde rectangulaire est de 20 x 25 pieds, l'autre est de 10x15 pieds, la hauteur est de 12 pieds ; quel en est la solidité?

Rep. (25 X 2U) + (15 x iO> + 4(20 x 15) x -^ =^ 1850 x 2 = 3700.

2. Un quai ou pilier a pour bases parallèles des rectangles qui mesurent respectivement 100x50 pieds et 80x40 pieds, la hauteur est de 30 pieds; quel en est le contenu en verges cubes. Rej). 4518^^.

3. Une pile de pierre cassée mesure 100 x 20 pieds au bas, 96 x 16 pieds

(*) Ce solide, conime le prisme, se présente fort souvent à l'évaluation du mesureur. Les cuves rectangulaires à côtés inclinés sont de cette forme ; un toit à croupes avec plate-furme, présente la même tigure ; les grands réservoirs ne sont autre chose que des primoïdes renversées ; on le retrouve, dans les bassins, quais, piliers, culées et constructions de cette sorte ; les déblais et terrassements, fouilles et chaussées etc. prennent d'ordinaire cette forme; le remblais continu d'une voie ferrée se subdivise par des coupes ou sections verticales en prismoïdes qui reposent chacun sur une de leurs faces latérales et dont les bases parallèles sont par conséquent perpendiculaires à l'horizon; on retrouve le prismoïde dans chaque pièce de bois écarri dont les extrémités sont des rectangles inégaux, on le voit encore dans Tempileinent'des boulets et bombes, et il se répète encore souvent sur diverses échelles dans les arts et métiers, etc. On a déjà remarqué (note page 412) qu'il faut se garder de confondre le prismoïde avec le tronc de pyramide, ou plutôt, aurait-on dû dire, le tronc de pyramide avec le prismoïde, car il suit évidemment de la définition du prismoïde que tout tronc de pyramide à bases

sur le dessus et a 3 pieds de liauteur ou épaisseur; quel en est le contenu en toises cubes ?

Rep. (100 X 20) + (96 X 16) + ^(98 x 18) x 3 (ou par ^)-f-216 = 24^j| toises cubes.

4- Un déblais, fouille ou excavation présente la forme d'un prismoïde renversé ; la surface inférieure de la fouille est de 10,000 mètres, la surface supérieure 14,400 mètres, la surface à demi-distance entre les bases parallèles est de 12,100 mètres et la hauteur ou profondeur de l'excavation est de 9 mètres; combien en a-t-on enlevé de mètres cubes? Kep. 109,200.

5. Combien de pieds cubes d"eau pourra contenir un réservoir dont la base inférieure est un rectangle de 100 x 50 pieds, la base supérieure un rectangle de 180 X 130 pieds et la profondeur 20 pieds. Rep. 262,666'|.

6. Quel est l'espace cubique que remplit un toit dont la base est un rectangle de 40 x £0 pieds, le dessus une plate-forme rectangulaire de 20 x 40 pieds et la hauteur 12 pieds. Rep. 18,400 pieds cubes.

■y. Quelle est la solidité d'une pièce de bois écarri dont la longueur est de 24 pieds et dont les extrémités sont des plans parallèles et rectangulaires de 30 x 27 pouces et de 24 x 18 ijouces. Rep. 102 pieds cubes.

è». Une auge dont la profondeur est de 20 pouces, à pour bases parallèles des rectangles de 36 x 30 pouces et de 30 x 24 pouces.

Rep. 10.3472 pieds cubes.

9. Un remblais pour voie ferrée mesure 300 verges en longueur, les extrémités en sont des trapèzes dont les côtés parallèles de l'un sont de 4 et 34 verges et la hauteur 10 verges, les côtés de l'autre 4 et 19 verges et sa hauteur 5 verges ; combien contient-il de verges cubes ?

Rep. Surf, d'une extrémité = ^ ("4 4- 34) x 10 = 190 verges, surface de l'autre extrémité = 2{'4 + 19) x 5 = 575 verges, surface intermédiaire= ^(4 + 4 ) + ^(34 + 1 9 ) x ^( 10 + 5) ^ 15.25 x 7.5 = 114.375 verges carrées, 114.

375X4=457.500, 190 + 57.5 + 457.5 = 705, et 705 x |(300) = 705 x 50 = 35,250 verges cubes.

parallèles est en même temps un prismoïde et peut s'évaluer d'après la règle applicable à ce dernier; mais le prismoïde proprement-dit n'est pas un tronc de pyramide et ou ne saurait en conséquence en déterminer le volume par la règle applicable au tronc de pyramide, quoique cependant dans certains cas cette dernière règle puisse donner une approximation très voisine de la vérité. Ajoutons aussi que, puisque quand il y a à déterminer tout d'abord la nature du solide à estimer, il faut clans le cas du tronc de pyramide s'assurer de la proportionnalité des côtés aussi bien que de leur parallélisme, et qu'il suffit de leur parallélisme seul pour constituer le prismoïde; on se sauvera souvent un travail inutile en regardant comme prisiiKiïde tout solide dont les faces latérales seraient inclinées l'une à l'autreet les côtés des bases opposées parallèles entre eux.

10. Une chaussée sur un terrain en pente ou incliné mesure 100 mètres en longueur ; les surfaces des quadrilatères à côtés parallèles qui forment les extrémités verticales ou bases du prismoïde perpendiculaires à sa longueur, sont de 120 et 80 mètres carrés, et la surface d'une coupe à mi-distance entre ces dernières est de 100 mètres ; combien a-t-il fallu de mètres cubes pour le former ? Rep. 10,000.

11. Quel est l'espace cubique occupé par une pile de boulets dont la base rectangulaire est de 30 pieds sur 10, le plan supérieur 25 pieds sur 5 et la hauteur 4 pieds ? Rep. 833 1 près.

12. Le piédestal d'une statue équestre dont la hauteur est de 10 pieds, a pour bases parallèles des rectangles de 15 x 7 pieds et de 12=4 pieds; quelle est la solidité de la masse de pierre dont il est formé ?

Rep. 750 pieds cubes.

PROBLÈME XI

Trouver la surface d'une pyramide régulière.

(1499) REGL.E. Multipliez (1039) le périmètre de la base par la demi-hauteur inclinée ; le produit sera la surface latérale ou convexe. A la surface latérale ajoutez celle de la base, quand la surface entière est requise.

Ex. 1. Quelle est la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière, dont la hauteur inclinée est 20 et chaque côté de la base 3.

Rep. 90.

2. On demande la surface entière d'une pyramide régulière dont la hauteur inclinée est de 15 mètres et la base un pentagone dont le côté est de 25 mètres? Rep. 2012.778 mètres carrés.

3. Combien faudra-t-il de carrés de bardeau, zinc ou autre métal, etc., pour recouvrir un toit en forme d'une pyramide régulière dont la base a 200 pieds de périmètre et la hauteur inclinée 33 pieds ? Rep. 33.

PROBLÈME. XIL

Trouver la surface latérale d'un tronc de pyramide régulière à bases parallèles.

(1500) REGL.E. Faites (1040) le produit de la demi-somme des périmètres des deux bases par la hautear inclinée du tronc ; vous aurez la surface voxdue.

Ex. 1. Quelle est la surface latérale d'un tronc de pyramide heptagone,

dont ]a hauteur inclinée est 55, chaque côté de la base inférieure 8, et chaque côté de la base supérieure 4. . Rcp. 2,310.

2. Un toit à huit pans, terminé par une plateforme, a pour mesure de sa hauteur inclinée 17 pieds ; la longueur du côté de l'octogone régulier qui en constitue la base est de 20 pieds, et le côté du polygone supérieur est de 10 pieds; on demande le poids du plomb qui le recouvre, le plomb étant de 6 livres au pied carré ? Rep. 12240 livres.

3, Combien y a-t-il de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface latérale d'une tour polygone dont les périmètres mférieur et supérieur mesurent respectivement 100 pieds et 80 pieds et dont la hauteur inclinée est de 40 pieds ? Mep. 3G00.

PROBLÈME XIII

Déterminer la surface d'une pyramide, ou d'un tronc quelconque de pyramide, oblique ou irrégulière.

(1501) REGIME. Faites (1059) séparément la surface de chacune des faces composantes et prenez en la somme pour la surface voulue.

PROBLÈME XIV

Trouver la solidité d'une pyramide quelconque.

(1502) REGLE. Multipliez (1049) la surface de la base par le tiers de la hauteur, et le produit sera le volume requis.

Ex. 1. Quelle est la solidité d'une pyrauîide, dont la base est un carré de .30 pieds de côté, et la hauteur 25 pieds ? Rep. 7500.

2. Le côté du triangle équilatéral qui forme la base d'une pyramide est de .3 pieds, sa hauteur est de 30 pieds ; quel est le volume?

Rcp. 38.9711.

3. Quel est le contenu solide d'une pyramide hexagone dont la hauteur est de 6.4 pieds et chaque côté de sa base 6 pouces ? Rep. 1.38564.

4. La hauteur d'une pyramide est 12, et chaque côté de sa base pentagonale est 2 -, on en demande le contenu cubique ? Rep. 27.5276.

5. Quel est le volume de l'espace qu'occupe la toiture d'une tour octogone dunt le côté est de 5 mètres, la hauteur du toit étant de 10 mètres?

Rcp. 5^x4.8284271 (1441)=120. 7106775 mètres est la surface de la base octagonale du toit et 120.71 x 10-^3 = 402.366 mètres cubes.

PROBLÈME XV

Trouver le volume d'un tronc de pyramide à bases parallèles.

(1503) KEGLE I. Trouvez (1061) d'abord une moyenne proportionnelle entre les deux bases ; faites ensuite ^ addition continue de cette moyenne proportionnelle et des deux bases du tronc ; multipliez alors cette somme par le tiers de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.

RECiLt] II. A la somme des deux bases ajoutez (1102) quatre fois la surlace d'une section à demi-distance entre elles, c'est-à-dire d'une section dont les facteurs linéaires soient moyens arithmétiques (1265) entre ceux des deux bases ; multipliez alors la somme ainsi obtenue par un sixième de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.

Ex. 1. Quel est le nombre de pieds cubes dans une pièce de bois dont la longueur est de 24 pieds et dont les extrémités sont des carrés de 15 et de 6 pouces de côté ?

Rep. ^15%6*=90, 225 + 36-1- 90=351 =(^-144) 2 pieds 5^ pouces carrés, ce qui multiplié par le tiers de 24 donne 19.5 pieds cubes.

2. On demande le volume d'un socle pentagonale dont la hauteur est 5 pieds, chaque côté de la base inférieure 18 pouces et chaque côté de la base supérieure 6 pouces. Rep. 9.31925.

3- Un fort dont la hauteur est de 15 mètres, a pour base un octogone régulier dont le côté est de 10 mètres, le côté du polygone supérieur est de 9 mètres ; quel est le volume de la tour ?

Rep. Surf. oct. inf. = (1441) 4.8284271 x 10^=482.84271 mètres carrés, surf. oct. sup. = 4.8284271 x g'^sr 391.1025951, surf. moy. prop.

= ^482.84x391.10=434.56, la somme des trois surface3=482.84-f- 391.1 + 434.56 = 1308.50, et 1308.5 x |(15) = 6542.5 mètres cubes.

Rep. Par la règle (1101) du prismoïde, on a pour surface à demidistance des bases parallèles (10 + 9)+ 2=9.5, et (9.5) X 4.8284271= 435. 76, X 4 = 1743.04, 1743.04 + 482.84 + 391.1 = 2616.98, et 2616.98x^(15 = 6542.45 comme auparavant, car la différence .05 entre les deux résultats vient seulement de ce qu'on n'a pas fait entrer en compte dans les deux calculs un plus grand nombre de décimales.

REM[. Dans ce dernier exemple, l'aire de la moindre base = 4.8284271 x 9 et celle de la plus grande base=4.8284271 x 10 ; le produit de ces deux

surfaces l'une par l'autre est4.8284271 x 9% 4.8284271 x 10^ =4.8284271* x

9 X 10 dont la racine carrée est 4.8284271 x 9 x 10=la surf, moyenne proportionnelle requise. Il est donc clair que dans le calcul du volume du tronc de pyramide par la 1ère des deux règles ici données, on se sauvera un travail long et inutile en se servant de la méthode que l'on vient d'indiquer pour déterminer la surf. moy. prop. voulue, au lieu de multiplier l'une par l'autre les surfaces 482.84271, 391.1025951, pour en extraire ensuite la racine carrée. Cette remarque s'applique aussi au tronc de cône prob. XXVIII.

PROBLÈME XVI

Trouver le volume d'un tronc de pyramide quelconque.

C1504) KE€iL(E. Déterminez (lOOT) séparément les volumes respectifs des pyramides entière et partielle ; la différence de ces volumes sera la solidité requise.

Ex. Les surfaces inférieure et supérieure ou opposées d'un tronc de pyramide à bases non parallèles, sont 30 et 20 mètres, les hauteurs respectives des pyramides entière et partielle sont 33 et 17 mètres; quel est le volume du tronc ?

Rep. 30 X 3(33) - 20 x ^(17)=330 mètres cubes — 113^ mètres cubes = 216| mètres cubes.

PROBLÈME XVII

Trouver la surface d'un cylindre droit.

(1505) REGliE. Multipliez (993) la circonférence de la hase par la hauteur pour avoir la surface latérale. A cette surface ajoutez celles des deux bases si la surface entière est requise.

Ex. 1. Quelle est la surface latérale d'un cylindre dont le diamètre de la base est 20, et la hauteur 50 ? Rep. 3141.6.

2. Quelle est le nombre de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface convexe d'un pilier circulaire dont la hauteur est 7 pieds et la circonfé rence 8 pieds 4 pouces ? Rep. 58g.

3. Combien y a-t-il de verges d'enduits dans le pourtour et le plafond d'un appartement circulaire, ayant 20 pieds de diamètre et 10 pieds de hauteur ?

Rep. Circ.=3.1416x 20 = 62.832, surf. convexe=62.832 x 10=628.32,

Burf. du plafond=20x20 x .7854=314.16, surf. voulue=628.32 x 314.16 =

y 104.72 verges carrées.

4. Quel sera le coût de polir la surface convexe d'une colonne en marbre dont le diamètre est de 12 pouces et la longueur 10 pieds, à raison d'une piastre le pied superficiel ? Rep. $31,42.

5. Une tour cylindrique dont la hauteur est de 10 mètres et le diamètre aussi de 10 mètres, a pour surface latérale ?

Rep. 314.16 mètres carrés.

6. On demande combien de pieds de surface il y a dans un pied courant du pourtour intérieur d'un conduit ou canal cylindrique, dont le diamètre est de 3 pieds ? Rep. 3.14159 x 3 = 9.42477.

T. Une voûte en pierre taillée est demi-cylindrique, son diamètre est de 10 pieds et sa longueur de 50 pieds ; quelle en est la surface concave ?

Rep- 785.4 pieds carrés.

8. Quel est le nombre de pouces carrés de dorure dans la surface d'une barre de fer dont la longueur est de 14 pieds et le diamètre de Iç pouces.

Rep. cire. 3.927 x 168 = 659.73.

9. Combien faudra-t-il de pouces superficiels d'argenture pour couvrir l'intérieur, c'est-à-dire la surface concave et le fond d'un vase cylindrique de 7 pouces de diamètre et 9 pouces de hauteur ?

Rep. le fond=7 x 7 x .7854=38.4846 pouces carrés, la surf, concave = 3.1416 X 7 X 9 = 197.9208 pouces carrés, en tout 236.4 pouces carrés.

PROBLÈME XVIIL Trouver le volume d'un cylindre droit.

(1506) REGLE. Multipliez (1023) la surface de la base par la hauteur ; le produit sera le volume.

Ex. 1. On demande le volume d'un cylindre dont la hauteur est 20 et la circonférence de la base ô^ ?

Rep. (5.5)* X (1444). 07958 = 2.4073 = surf, de la base, et 2.4073 x 20= 48.146.

2. Un seau ou autre vaisseau cylindrique a 15 pouces de diamètre et 12 pouces de hauteur ; combien contiendra-t-il de gallons de vin, le gallon étant de 231 pouces cubes?

Rep. 15 X 15 x. 7854 X 12=2120.58 pouces cubes,-^231 = 9.18 gallons ou 9 gallons, 1 chopine et 1 septier, près.

3. Une barre de fer battu a 14 pieds de longueur et 1^ pouces de diamètre ; quelle en est la solidité en pouces cubes ?

Rep. 1.25 xl. 25 X. 7854 X 168 (ou 14x12) = 206.1675.

4. Une colonne eu pierre a 1 pied de diam. et 10 pieds de hauteur; quel en est le volume. Rep. 7.854 pieds cubes.

5. Quelle est, par pied courant, la capacité d'un tuyau ou conduit d'un diamètre de 3 pieds ? Rep- 7.0686 pieds cubes.

6. La fondation d'une cheminée est une masse cylindrique dont le diam. est de 10 pieds et la hauteur aussi de 10 pieds; combien contient-elle de verges cubes de maçonnerie?

Rep. 785.4 pieds cubes-=-27 — 29 verges cubes, 2 pieds cubes.

1. L'essieu ou arbre en fer d'une roue de moulin a 10 pieds de longueur et 9 pouces de diam. ; quelle en est la solidité en pieds cubes ?

Rep. 9 X 9 X .7854^1728 =^4.418 pieds cubes.

PROBLÈME XIX

Trouver la surface d'un cylindre oblique.

(150'î') RECrLiE. Multipliez (99'î') la longueur du côté par la circonférence d'une section perpendiculaire au côté ou à Vaxe du cylindre ; le produit sera la surface latérale.

Ex. 1- La voûte demi-cylindrique d'une ouverture ou baie de pont qui traverse obliquement une rivière, a 30 pieds de diamètre et 20 pieds de longueur ; quelle en est la surface concave ?

Rep. 942 2 pieds carrés, près.

2. Le bras d'une rampe d'escalier, terminé à chaque extrémité par les faces verticales des noyaux, mesure 10 5 pouces de tour et 15 pieds de longueur; quel est le nombre de verges superficiels de vernis dont il est enduit?

Rep. IO5 pouces = .875 pied, et 15 x .875-^ 13.125 pieds carrés=l verge 41 pieds.

3. Quelle est la surface du zinc dans un tuyau dont le diamètre est de 9 pouces et dont la longueur, 5 pieds, est terminée par les plans parallèles de deux coudes alternes (153) ou tournés en sens inverses. ?

Rep. cire. = 3.1416x9=28.2744, cire, x 60 et -=-144= 11 ^i^ prés pieds carrés.

PROBLÈME XX

Trouver le volume d'un cylindre oblique.

(1508) RECrLE I. Multipliez (1026) la longueur du côté par la surface d'une section perpendiculaire au côté ou à Vaxe; le produit sera le volume requis.

Ex. Quelle est le contenu solide du bras d'escalier du dernier problème ?

Rep. Surf. sect. perp. = (1444)T6.5 x 10.5 x .07958 = 8.7737 pouces carrés, et 8.7737 X 180 (la longueur en pouces) = 1579.26 pouces cubes, ou .914 pied cube, ou -f*Q près.

REGLG II. Multipliez (1026) la surface de la base par la hauteur perpendiculaire.

Ex- La surface de la base d'un cylindre est 3.33 mètres carrés et la distance perpendiculaire qui sépare ses deux bases, est 10 mètres ; quel en est le volume? Rep. 33.3 mètres cubes.

PROBLÈME XXI

Trouver la surface d'un tronc de cylindre droit ou d'un

tronc de cylindre oblique dont les grands ou petits

axes CD, FE ou GH, LK des bases opposées, sont

(1099) dans un même plan CDEF ou GHKL.

C1509) REGL,E I. Multipliez (déni, de 1099 et 1097) la demisomme de la plus grande et de la moindre hauteurs du tronc par le périmètre de la base ; le produit sera la surface latérale.

RE€(LE II. Si le tronc est oblique, multipliez la demi-somme des longueurs du moindre et du plus grand cotés du tronc par le périmètre d'une section perpendiculaire à l'axe du cylindre.

Ex I. Le diamètre d'un cylindre est 10, sa moindre hauteur est 9.4 et sa plus grande hauteur 10.6 ; quelle en est la surface convexe?

2. Un demi-coude de tuyau de poêle ou de condiut quelconque, (le coude rectiligne n'est autre chose qu'un double tronc de cylindre droit, c'est-à-dire deux troncs de cylindres droits se rencontrant sous un angle quelconque) dont le diamètre est de 7 pouces, a pour moindre et plus grande longueurs, 4 et 11 pouces respectivement; quelle en est la surface latérale ?

Rep. 3.1416x7 x ^(4 + llj = 164.9 ou soit 165 pouces carrés, ou (^144) = 1 pied carré et 21 pouces carrés, ou 1' près pieds carrés.

3. Entre les deux troncs composants du coude rectiligne d'un bras cylindrique de garde-fou, se trouve un troisième tronc dont la plus grande longueur est 3 pouces et la moindre longueur nulle ; quelle en est la surface, le diamètre du bras étant de 9 pouces ?

Rep. Il est clair que le tronc proposé n'est autre chose qu'un double onglet de cylindre droit, c'est-à-dire deux onglets réunis par leurs bases perpendiculaires ; donc on aura la surf, voulue = 3.1416 x 9 x ^(3) = 28.2744 x 1.5=42.4 pouces carrés.

4. Dans un vaisseau cylindrique incliné à l'horizon se trouve une liqueur dont la plus petite distance de la surface au fond est de .67 décimètres et la plus grande 1.33 mètres, le diamètre du vaisseau étant de 1 mètre; oa demande la superficie de la parui exposée à l'action de la liqueur ?

Rep- 1 X 3.1416 X 3(. 67 + 1.33) = 3.1416 mètres carrés, = surf, latérale,

le fond = 1 X .7854 = . 7854 mètres carrés, la surface entière = 3.1416 + .7854 r^ 3.9270 m. c.

5. Une voûte demi-cylindrique est terminée par deux murs, inégalement obliques à l'axe ou direction de la voûte ; le diam. est de 20 pieds et les moindre et plus grande longueurs 36 et 30 pieds; quelle en est la surface?

Rep. 1036.73 pieds carrés,

6. Le tambour d'un escalier circulaire dont le diamètre est de 10 pieds, est terminé par le toit mcliné de l'édifice ; sa moindre hauteur à compter du niveau du plancher du dernier étage est de 7 pieds et sa plus grande hauteur de 13 pieds; quelle en est la surface latérale en verges carrées.

Rep. 314.16-4-9 = 341 près.

PROBLÈME XXII

Trouver le volume d'un tronc de cylindre droit, ou d'un

tronc de cylindre oblique dont les grands ou petits

axes CD, FE ou GH, LK des bases opposées, sont

(1099) dans un même plan CDEF ou GHKL.

(1510) REGIME I. Multipliez (1099) la base par la demi-somme des vioindre et plus grande hauteurs du tronc ; le produit sera la solidité demandée.

REGLE II. Multipliez (1099) la surface d'une section perpendiculaire à Vaxe du cylindre, par la demi-somme des longueurs du moindre et du plus grand côtés du tronc.

Ex. 1. Dans un vaisseau cylindrique dont la fondation s'est affaissée et a dérangé la position verticale, la moindre hauteur inclinée du liquide contenu est de 13 pieds et la plus grande hauteur de 15 pieds, le diamètre de la cuve étant de 20 pieds ; on demande le nombre de gallons de liqueur (soit 7^ gallons au pied cube) dans la cuve ?

Rep. 4398.24 pieds cubes = 32986.80 gallons.

«î. Le recouvrement demi-cylindrique d'un mur qui en rencontre deux autres sous des angles obliques inégaux, mesure 3 pieds de diamètre et sa longueur moyenne est de 100 pieds ; quel en est le volume ?

Rep. surf. sec. perp. = 3 x 3 x .7854 x 100 = 353.43 pieds cubes.

PROBLÈME XXIII

Trouver la surface et le volume d'un tronc quelconque de cylindre.

(1511) REGLE I. Imaginez le tronc coupé (en AB, Jig. du par. (1099) par un plan perpendiculaire à Vaxe du cylindre. Référez à cette hase commune, les deux troncs composants ; faites par les deux derniers problèmes la surface ou le volume de chacun d'eux pour en prendre la somme ; ou, ce qui est la même chose, multipliez la base commune ou sa circonférence, suivant le cas, par la moitié de la somme des deux plus grands et des deux plus petits côtés des deux troncs.

REGIME II. La surface de la base multipliée par la demi-somme de la moindre et de la plus grande hauteurs du tronc, donnera son volume.

PROBLÈME. XXIV

Trouver la surface d'un cône droit ou régulier.

(151ti) REGEE. Multipliez (1041) la circonférence de la base par la moitié du côté, ou de la hauteur inclinée; le produit sera la sur face convexe ; à cette surface ajoutez celle de la base, si la surface entière est requise.

Ex. 1. Quelle est la surface latérale d'un cône dont le côté est 50 et le diamètre de la base 8^ ? Rep. 667.59.

2. Quelle est la surface convexe d'un cône dont le côté est 36 et le diam. de la base 18 ? Rep. 1272.348.

3. Le fond d'une chaudière est un cône renversé dont le diamètre est de 10 pieds et le côté 6 pieds 5 quelle en est la surface latérale ?

Rep. 94.248 pieds carrés.

4. Un vase dont le diam. est de 10 pouces a un couvercle conique dont le côté est de 5| pouces ; quelle est la surface de ce dernier ?

Rep. 10 X 3.1416 x 2.875 = 90.321 pouces carrés.

5. Un réservoir dont le plan est circulaire et dont la coupe verticale menée par le centre est un triangle isocèle, a 60 mètres de largeur et la longueur de son côté incliné est de 33 mètres ; combien faudra-t-il de briques pour en revêtir la surface, en allouant 75 briques au mètre carré ?

Rep. diam. 60 x 3.1416 x 16^ x 75 = 233,264.

6. Une tour a 150 pieds de circonférence et le côté incliné de son toit conique mesure 30 pieds; combien faudra-t-il de carrés de couverture en bardeau pour en revêtir l'extérieur ? Rep. 225.

7. Quel sera le poids du dessus conique d'un gazomètre dont la circonférence est de 180 pieds et le côté incliné 30 pieds, le fer étant de 5 livres au pied carré ? Rep. 13,500 livres.

PROBLÈME XXV

Trouver la surface d'un tronc de cône droit ou régulier à bases parallèles.

(1513) REOLiC- Multipliez (1042) la demi-somme des circonférences des deux bases par la hauteur inclinée du tronc ; vous aurez la surjace convexe ; d laquelle ajoutez les aires des deux bases, pour avoir la surface entière.

Ex. l.|Le côté d'un tronc de cône est 122, ^t les circonférences de ses bases 8.4 et 6 ; quelle en est la surface latérale ? Rep. 90.

2. Quelle est la surface entière d'un tronc de cône dont le côté est de 16 pieds et les rayons des bases 3 et 2 pieds ?

Rep. surf. ]at.=:251.328, surf, base inf. = 28.2744, surf, base sup. = 12- 5664, surf, totale = 292.1688.

3. La partie conique d'un entonnoir a pour grand diamètre 10 pouces, pour petit diam. 1 pouce, et pour côté incliné 15 pouces ; quelle en est la surface latérale ? Rep. 259.2 pouces carrés = 1.8 pieds carrés.

4. Le toit incliné d'une tour circulaire dont le diamètre est de 30 pieds et le côté de 20 pieds est terminé au haut par une plateforme dont la circonférence est de 33 pieds ; on demande combien il a fallu de carrés de zinc pour le recouvrir, y compris la plateforme ?

Rep. surf. lat. = 1272.48, surf, base 8up. = (33)' x .07958=86.66, surf. requise=1359.14 pieds carrés = 13^ carrés 9 pieds carrés.

5. Combien faudra-t-il de pouces carrés de dorure pour recouvrir l'intérieur d'un goblet dont la cire. inf. est 6 pouces, la cire. sup. 7 pouces et le côté 3^ pouces ?

Rep. La paroi latérale=3^x ^(6 -t- 7) = 22.75 pouces carrés, le fond = 6x6 X. 07958 = 2.865, le tout=25.615 pouces carrés.

PROBLÈME XXVI

Déterminer la surface d'un cône ou d'un tronc quelconque de cône oblique ou irrégulier.

(1514) RECJIjI^. Divisez la surface latérale du cône, par des lignes menées du somm,et à la base en triangles ou secteurs, et la surface laté-

raie du tronc de cône par des lignes menées entre les deux bases, en trapèzes, etc. ; estimez séparément la superficie de chacune des parties composantes et prenez en la somme pour la surface voulue.

PROBLÈME XXVIL Déterminer le volume d'un cône droit ou oblique.

(1515) llEGLiE. Multipliez (1050) la surface de la base par le tiers de la hauteur, et le produit sera le volume requis.

Ex. 1. Quelle est la solidité d'un cône dont la hauteur est de 27 pieds et dont la base est un cercle de 10 pieds de diamètre ? Rep. 706.86.

2. La circonférence de la base d'un cône droit est 9 pieds, sa hauteur étant de lOj pieds ; quel en est le volume ? Rep- 22.56.

3. La surface de la base d'un cône oblique est de 1000 mètres et sa hauteur 30 mètres ; quel en est le contenu solide ?

Rep- 10,000 mètres cubes.

4. Un rocher ou monticule en forme de cône irrégulier a pour base une figure dont la surface est de 5300 verges carrées, la hauteur du corps étant de 105 verges ; combien aurait-on à enlever de verges cubes de matière pour le faire disparaître ? ReP. 185,500.

5. Quel est le volume de l'espace compris sous im toit conique dont la hauteur est de 30 pieiis et le diamètre 30 pieds ?

Rep. 7068.6 pieds cubes.

6> Combien de pouces cubes de dragées peut contenir un cornet de 3 pouces de diam. et 9 pouces de longueur ? Rep. 21^.

T. La circonférence du fond conique d'une chaudière est de 10 pieds et la hauteur du cône de 1 pied ; combien de gallons contiendra cette partie du vaisseau.

Rep. 10 X 10 X .07958 x ^ = 2.652666 pieds cubes, x 1728 et-=-231 = 19. 843 gallons.

PROBLÈME XXVIII

Déterminer le volume d'un tronc de cône droit ou oblique,

c.-à-d. d'un tronc de cône quelconque, à bases

parallèles.

(Î516) REGLE I. Trouvez (lOG^) d'abord une moyenne propor. tionnelle entre les deux bases ; faites ensuite V addition continue de cette

moyenne et des deux bases du tronc ; multipliez alors cette somme par le tiers de la hauteur du tronc et le produit sera le volume requis.

RE€i£<E II. A la somme des deux bases, ajoutez (1,521) quatre fois la surface d'une section à demi-distances entre elles, c'est-àdire d^une section dont les facteurs linéaires soient moyens arithmétiques (5265) entre ceux des deux bases; viultipliez alors la somme ainsi obtenue par un sixième de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.

Ex. 1. On demande la solidité d'un tronc de cône droit, dont la hauteur est 18, le dianj. de la hase inf. 8, et celui de la base sup. 4 ?

Rep. Base inf. = 8x8 x .7854=50.2656, base sup. = 4x4x.7854 = 12.5664, le facteur moyen arith. entre 8 et 4 = ^(8 + 4) = 6, 6 x 6 x .7854 x 4 = 113.0976, la somme de ces surfaces = 175.9296, multipliant par 3 (le sixième de la hauteur 18) on a 527.7888.

2. Combien de pieds cubes d'eau pourra contenir un réservoir en forme de tronc de cône renversé dont le plus grand diamètre est de 200 pieds, le plus petit diam. 100 pieds, et la profondeur 25 pieds ?

Kep. 458,153 pieds cubes.

3. Un tuyau conique relie deux conduits de 10 et 20 pouces de circonférence, sa longueur ou la distance perpendiculaire entre ses deux bases est de 25 pouces; quelle est la capacité de cette partie du conduit ?

t Rep. Surf, petit bout = (1444) (10) x .07958 = 7.958, surf gros bout=:

C20; X .07958=31.832, la circonférence moy. arith. = ^(10 + 20) = 15, (15) X. 07958 X 4 = 71.622, la somme = 111.412, cette somme x ^(25)^464.21666 pouces cubes.

4. Quelle est la capacité d'une tinette dont la hauteur est de 20 pouces, le diam. inf 10 pouces, et le diam. sup. 16 pouces?

Rep. 2701.776 pouces cubes-^-1 728 = 1.55 pieds cubes.

5. Un vaisseau qui présente la forme de deux troncs de cônes réunis par leur plus grandes bases, mesure 40 pouces de longueur, 28 pouces à la bonde ou au centre et 20 pouces à la tête ou aux extrémités ; combien contiendra, t-il de gallons ?

Rep. 20 X 20 X .7854= 314.16, 28 x 28 x .7854 = 615.7536, 24 x 24 X .7854x4 = 1809.5616, la somme des surfaces = 2739.4752, x K20)=9131. 584 pouces cubes=le contenu d'un des troncs composants, x 2 = 18263.1680 pouces cubes, -^231 = 79.06133 gallons.

Rep. Par la 1ère règle on a :

surf, moindre base= .7851 x 20 =314.16

surf, grande base = .7854x28" =615.75.36

surf. moy. prLip. = (150;5 Rem.) .7854 x 20 x 28=439.824

1369.7376 multipliant par le tiers de la hauteur du tronc 6g

on obtient pour vol. du tronc 9131.5840

doublant, on a pour vol. total comme auparavant ls2o3.1G80 REm. Il est à peine nécessaire de dire qu'au lieu de multiplier séparément par .7854 ou par .07958, suivant le cas, les carrés des diam. des bases opposées et 4 fois le carré du diam. de la base intermédiaire, pour en prendre ensuite la somme ; on se sauvera du travail en faisant tout d'abord la somme de ces carrés pour n'avoir à multiplier qu'une fois par les facteurs .7854 ou .07958.

PROBLÈME XXIX

Trouver le volume d'un tronc de cône quelconque à

bases non parallèles.

(1517) REGLiC Déterminez séparément (1067) les volumes respectifs des cônes entier et partiel ; la différence de ces volumes sera la solidité requise.

Ex. Les surfaces inf. et sup. d'un tronc de cône à bases non parallèles sont 30 et 20 mètres, les hauteurs respectives des cônes entier et partiel .«ont 33 et 17 mètres ; quel est le volume du tronc ?

Rep. (30 x |33)- (20x^17) = 330—113^ = 2161 mètres cubes.

PROBLÈME XXX

Trouver le volume d'un onglet de cône.

(151S) REGLE. Déterminez séparément (1140) les volumes respectifs de cette partie du cône entier dont l'onglet fait partie et de la partie correspondante du cône partiel ; la différence de ces volumes sera la solidité requise.

Ex. Les segments d'ellipses qui servent de bases à un onglet de cône, sont (1473) respectivement de 20 et 15 pieds en superficie, et les hauteurs des cônes entier et partiel perpendiculaires à ces bases sont (1067) de 30 et 23 pieds ; quel est le volume de l'onglet ?

Rep. (20 X |3Ô) - (15 X \2i) = 300 - 115 = 185 pieds cubes.

2. Une quantité de liqueur (2nde ûg. du par. 1143) dans un vaisseau, incliné de 15 degrés à l'horizon, et dont la forme est celle d'un tronc de cône de 5 pieds de hauteur, ayant un diam. inf. de 10 pieds, et un diam. sup. de 8.8 pieds, laisse voir un segment du fond dont le smus-verse ou la hauteur est de 2.5 pieds. La surface ou base sup. de l'onglet formé par le liquide est (page 622) un segment d'ellipse dont le sinus-verse ou hauteur est de 7.6 pieds; cette hauteur du segment fait partie du plus grand diam. de l'ellipse, lequel est de 10.3 pieds, le petit axe étant de 9.9 pieds. On demande le nombre de gallons de liqueur dans la cuve?

Rep. Les autres facteurs ou éléments nécessaires au calcul sont la hauteur du cône dont la cuve fait partie, et la verticale ou perpendiculaire menée du sommet du cône au plan horizontal de la surface du liquide. On obtient (1064) la première de ces dimensions en faisant 10 — 8.8 :5 :: 10 : 40.1666. La seconde peut alors se déterminer assez correctement, par construction géométrique, à l'aide d'une échelle de parties égales, et est de 37.87 pieds. La surface entière de la base est 10 x 10 x .7854=78.54, la sur-

face du segment visible du fond de la cuve est (1454). 153546 x 10 =15.3546, leur ditiérence 63.1854 est la surface de la base inf. de l'onglet. La surface entière de l'ellipse dont la base sup. de l'onglet fait partie est (S 469) 10.3 x 9.9 X .7854 = 80.0872 ; le moindre segment de l'ellipse a pour hauteur 10.3 - 7.6 = 2.7, la surface de ce segment est (1473) .164019 x 10.3 x 9.9 = 16.7250, la différence de ces surfaces donne pour base sup. de l'onglet 63.3622 pieds carrés. Le volume de cette partie du cône entier dont l'onglet fait partie est (1056) 63.1854 x |40. 1666=845. 97668 ; le volume du cône partiel qui a pour base la surf. sup. du liquide est 63.3622 x 37.87-^-3 = 799.84217, la différence de ces volumes 46.13451 est le volume de l'onglet ; ce vol. X 1728 (nombre de pouces cubes dans un pied cube) puis-^231 (nombre de pouces cubes dans un gallon) ou multiplié de suite par 7.48 (nombre de gallons dans un pied cube) donne enfin pour capacité de l'onglet 345.0861 gallons.

PROBLÈME XXXI

Déterminer le volume d'un onglet de cylindre.

(1519) REGÎjE. Considérez Vonglet donné comme étant celui d^un cône dont la hauteur, eu égard à celle de Vonglet et au de.gré d' exactitude voulu dans le résultat, serait de 10, 100, 1000, etc. fois le diamètre de sa base, et procédez ensuite comme dans le dernier problème.

REM. 1. Il est évident qu'il ne s'agit ici que de l'onglet partiel ou proprement dit ABC-D, fig. du par. (1140) ou MBN-C (REM- 4) ; car on a déjà vu (note page 631) que l'onglet entier ou complet n'est autre chose

qu'un tronc de cylindre dans lequel la moindre hauteur est nulle ou égale à zéro, et on en obtient de suite le volume en faisant le produit de sa base par la moitié de sa plus grande hauteur. Ce n'est donc que pour simplifier le calcul et pour permettre la comparaison des volumes exacts et rapprochés des onglets correspondants de cylindre et de cône que nous ne donnons ici que des exemples d'onglets entiers, pendant que le problème n'a trait qu'aux onglets partiels. Le procédé à suivre est d'ailleurs le même dans les deux cas.

REM. 2. L'onglet de cylindre, comme l'onglet de cône, se rencontre assez souvent dans la pratique, à l'endroit des intersections de voûtes et autres corps cylindriques par des surfaces planes. La liqueur qui ne recouvre qu'en partie le fond d'un vaisseau cylindrique incliné, offre aussi au calcul une figure de cette espèce.

REJTI. 3. Quand la hauteur de l'onglet n'excède pas le diam. du cylindre dont il fait partie, un cône de 10 diamètres donne un résultat dont l'erreur ou défaut n'excède pas 5 pour cent ou ^'^ du vol. réel ; et le défaut est d'autant moindre que la hauteur de l'onglet est plus petite, relativement à l'étendue de sa base.

Le cône de 100 diamètres donne pour résultat un volume qui, même avec un onglet dont la hauteur est de deux diamètres, ne diffère du vol. exact que de 1 pour cent à peu près, et dont l'erreur ou défaut n'est que d'une fraction de l'unité, quand la hauteur de l'onglet à estimer n'est que d'un ou de moins d'un diamètre.

Avec 1000 diamètres le défaut de volume n'est que d'un cinq-millième plus ou moins, suivant la hauteur de l'onglet relativement à l'étendue de sa base.

Il est clair que l'emploi d'un cône de 10,000, 100,000 1000,000 etc. diamètres donnerait un résultat de plus en plus voisin du volume exact de l'onglet proposé, l'erreur diminuant dans une proportion à peu près décuple pour un diamètre 10 fois plus grand 5 mais si l'on fait attention que le volume à déterminer n'est d'ordinaire qu'une fraction de l'unité de vol. du cône entier, et que dans le cas de 10,000 diamètres, par exemple, le premier chiffre valant du vol. de l'onglet n'est que le quatrième chiffre de la différence des cônes entier et partiel et que le quatrième chifïre du vol. cherché est le huitième de cette même différence, on verra que sauf à la condition de faire usage de logarithmes ou d'autres facteurs ou éléments allant à plus de 7 décimales ou de se donner un surcroit de travail dans l'extraction des racines par nombres naturels et dans les autres opérations à faire, l'on ne saurait aller au delà du cône de 1000 diamètres, lequel d'ailleurs donne toute l'exactitude voulue dans la pratique.

Ex. 1. Déterminez, à moins d'un centième près, le volume d'un onglet de cylindre AB-C dont la hauteur BC=AB le diam. du cylindre.

Rcp. Soit S le sommet du cône, SP sa hauteur, BKS son côté ; l'onglet de cône sera AB-C, AC sera le grand et EFGH le petit diamètre de l'ellipse AEC'F qui en constitue la base supérieure. (Le petit diam. est plus correctement E'F', où 0' est le centre de AC ; mais excepté dans le cas ou PS n'est que de 10 diamètres, on peut, pour simplifier, négliger O'O et mettre EF à la place de E'F'etpar conséquent GH à la place de G'H'). Soit CD perpendiculaire sur AB ; on aura, sans erreur sensible, BD'= CK=demi-diminution du diam. du cône pour une unité BC (soit j^^) de la hauteur du cône entier. La hauteur du cône partiel AC-S est SR' (perpendiculaire au plan AEF de la basesup. de rongletJ = SP'-P'R'=:cosinus naturel de l'angle BAC de l'onglet, ou de son égal (322) S, multiplié par le nombre d'unités ou de diamètres dans SP et diminué de P'R' ou PR, la partie du cosinus qui correspond à OP ; or OP, dans cet exemple, = ^BG ; l'angle BAC=45°, à cause de BC=AB ; le COS. nat. de 45°=, dan» les tables, .70711; ce cosinus x 100 — 70.711 = SP', et, X ^, = .35355 ou .354 = PR, et SP'-P'R'=70.711 - .354 = 70.357 fois le diam. AB.

Maintenant, quelle que soit la valeur du diam. AB, supposons pour simplifier le calcul, qu'il soit égal à l'unité ; on aura (684) surf. AB = .7854, et C1050) vol. AB-S=.7854x 100-4-3 = 26.18. On aura (3^9) AC= VAb2 + BU2 - 2At3.BD=Vl2 + (.995)* - 2 (1 x .005) (car on peut, sans erreur sensible, prendre BC = DC = DK -- CK=BC - CK = 1 - .005 = .995 et BD = CK = .005) = Vl. 990025 — 01 =V|. 980025 = , négligeant les .000025, Vl.98 = , par logarithmes ou autrement, 1.4071. Le petit diam. EF=GH = .995 =AB — .005, puisque LK = AB - .01 et que OP = pC. La surface AECF =(1469) ACxEFx. 7854 = .1.4071 x .995 x .7854= 1.0996; le volume du cône paniel = 1.0996 x 70.357 ^ 77.364557 dont le tiers 25.788185 retranché de 26.18, vol. du cône entier, laisse pour vol. de l'onglet .3918.

Le vol. exact de l'onglet proposé est (1099 ou 1495) = surf. AB x ^ BC = .7854 X 3 = .3927, et 3927 - 3918 = 5I5 près ou le quart de 1 pour cent ; c'est-à-dire que .3918 est, à moins de 1 pour cent près, le volume d'un onglet semblable à l'onglet proposé, et sous un diamètre égal à l'unité ; et comme (1103, 15°) les solidités ou volumes des polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs dimensions homologues, si l'on suppose que

AB soit (le 60 pouces, on aura 1 : 60 ; : .3918 : 8462S.8 pour volume de l'onglet donné en pouces cubes.

Ex. 2. On demande, à moins d'un centième près, le volume d'un onglet de cylindre dont la hauteur est de deux diamètres.

Rep. On a (1229, 2°) 1 : 2 : : R: tang. BAC = 2 ; d'où, BAC = 63° 26' 6" dont le COS. nat. = .44721 lequel x 100=44.721 = SP'. Ici, puisque BC = 2, on a 0P=:1 et PR ou P'R' -- .447, et SP' = P/R' = 44.721 - .447 -44.274= hauteur SR' du cône partiel AC'-S. Le diam. AC = VaB» +BC* - 2AB.BD = /12-r(l.ytt)2- 2(1 x.01) = Vl2+ 3.9204 -.02=V4.9004= 2.2137 ; EF ou GH = .99, surf. AC'=2.2137 x .99 x .7854=1.72125, vol. cône partiel = hase 1.72125 X hauteur 44. 274-f-3=25.4022 ; cône entier, moins cône partiel, =26.18 - 25.4022=. 7778= voh de AB-C; or, le voh de AB-C=base ABx^AC = . 7854x1 = .7854 et .7854- 7778=,f|fî = .0097 ou moins de jjjj ; donc .7778 est l'unité de volume de l'onglet proposé, à moins d'un

centième près, et si AB = 10, par exemple, 1 :10 :: .7778:777.8, le vol. exact étant 785.4 et la difi'érence moindre que 1 pour cent, tel que demandé. Ex. 3. Soit à déterminer, à moins d'un millième près, le vol. de AB-C, BC étaut=AB.

Rep. AC=Vl2 + (.9995)2 2(1 X .0005j=Vl.99800025)=Vl.998, négligeant les .00000025, = 1.413506; EF = .9995, surf. AC' = 1.413506 x .9995 X. 7854 = 1.1096123, SP' = cos. nat. BAC x 1000=. 7071068 x 1000 = 707. 1068, SR=707.1068 - .35355 = 706. 75325=hauteur du cône partiel ; le vol. du cône partiel = surf. AC 1.1096123 x SR' 706. 75325-^-3 = 261.4073664 ; le cône entier=. 7854x1 000-f-3 = 785.4-1-3 = 26 1.8; la différence du cône entier au cône partiel = . 3926336 ; le vol. exact de AB-C=, comme dans le 1er exemple. .3927 ; la différence entre AB-C et AB-C=jg|f ^55=53^5 près, c'est-à-dire, moins d'un millième, tel que voulu.

Ex. 4. Quand BC = 5 AB, trouver, à moins d'un centième près, le vol. de AB-C.

Rep. Le vol. exact de AB-C=.7854x ^BC = .7854 x ^ = .19635 ; le vol. du cône entier = , comme auparavant, 26.18 ; l'angle BAC=(1229, 2°) 1 : ^::R: tang. .50000 = 26== 33' 54" dont le cos. nat.=.8944276 lequel x 100 = 89.44276 = SP'. Dans cet exemple, BC étant =^, on a 0P = | et par eon?équent PR ou P'R'=le quart de .8944276 = . 2236069 et 89.44276 — .22360(59 = 89.219153 = SR' hauteur du cône partiel. On a AC = VI* ■r(.49«75;î- 2(1 x. 0025) = VÏ-1-. 24875-. 005=Vl.24375 = 1.115236 ; EF = .9975, surf. AC'= 1.115236 x .9975 x .7854 = .87371666 ; vol. cône partiel =.87371666x89.219153^3 = 25.98408. Or, 26.18 — 25.98408 = .19592 et .19635 le vol. exact-. 19592=-r/^55=.0022 prés, soit 2 millièmes ou i de 1 pour cent.

RE JI. 4. Comme on l'a déjà dit, le procédé à suivre pour l'onglet partiel,

MBN-C, dont il s'agit uniquement ici, n'est autre que celui que l'on vient d'employer pour l'onglet entier; car, que le point A soit situé en P ou en a, etc., on n'en aura pas moins et toujours AC'=:VAB* + itC* — 2AE.BD 5 BD supposé égal à CK sera toujours moitié de la diminution, AB-KL, due à la partie BC de la hauteur entière du cône ; C'K que l'on suppose dans le prolongement de DC, et par conséquent perpendiculaire à KC, se trouvera, comme auparavant, par la proportion AB:BC :: CK:KC' ; on aura EC'qui est sensiblement égal à DC en retranchant KC de DK ou de DC ; et la proportion AB:BC::R: tang. BAC fournira l'angle A ou S, dont le cos. nat. sert à déterminer la hauteur SR', SP' ou Sr (suivant le cas) du cône partiel.

Maintenant, à l'efifet de trouver les autres éléments ou facteurs A"C', EF qui vont à déterminer la surface MC'N du segment d'ellipse A"EC'F dont la base sup. de l'onglet fait partie, on a dans le triangle A'AA", l'angle A=BAC, le côté A'A=diam. A'B — AB, et l'angle A" A'A=90o + A"A'V (il est clair que A'V est à A"V comme la hauteur du cône à la moitié de son diamètre A'B, comme 1 est à .005 ou à .0005, suivant le cas, :: R:tang. nat. A" A'V ; d'où, tang. nat. A"A'V=.005 ou .0005 est connue et par suite, au moyen des tables, l'angle A"A' V lui-même est connu), pour trouver AA" et A' A". Dans le triangle A" A'V rectangle en V, on a R : sin. A"A'V :: A''A' : A''V, d'où A"V = sin. nat. A" A'V x A''A' ; A"Q = A'B + 2A"V et EF ou^ GH = 3 (A''Q +TC)=-, d'ordinaire, ^ (A' Q + LK), puisqu'on peut généralement substituer, sans erreur sensible, LK à TC-

BEIfl. 5. Si l'onglet était tronqué par un plan, parallèle ou non à celui de sa base, on déterminerait le vol. du tronc proposé en calculant séparément les volumes respectifs de l'onglet non tronqué et de la partie tronquée, pour prendre ensuite la diflférence de ces volumes.

Si l'onglet donné était celui d'un cylindre oblique, on le considérerait comme étant le tronc d'un onglet de cylindre droit et on en aurait le vol. en faisant la somme ou différence (suivant le cas) des parties composantes.

Il est à peine nécessaire de dire que si le plan supérieur de l'onglet donné passe par le point P, la hauteur du cône partiel sera S P ; et si l'onglet donné est aBc, on aura pour hauteur du cône partiel Sr, c.-à-d. SP' + P'r' = COS. s + P'r" = COS. Bac + P'r'.

Rappelons-nous en même temps que les problèmes XII et XVIII de ce livre fournissent le moyen d'arriver aux surfaces respectives des bases iniérieure et supérieure (segments de cercle et d'ellipse) de tout onglet partiel ou

tronqué.

Ajoutons aussi que le taux ou pour-cent de différence entre les volumes

respectifs des onglets correspondants de cylindre et de cône, tel que déterminé par les quelques exemples qu'on en a donnés, pourra servir au besoin à corriger, d'une manière au moins approximative, les résultats que donnerait le calcul d'autres onglets de proportions à peu près analogues.

REm. 6. Si l'onglet proposé ne formait pas partie d'un cylindre régulier, le procédé à suivre serait encore identique ; et l'on trouverait tout de même le volume d'un onglet de prisme quelconque en faisant la différence des parties correspondantes des pyramides entière et partielle, substituées au prisme.

REM. '7. Il importe de faire observer qu'il suffira le plus souvent d'une simple construction géométrique pour obtenir de suite et sans aucun calcul, à l'aide d'une échelle suffisamment subdivisée, toutes les données AC, A.''C, A'B, EF=GH, PR ou Pr, etc. qui seraient nécessaires à la détermination des volumes relatifs des cônes ou pyramides à estimer; l'arête MN de l'onglet et le sinus-verse AB du segment de cercle MBN pouvant se mesurer, la hauteur SP étant connue, et la hauteur SE,', SP où Sr' du cône partiel ou de la pyramide, suivant le cas, pouvant se trouver facilement, comme on l'a fait voir, à l'aide du cos. nat. de l'angle BAC de l'onglet et de l'élément PR ou Pr à soustraire ou ajouter suivant que l'arête MN de l'onglet est située en AP ou en BP.