RAPPORTS ET PROPORTIONS

(58) On appelle Rapport (31) ou Raison la relation qu'il y a entre deux ou plusieurs quantités de même espèce (25). Ainsi deux lignes ou surfaces égales ont entre elles le rapport de l'égalité et si l'une d'elles est moitié ou double de l'autre, le rapport entre elles est alors de J à 1 ou de 2 à 1.

(59) Le rapport entre deux quantités A, B, est évidemment le même que celui entre les nombres d'unités de mesure qui expriment ou que contiennent ces quantités ; car si A=4 et B=2, il est clair que la relation entre A et B est la même que celle entre 4 et 2.

En général, au lieu d'employer comme on le fait ordinairement, des lettres m, n, q, r, etc., pour servir de représentants numériques aux quantités A, B, C, D, etc., l'on fera usage des nombres ou chiffres 1, 2, 3, 4, etc., à cause de .la plus grande facilité avec laquelle ces nombres se prêtent au raisonnement mental ou aux opérations de l'esprit souvent nécessaires pour arriver à des résultats plus frappants et évidents, et par là même plus satisfaisants que ceux que l'on obtient d'ordinaire au moyen des lettres ; mais à la condition toutefois que ces chiffres 1, 2, 3, 4, etc., représenteront comme les lettres m, n, q, r, etc., qu'ils remplacent, toutes autres valeurs numériques ayant entre elles le même rapport que ces lettres.

(60) Si A, B, C, D sont quatre quantités telles que le rapport de A à B soit le même que celui de C à D, ou ce qu'

est la même chose, que la seconde soit le même multiple oq sous-multiple de la première que la quatrième de la troisième, ces quantités sont dites proportionnelles et donnent

En effet, on a déjà vu (31) que — ou le quotient de A divisé par B indique le rapport entre ces deux quantités ; mais le rapport de C à D est par hypothèse égal à celui de A à By

A C donc-=-. D'ailleurs, soit A=4, B=2, C=6, D=3, ou

aura 4 à 2 comme 6 à 3, or |=2 et |=2, donc |=| et toutes autres valeurs numériques proportionnelles que l'on assignerait aux quantités A, B, C, D, donnerait évidemment des résultats semblables (59).

(61) Eéciproquemeut, si ———, on aura A à B comme G

à D ; car si deux paires de quantités ayant l'une à l'autre le

même rapport, donnent par division des quotients égaux

(60), de même deux paires de quantités à quotients égaux

seront proportionnelles.

En effet, puisque par hypothèse :j^=~ j soit A=4, B=2,

A4^ .C^-, Cî„^

l'on aura —=-=2 ; mais -=r:, donc -=2; donc, quelle que B 2 D B D

soit la valeur numérique que l'on assigne à la quantité C, celle D ne pourra avoir que la moitié de cette même valeur

pour produire un quotient— égal à celui — ; car si D était

plus que moitié de C, il ne serait pas contenu 2 fois dans C,

c.-à-d. le quotient — serait moindre que 2, et siD était <| C,

la division donnerait un quotient plus grand, et toutes autres valeurs numériques qu'on assignerait aux quantités A, B, C, donneraient évidemment des résultats semblables (59) ; donc, quel que soit le rapport de A à B, si celui de C à D lui est égal, on aura A à B comme C à D.

(62) Pour indiquer que le rapport de A à B est égal à celui de C à D, on écrit A : B : : C : D ou A : B=C : D ; ce qui s'énonce A à B comine C à D. Cette égalité de deux rapports constitue ce qu'on appelle une proportion.

(63) Les quantités que l'on compare sont appelées Termes de la proportion. Au premier, A, et dernier D, on donne le nom d'Extrêmes et au second B et troisième C, celui de Moyens.

f64) Des quatre quantités proportionnelles, la première et la troisième sont appelés Antécédents et la seconde et dernière Conséquents ; et la dernière est dite Quatrième proprotionnelle aux trois autres prises par ordre.

Rien n'empêche cependant de considérer comme quatrième proportionnelle, l'un quelconque des quatre termes delà proportion. Si par exemple A : B :: C : D, l'on pourra regarder A comme étant quatrième proportionnelle relativement aux trois autres quantités B, C, I), de même que B le serait par rapport à A, C, D, on C par rapport à A, B, D.

(65) Trois quantités A, B, C sont proportionnelles quand le rapport de la première à la seconde est le même que celui de la seconde à la troisième. Dans ce cas la seconde est appelée Moyenne Proportionnelle entre les deux autres, et la dernière Troisième Proportionnelle aux deux autres.

A B En eflèt soit A a B comme B à C, l'on aura (60) — =-,

comme dans le cas de quatre quantités proportionnelles, ce qui (61) donne A : B :: B : C.

(66) Deux quantités sont réciproquement proportionnelles, lorsqu'une d'elles augmente dans le même rapport que l'autre diminue. Dans ce cas l'une d'elles est toujours égale à une quantité constante divisée par l'autre, et leur produit est constant.

En effet soient A, B, les deux quantités et AxB leur produit =100 ; si l'on fait A=10, il est clair que B sera aussi =10, puisque 100^10=10 ou que 10x10=100. Si l'on fait

A=20 on aura B=5 ; car 20X5=100, et ainsi de, suite. D'ailleurs, il est clair que B étant le quotient de A.B par A ou de 100 par A, A.B ou 100 est aussi le produit de B par A, et puisque ce produit est constant, il faut qu'une des deux quantités augmente à mesure que l'autre diminue ; car, si pendant qu'on augmente le diviseur le quotient restait constant ou augmentait aussi, il est évident que le produit du diviseur par le quotient donnerait une quantité plus grande que 100 qui par hyp. est égale à la quantité constante. Toutes autres valeurs numériques que l'on assignerait à A, B, donneraient évidemment des résultats semblables.

L'inverse de ce qui vient d'être énoncé est également vrai ; c.-à-d. si le produit de deux quantités est constant, ou si l'une de ces quantités est toujours égale à une quantité constante divisée par l'autre, ces deux quantités seront réciproquement proportionnelles.

(67) A part la signification du mot Réeiproquemnet, telle que donnée dans le dernier par., dans l'expression " quantités réciproquement proportionnelles," ce mot signifiera ordinairement que si une proposition est vraie, l'inverse de cette proposition est aussi vrai. Par exemple, lorsqu'on dit " les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux et réciproquement ;" le mot réciproquement ainsi employé signifie que l'inverse de cet énoncé est également vrai, c.-à-d. que " lorsque les angles à la base d'un triangle sont égaux ce triangle est isocèle."

REMAHaUE.

Les propositions de la Géométrie, comme de toute autre science exacte, sont des vérités générales et comme telles doivent s'énoncer en termes généraux et sans l'usage de figures particulières.

Cependant, à dessein de fixer l'œil et de fiiciliter à l'esprit la faculté de l'abstraction que la Géométrie a surtout pour

but de fortifier, les termes généraux qui servent à renonciation de ces vérités sofit imprimés en caractère plus noir et de manière à fournir dans chaque cas un sens complet, indépendamment du reste du texte de la proposition.

Pour rendre ce traité aussi concis que possible, on a cru devoir dans chaque cas intercaler dans le texte de renonciation les lettres nécessaires pour renvoyer de suite aux figures emploj'ées dans la démonstration de l'énoncé. On évite de cette manière la nécessité d'une double énonciation comme celle d'Euclide et de beaucoup d'autres auteurs, puisqu'on lisant d'abord le texte avec l'omission des lettres et autres mots intercalés, l'on obtient une énonciation abstraite ou générale; tandis que cette même énonciation devient concrète ou particulière, en faisant entrer en compte les lettres et mots intercalés.

Ainsi, prenant pour exemple l'énoncé de la prop. YIII qui est comme suit, " les côtés AB, CD et AC, BD, et les angles C, B et A, D opposés d'un parallélogramme AD sont égaux et la diagonale CB bissecte le parallélogramme, c.-à-d. le partage en deux triangles égaux ABC, DBC ;" cet énoncé sera concret ou particulier, c.-à-d. s'appliquera à la figure dans le texte en lisant les lettres de renvoi ; mais deviendra abstrait ou général en omettant ces lettres comme ci-dessous. " Les côtés et les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux et la diagonale bissecte le parallélogramme, c.-à-d. le partage en deux triangles égaux," et comme tel s'entendra de tout autre

parallélogr. qu'on pourrait concevoir, c.-à-d. d'un parallélogr. quelconque.

De même, au Corollaire 4 de la proposition suivante, les parties du texte qui sont en caractère noir suffisent seules pour attirer l'attention sur le problème proposé, celui de " faire un parallélogramme égal à lui triangle donné et ayant un angle égal à un angle donné," et comme dans le dernier cas, cet énoncé devient concret, lorsqu'on le lisant on fait entrer en compte les lettres de renvoi qui s'y rencontrent.