AXIOMES

(68) Les quantités qui sont égales à une même quantité ou à des quantités égales sont égales entre elles.

(69) Les quantités qui sont moitiés ou doubles d'une même quantité ou de quantités égales sont égales entre elles, et :

(70) Cor. En général (45) les quantités qui sont des multiples ou sous-multiples égaux quelconques d'une même quantité ou de quantités égales sont égales entre elles.

(71) Seo. Etre égal à une quantité, double ou moitié de cette quantité ou un multiple ou sous-multiple quelconque de cette quantité, n'est autre chose que d'avoir à cette quantité un certain rapport (58), soit celai de l'égalité ou celui de 2 à 1, ou de I à 1, ou, etc. Si deux quantités, par exemple, sont chacune les f d'une autre quantité, elles ont à cette quantité le même rapport, c.-à-d. celui de 2 à 3 ; et en général : si deux quantités sont chacune le même multiple ou sous-multiple quelconque d'une autre quantité elles ont à cette quantité le même rapport ; donc :

(72) Les quantités qui ont le même rapport à une autre quantité sont égales entre elles, et celles auxquelles la même quantité a le même rapport sont égales entre elles.

(73) Si deux ou plusieurs quantités ont l'une à l'autre un rapport donné, les multiples ou sous-multiples égaux de ces quantités auront aussi entre eux le même rapport.

Si deux quantités A, B, par exemple, ont l'une à l'autre le rapport de 1 à 2 ou de 2 à 3, les doubles, triples, etc., de ces quantités, ainsi que leurs moitiés, tiers, etc., auront l'uii à l'autre le même rapport de 1 à 2 ou de 2 à 3, ce qui est clair.

(74) Sco. Les rapports entre deux ou plusieurs quantités ne sont autre chose que des nombres (58), et les nombres égaux à un même nombre sont égaux entre eux (68, Ax.) ; donc :

(75) Les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux. Si A : B : : C : D et E : F : : C : D, l'on aura par cet axiome A : B :: E : F, ce qui est évident ; car si le rapport de C à D est celui de 2 à 3 ou tout autre, chacun des autres rapports sera aussi celui de 2 à 3 ou le même que celui de C à D et ces rapports seront égaux.

(76) Si à des quantités égales, on ajoute des quantités égales, les touts seront égaux ; et si on leur ajoute des quantités inégales, les touts seront inégaux.

(77) Si de quantités égales, on soustrait des quantités égales ou inégales, les restes seront égaux ou inégaux suivant le cas.

(78) Si l'on multiplie des quantités égales par des quantités égales, ou inégales, les produits seront égaux ou inégaux suivant le cas ; car, multiplier une quantité, n'est autre chose qu'ajouter cette quantité à elle-même un certain nombre de fois, ce qui réduit cet ax. à celui du paragraphe (76).

(79) Si l'on divise des quantités égales par des quantités égales ou inégales, les quotients seront égaux ou inégaux suivant le cas ; car, diviser une quantité, n'est autre chose que sdHistraire de cette quantité une autre quantité un certain nombre de fois, ce qui indique l'analogie de cet ax. à celui du paragraphe (77).

(80) Sco. Puisque (59) les rapports entre quantités ne sont autre chose que des nombres, ou peuvent toujours s'exprimer en nombres (47) ; un rapport composé d'autres rapports est un nombre composé d'autres nombres ; mais par les quatre derniers axiomes, les opérations faites sur des quantités égales donnent pour résultats des quantités égales ou inégales, suivant que les termes et fiacteurs sont égaux ou inégaux, et les nombres sont des quantités (24) ; donc :

(81) Les rapports qui sont composés des mêmes rapports sont égaux entre eux. Par exemple, si l'on a A à B à C comme D à E à F, on aura par cet axiome A : C :: D : F, ou le rapport de A à C qui est composé de ceux de A à B et de B à C est égal à celui de D à F qui est composé de ceux de D à E et de E à F. Si A, B, C=2, 4, 8 et B, E, F=3, 6, 12, on aura 2 : 8 :: 6 : 12, puisque 2 est le quart de 8 comme 3 est le quart de 12, et toutes autres valeurs numériques proportionnelles que l'on assignerait aux quantités A, B, C et D, E, F, donneraient des résultats semblables ; donc, etc.

Si les rapports à comparer étaient composés chacun de plus de doux rapports, leur égalité serait non moins évidente.

(82) Les quantités égales ont à la même quantité le même rapport ; c.-à-d., si deux quantités sont égales et que l'une d'elles ait à une troisième quantité un certain rapport, l'autre aura à cette troisième quantité le même rapport (71) ; ce qui est clair.

(83) Réciproquement, Si une quantité est à une seconde quantité dans un certain rapport, elle aura le même rapport à toute autre quantité égale à la seconde.

(84) Le tout est égal à la somme de ses parties.

Cor. Le tout est plus grand que l'une quelconque de ses parties.

(85) Les grandeurs qui coincident l'une avec l'autre, c'est-à-dire qui remplissent exactement le même espace sont égales entre elles.