TOISÉ PROBLÈME II

Déterminer le volume près, d'un fuseau quelconque, soit circulaire, elliptique, parabolique ou hyperbolique.

(ISC^) RECJLiE. Divisez le demi-fuseau (ACD ou BCD) en deux sections ou tranches parallèles (AEF, ECDF) d'épaisseur ou hauteur (AL, LK) égale ou à peu près égale, par des plans 'perpendiculaires à Vaxe de révolution (AB) de la courbe génératrice (ACB ou ADB) ; faites séparément le volume de chacune de ces tranches, en ajoutant à la somme des Surfaces de leurs bases parallèles ou opposées, 4 fois la surface d'une section (ef cd) également éloignée de ces bases, et multipliez le tout par ^ de la hauteur de la tranche ; faites ensuite la somme des volumes des deux tranches composantes et doublez le résultat j^our le volume près, du fuseau proposé.

(1569) Ex 1. On demande le vol.

près, d'un fnseau circulaire (c.-à-d.

engendré jmr la révolution d'un arc de cercle) dont la longueur AB est 48, et le diani. CD 3G ?

Rcp. Si les diamètres intermédiaires EP, ef, cd ne sont pas donnés ou qu'on ne puisse les obtenir directement par le mesurage du solide à estimer, il sera facile de les déterminer par le calcul; ainsi on aura tout d'abord' le rayon oC de l'arc ACB par la

méthode du par. (540) : 24 -f-18=32=le reste du diam. dont CK fait partie, le diam. = 32 + 18=50 et le rayon par conséquent= 25. Maintenant on aura op, oq et or respectivement égaux aux racines carrées des diflérences entre le carré du rayon et les carrés de ep, Eç et cr, ce qui est évident ; or, si Ton suppose AL=KL on aura An =nL= L??t= 7n,K, ou cr= 6, Eq=l2,

ep=lS, o/ = oe'-ep =625-324=301 dont la V est 17.349352 de laquelle retranchant oK=7= 25 — 18 il reste K^ ou en= 10.349352 et par conséquent e/ ou 2en=- 20.698704 ou soit 20.6987, car, comme la différence de volume d'après cette règle est toujours en plus, on peut négliger au moins les dernières décimales ; de la même manière on trouve diam. EF= 29.863 et cd= 34.5386.

Le volume de FC= (DC + 4 cd + EF ) x .7854 x ^ KL ou par 2= 10'931.

82, le volume de ç/A=(EF +4 e/*) x .7854 x 2 = 4092.72, ces volumes ajoutés l'un à l'autre et le toutx 2 ,donne pour volume du fuseau entier 30049 unités cubiques.

REM. Le volume exact du fuseau du dernier exemple est 2991G.671-Î) c.-à.d. que le volume rapproché excède de y^f fç ou de .0044 (moins d'un demi-centième) le volume réel, ce qui équivaut d'ordinaire dans la pratique à une exactitude parftiite ou suffisante au moins, eu égard au travail addi tionnel qu'il faut donner au calcul d'après les règles ordinaires ; et d'ailleurs

comme on l'a déjà dit (IIST, 1534) on peut avec la règle ici donnée porter la précision à tel degré qu'on voudra par une subdivision du demi-fuseau en tranches plus nombreuses et' dont les côtés s'approchent davantage de la ligne droite.

(1570) Ex. "2. Trouver le volume près, d'un fu§eau elliptique fc'est-à-dire engendré par la révolution d'un arc d'ellipse

autour d'une carde perpendiculaire M. J: J 0 N

à l'un de ses axes) dont la longueur AB est 80 décimètre.*, le plus grand diam. CD 2-t décimètres et un diam. EF également éloigné de A et CD 1S.9'J0'J4 décimètres ?

Rep. Soit AECGB la courbe génératrice ; pojaren trouver le centre, menez (1562, R. I.) deux cordes parallèles quelconques BC, aôetpar les points milieux de ces cordes menez une droite GO quiintersectera CD, j^rolongé s'il le faut, en 0 centre de l'ellipse. Soit maintenant CO=30, l'on a un diam. de rellipse=2C0, une ordonnée AK ou KB= ^ AB=40, une abscisse CK ou segment du diam.= 12 et par conséquent l'autre segment= 2C0 — CK= 60 — 12= 48 pour trouver (1562, R. I.) l'autre diamètre MN de l'ellipse en faisant VCK X (2C0 - CK) : KB : : 2C0 :MN ou Vl2x4d;40 : : 60 100=MN, MN étant le moindre ou le plus grand diam. de l'ellipse, suivant que le rectangle des segments est plus grand ou moindre que le carré de l'ordonnée ou perpendiculaire KB.

Pour avoir ef, on fera d'abord la proportion MX : 2C0 ou (ce qui est la même chose) MO : CO : : ViMç.çN : qe ou 50 : 30 : : V2O x 80 : eç = 24 et comme n9=K0=C0 — CK=30 - 12=18, on aura en=24— 18=6 et diam. ef=2en=l2; on trouvera de même cs= 29.39412, es — 7?is=11.39412=c»i et 2c?7i=diam. c<:^= 22.78824. Si EF n'était pas donné on le déterminerait tout de même.

Diam. EF 18.99094 = 360.6558

4 Diam. cd 22.78824* =2077.2155

Diam. CD 24.00000* = 576.0000

Somme ^3013.8713 X .7854

Produit =2367.0935 X 40

Quotient = 15780.62

= 2 vol. ECDF

Diam. EF 18.99094 = 360.6558

4 Diam. ef 12.00000 r= 576.0000

Somme = 936.6558

Produit =735.649465 X 40

-^6) 29425.9786 Quotient = 4904.32976 = 2 vol. EFA

vol. 2 FC = 15780.62 vol. 2 EFA = 4904.33

vol. AB = 20684.95

La somme 20,684.95 de ces volumes est celui du fuseau proposé et ne diffère que de 57 unités en plus, ou du quart de 1 pour cent, du vol. exact 20628.34 dont le calcul par les règles ordinaires exige un travail bien plus considérable, et offre par suite de la diversité des opérations à faire (telles que détaillées dans un énoncé de 16 lignes de texte) beaucoup plus d'occasions de se tromper, comme c'est d'ailleurs toujours le cas, plus ou moins, quand le procédé à suivre n'est pas tellement simple et directe qu'on puisse sans effort se rendre coinpte, en poursuivant les détails du calcul, de la raison d'être de chacun d'eux. Voici l'énoncé dont il s'agit.

1°. De trois fois le carré du diamètre au centre (CD) soustrayez quatre fois le carré du diamètre (EF) entre le milieu et l'e.rtrémité ; aussi, de quatre fois ce dernier diamètre, retranchez trois fois le diamètre au centre ; et un quart du quotient provenant de la division de la première différence par la dernière, donnera la distance centrale (OK).

2°. Trouvez par la méthode du par. (1562, R. I.) l'axe de r ellipse et par la méthode du par. (l-ltS) la surface du segment générateur (ACB).

3°. Divisez trois fois la surface ainsi trouvée, par la longueur (AB) du fuseau, et soustrayez du quotient le diamètre au centre ; multipliez alors le reste par quatre Jois la distance centrale, et retranchez en le produit du carré du diamètre au centre ; ce dernier reste multipliée par le tiers de la longueur du fuseau et le produit de nouveau par 1.57079, donnera le volume du fuseau.

Le calcul à faire d'après cet énoncé est d'au moins deux à trois pages, et cela sans même v comprendre les détails des multiplications, divisions etc. ; tandis que tout ce qui est essentiel à l'énoncé de la règle ici donnée se résume en ces mots : Multipliez la sixième partie de la hauteur de chacune des tranches composantes par la somme des surfaces de ses bases plus quatre fois la surface d'une section d demi-distance entre elles; la somme des volumes ainsi obtenus sera le volume du fuseau à très près ; et comme, dans la pratique, l'on obtient d'ordinaire les diamètres nécessaires ef EF cd, CD par un mesurage direct de ces diamètres ou de leurs circonférences respectives, tout le calcul à faire se réduit, sauf les multiplications, à celui que l'on vient d'indiquer au bas de la dernière page.

(15?!) Ex. 3. Trouver le vol.

d'un fuseau parabolique,

(c'est à-dire engendré parla révolutiun d'une parabole ACB ou ADB autour d'une double ordonnée AKB perpendiculaire à l'axe CK) dont la longueur AB est 60 et le plus grand diam. CD 34 ? Rep. Dans le cas de la parabole et des distances égales An, nL, Lm, ^

niK, les diamètres iiitermédiaires ef, EF, cd, s'ils ne sont point donnés sont des plus aisés à déterminer puisque comme on l'a vu ("1564) les abscisses ou segments C^, Cy, Cr, de Ta.xe sont comme les carrés des ordonnées correspondantes ep, Eç, Cr et que ' quand ces ordonnées sont des multiples ovi sous-multiples égaux Tune de l'autre, les segments ou abscisses sont aussi de simples multiples ou sous-multiples de l'axe entier CK ; or (215)

à cau!^e de ILq— \ AK on aura Kq —\ AK et par conséquent Qq=\ CK, on aura de même Qr-\ Cq ou j\ CK et C^ = ^^g^ CK puisque ep : AK : : 3 : 4

et que 3 ;4 ;:9;16: Ton trouvera donc de cette manière Cç=l 7-^4 = 4.25, Cr 4.25--4 0U 17^16 = 1.0625, C^=-,9j17 = ^-|--i'k = 8-5 + 1.0625 = 9.5625, d'où l'un obtient diam. ef=2pK = \i.S75, EF = 2K«7^ 25.5, crf = 2Kr =

31.875 ; maintenant vol. AEF = (surf. EF -f 4 surf, ef) x ^- AL = (EF + 4 e/ )

x.7854x| AL=(25.5 -r 4 fois 14.875*) x .7854 x 2^ ou de suite par 5 (puis q\i'il y a deux concïdes ou segments égaux dans le fuseau à estimer) =

6033.1 unités cubiques ; le volume du tronc FC = (34 -1-4 fois 31.875 -F 25.5 ) X .7854 X 2^ ou par 5 pour avoir 2FC = 23052.7 unités cubiques ; la somme 29085.8 de ces volumes est la solidité du fuseau proposé ; elle ne diffère de la solidité exacte 29053.4 que de 32 unités, c'est-à-dire de ^9^55 on .0011 soit l de 1 pour cent en plus.

KEIV. Quelque compliquées que soient les règles ordinaires pour le volume des fuseaux circulaire et elliptique, la règle pour le fuseau parabolique est au contraire fort .simple; elle consiste seulement à multiplier le carré du diamètre central par la longueur du fuseau et le produit de nouveau par .418879 ( = 3. 141 59^-7 ^J ; mais il y a toujours ceci à considérer que si le fuseau n'était pas proprement dit parabolique cette dernière règle pourrait être assez loin de fournir un volume exact, tandis que par la règle générale qu'on trouve ici pour tous les solides élémentaires, on n'a pas à s'occuper tout d'abord de la nature du solide à estimer, si ce n'est toutefois quand il y a lieu de déterminer par le calcul les diamètres intermédiaires dont on a besoin.

(15T2) Ex. 4. Un fuseau ABCD qui a l'apparenced'être hyperbolique (c.-à-d. engendré par la révolution d'une hyperbole ACB ou ADB autour d'une corde ou double ordonnée AKB perpendiculaire à son axe CK ou KD) et dont le plus grand diamètre CD = 71 pouces, mesure 106 pouces en longueur AB, et ses diamètres intermédiaires pris en 3 endroits m, L, n, équidistants l'un de l'autre et chaque distance égale au quart de la demi-longueur AK du fuseau, sont respectivement e/=26.8, EF-^49, crf=65.4 : quel en est le volume ?

Rcp. (CD f4 cd +EF )x.Y854x ^ LK et (EF +4 f/ ) x .7854 x ^

AL, ou ce qui est la même chose, puisque AL=LK, volume = (CD + 4 m +

2EF + 4 e/" ) X .7854 x ] LK ou AL ou par g LK ou AL pour avoir de suite

le volume du fuseau entier=(71 + 4 fois 65.4 + 2 fois 49+4 fois 2G.8 ) x .7854 X 53-^6 ^ 206.914 pouces cubes ou 119.742 pieds cubes.

Pour trouver Op ou Cp et par suite pK=CK — Cp = en = ^^ diam. interm.

ef, on a d'abord AK : ep : : 20C.CK + CK : 20C.Cjo 1- C^ , pui«, comme on l'a dit (ISe-y, RE.II. II.) (20C.CK + Ck') - (20C.C^ + C^') = 2K;? j)0

+ K^ ; or. il est clair (3-59) que 2Kp.j>0 -i- Kj9 +^0 = KO ; d'où, ^0

= K0" - ÇlKp.pO + Kp)oupO =K0" - (20C.CK + CK - 20C.Cp + Cp ) et Op= 0^ . On aura de même qo en trouvant d'abord 20C.Cç + Cq =

(20C.CK + CK 'JxEç et en extrayant ensuite la racine carrée de la diflé-