THÉORÈME I
(86) Quand quatre quantités A, B, C, D sont proprotionnelles, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.
En cfiet, puisque A, B, C, D sont quatre quantités quelconques de même espèce, et que (59) le rapport entre ces quantités est le même que celui entre les nombres d'unités
de mesure qui les composent ; soient 4, 2, 6, 3 leurs représentants numériques ; on aura 4 : 2 :: 6 : 3, et (60) -^=^ ; mais le premier terme 4=2X3 ^^ 4x3^ 2X6; c,-à-d. le produit du premier terme par le dernier est égal à celui du second terme par le troisième, et toutes autres valeurs numériques proportionnelles de A, B, C, D donneraient le même résultat ; donc, etc.
(87) Cor. S'il n'y a que trois quantités proportionnelles A, B, C, telles que A : B ::B : C (65), on aura le produit des extrêmes égal au carré du moyen ; car
axc=bxb=bI
THÉOR. II.
(88) Si le produit de deux quantités A, D, est égal à celui de deux autres quantités B, C, deux de ces quantités sont les extrêmes d'une proportion dont les deux autres sont les moyens.
En effet, s'il était possible que dans ce cas le rapport de A à B ne fat pas le même que celui de C à D, il arriverait aussi dans ce même cas que quatre quantités non proportionnelles A, B, 0, D donneraient le produit des extrêmes égal à celui des moyens. Soient 4, 2, 6, 2 les représentants numériques de ces quantités, l'on aura 4X2=8, produit des extrêmes, et 6X2=^12, produit des moyens. Or le produit des extrêmes est dans ce cas plus petit que celui des moyens.
En second lieu, soit D=4 ; on aura pour A, B, C, D, les valeurs 4, 2, 6, 4, ou 4X4=^16, produit des extrêmes, contre 2X6=12, produit des moyens; et dans ce second cas le produit des extrêmes est encore inégal à celui des moyens, étant plus grand que ce produit.
Mais 2, 4 sont des valeurs numériques quelconques assignées à la quantité D, ayant à C, la première un rapport plus petit et la seconde un rapport plus grand que le rapport de B à A, et ni l'une ni l'autre de ces valeurs n'a pu donner le produit des extrêmes égal à celui des moyens.
Il est donc de rigueur que les quatre quantités soient pro-
portionnelles pour que le produit des extrêmes soit égal à celui des moyens, et réciproquement si le produit des extrêmes est égale à celui des moyens les quatre quantités sont proportionnelles; donc, etc.
(89) Cor. Si le produit de deux quantités est égal au carré d'une autre quantité, cette dernière est moyenne proportionnelle entre les deux premières.
(90) Seo. 1. PROB. Il suit du dernier théorème que pour trouver une quatrième proportionnelle J) à trois quantités données A, B, C, il n'y a qu'à faire (24) le produit des moyens B, C, et diviser ce produit par l'extrême connu A, pour avoir le quatrième terme D. Si le terme inconnu est un des mo3''ens, on le trouvera également en divisant par l'autre moyen le produit des extrêmes.
En eflet, soient 4, 2, 6, les représentants numériques (59)
BxC 2x6 de A, B, C ; l'on aura D= = =3 ; or 4 : 2 :: 6 : 3,
puisque 3X4=2X6 (88) ou que d'ailleurs 3 est moitié de 6 comme 2 est moitié de 4 ; et toutes autres valeurs numériques de A, B, C, prouveraient de même la solution du problême.
(91) Sco. 2. PROB. Puisque, si l'on a A : B :: B ; C (87), AxC=BxB=B , il est clair que pour trouver une moyenne proportionnelle à deux quantités données, il faut faire le produit de ces deux quantités et extraire la racine (37) carrée de ce produit.
(92) Seo. 3. PROB. Trouver une troisième proportionnelle à deux quantités données A, B, se fera évidemment en carrant le terme moyen, c.-à-d. (35) en le multipliant par lui-même et en divisant ce produit par l'extrême connu. Soit A=8, B=4, on auraBxB ou B^=4X4 ou 4^=16, et 16-^8=2 qui est la troisième proportionnelle cherchée; mais 8 : 4::4 : 2 puisque chacun des antécédents est double de son conséquent respectif, et tontes autres valeurs numériques assignables à A, B, donneraient le même résultat.
PEINCIPES, ETC. 27
THÉOR. III.
(93) Si quatre quantités quelconques A, B, C, D sont proportionnelles, elles le sont encore par Inversion ou Invertendo ; c'est-à-dire en prenant antécédents pour conséquents et conséquents pour antécédents.
La Proportion A: B :: C : D donnera donc par inversion B : A::D : C. Soit A=4, B=2, C=6, D=3, on aura (59)
2 : 4 :: 3 : C, ce qui est clair puisque 2 est moitié de 4 comme
3 est moitié de 6. D'ailleurs, 2x6=4x8 (88) et toutes autres valeurs numériques proportionnelles que l'on supposerait aux quantités sous considération donneraient le même résultat ; donc, etc.
THÉOR. IV.
(94) Quatre quantités proportionnelles, le sont encore alternando ; c.-à-d., si A : B :: C : D, on aura en prenant ces quantités alternativement A : C : : B : D.
En efiet, si comme auparavant A=4, B=2, C=6, D=3, on aura A=4 : C=6 :: B=2 : D=3, ou 4 : 6 :: 2 : 3 puisque 4 sont les f de G et 2 les | de 3 ; d'ailleurs, on a toujours (88) 4X 3=6X2 ou AxD=BxC et tous autres représentants numériques proportionnels des quantités A, B, C, D, donneraient évidemment le même résultat ; donc, etc.
THÉOR. V.
(95) Quatre quantités proportionnelles le sont encore par Composition ou Componendo, ce qui signifie que si A : B :: C : D, on aura A+B : B :: C+D : D, ou la somme des deux premiers termes est au second terme, comme la somme des deux derniers termes est au quatrième terme.
En effet, supposant toujours à A, B, C, D, les mêmes valeurs numériques 4, 2, 6, 3, on aura pour l'expression
A+B:B::C+D:D, celle 4+2 : 2 :: 6+3: 3 ; mais 4+2=6 et 6+3=9 et 6 : 2 :: 9 : 3, ce qui est encore évident puisque 2 est le tiers de 6 et 3 le tiers de 9, ou que (88) 6x3=2x9 ; et tous autres représentants numériques proportionnels de A, B, C, D donneraient le même résultat ; donc, etc.
THÉOR. VI.
(96) Quatre quantités proportionnelles, le sont encore par Division ou Diyidendo ; c.-à-d. si A : B :: C : D, on aura par ce théorème A^ — B : B :: C — D : D, ou la différence entre le premier antécédent et son conséquent est à ce conséquent comme la différence entre le second antécédent et son conséquent est à ce conséquent.
En effet, prenant encore 4, 2, 6, 3 pour représentants numériques des quatre quantités dont il s'agit, on remplacera l'expression A— B : B :: C— B : B, par celle 4—2 : 2 :: 6—3 : 3 ou par 2 : 2 :: 3 : 3, puisque 4—2=2 et 6—3=^3, ce qui donne toujours le produit des extrêmes 2x3 égal à celui des moyens et prouve (88) que les quantités sont proportionnelles ; car tous autres représentants numériques proportionnels des quantités dont il s'agit donneraient le même résultat ; doue, etc.
(97) Sco. On vient de voir par les deux derniers théorèmes que si l'on augmente ou si l'on diminue les antécédents de quatre proportionnelles, de quantités égales aux conséquents, ces antécédents ainsi augmentés ou diminués seront encore proportionnels aux conséquents ; mais augmenter ou diminuer les antécédents d'une proportion, de quantités éo-ales aux conséquents, n'est autre chose qu'augmenter ou diminuer ces antécédents de quantités ayant entre elles le rapport des conséquents, et les multiples ou sous-multiples quelconques de ces conséquents ont entre eux le même rapport que les conséquents eux-mêmes (73) ; donc :
Cor. 1. En général si l'on augmente ou si l'on diminue les antécédents d'une proportion, de quantités propor-
tionnelles aux eonséquents,les conséquents seront encore proportionnels aux quantités résultantes.
Cor. 2. Si l'on augmente ou si l'on diminue les conséquents d'une proportion de quantités proportionnelles aux antécédents, les antécédents seront encore proportionnels aux quantités résultantes ; car, alternando, l'énoncé deviendrait le même que celui du dernier cor.
THÉOR. VII.
(98) Quatre quantités proportionnelles le sont aussi par conversion ou convertendo ; c'est-à-dire eu comparant le premier antécédent avec la difierence entre cet antécédent et son conséquent, et le second antécédent avec la différence entre cet antécédent et son conséquent.
De cette manière A : B :; C : D donnera A : A — B :: C : C — D, ou 4 : 2 :: 6 : 3 s'écrira 4 : 4—2 :: 6 : 6—3 ; mais 4—2=2, et 6 — 3=3, et 4: 2 :: 6 : 3 puisque comme toujours 4X3^2x6, et que toutes autres valeurs numériques proportionnelles que l'on pourrait assigner à A, B, C, D, donneraient le même résultat ; donc, etc.
THÉOR. VIII.
(99) Si dans deux séries de quantités proportionnelles, les antécédents sont les mêmes, les conséquents seront proportionnels .
Soient A:B::C:D et 4:2::6:3 leurs représentants numériques ; soient aussi A : E :: C : F et 4 : 8 :: 6 : 12 leurs représentants numériques ; il est à démontrer que B : D :: E : F ou que 2: 3:: 8: 12.
En effet le produit des extrêmes 2X12=24 est égal à celui des moyens 3X8=24 (86) et d'ailleurs on voit que 2 sont les deux tiers de 3 de même que 8 sont les |- de 12 et tous autres représentants numériques proportionnels des quantités A,B, C, etc., donneraient le même résultat ; donc, etc.
30 GÉOMÉTHIE.
(100) Sco. On prouverait aussi les antécédents proportionnels si les conséquents étaient les mêmes.
(101) Cor. Si dans deux séries de quantités proportionnelles il y avait un antécédent et un conséquent de la première respectivement égaux à un antécédent et conséquent de la seconde, les autres termes seraient proportionnels ; car, alternando, c'est-à-dire (94) eu faisant le premier terme au troisième comme le second au quatrième dans chacune des séries, renonciation deviendrait la même que celle de ce théor. et se démontrerait de la mêriie manière.
THÉOE. IX.
(102) Si l'on a un nombre indéfini de quantités proportionnelles ; l'un quelconque des antécédents sera à son conséquent comme la somme de tous les antécédents à celle de tous les conséquents.
Soit A : B:: C : D ::E : F etc., on aura d'après ce théor. A:B::A+C+E:B+D+F. Puisque A:B::C:D, on a (86) AXD=BXC et puisque A : B ::E : F (75, Ax.), on a AXF=BxE; ajoutons à ces produits ceux AxB=BxA et l'on a A.B+A.D+A.F=B.A+B.C+B.E, c'est-à-dire AX (B+D+F)=BX(A+C+E) ; donc (88) A:B::A+C+E:B +D+F ; donc, etc.
THÉOR. X.
(103) S'il y a deux séries de quantités proportionnelles ; les produits des termes correspondants seront proportionnels.
Soit A : B :: C : D et E : F :: G : H, on aura AxE : BxF :: CxGrDXH; car, puisque Axr>=BxC et ExH=FxG l'on a AXDXEXH=BXCXFXG0U AxE,xr)XH=BxF, XCXG ; or, si les produits de deux paires de quantités sont égaux ces quantités sont proportionnelles (88) ; donc AX E:BXF::CXG:DXH.
D'ailleurs, si les représentants numériques des deux proportions sont respectivement 4, 2, 6, 3 et 3, 4, 6, 8, on devra avoir par ce théor. 4x3 : 2X4 :: 6x6 : 3x8 ou 12 : 8 :: 36 : 24; or 12x24=8X36, et tous autres représentants numériques proportionnels des quantités A, B, C, etc., donneraient le
même résultat ; donc, etc.
Autrement. Puisque A : B :: C : D, on a — = — et puisque
E G E : F :: G : H, on a ~=~ ; mais si l'on multiplie des quantités égales par des quantités égales, les produits seront
A E C G AXE CXG égaux (78, Ax.); ^^onc-X-=-X- ou ^^=^-^; d'où
l'on tire, comme auparavant, AxE : BxF : : CxG : DxH.
(104) Cor. 1. Il est clair que si l'on remplace E, F, G, II dans ce théor. par A, B, C, D, on aura AxA: BxB : : Cx CrDxD ou A^;B^::C^:D'^ et si A^:B^::C^:D^ est l'une des séries données et A : B : : C : D l'autre série, il est de même évident que l'on aura A' : B : : C : D' ; c'est-àdire : si quatre quantités sont proportionnelles, leurs carrés et cubes seront aussi proportionnels.
On peut de la même manière démontrer que les puissances ou racines égales quelconques de quantités proportionnelles sont proportionnelles.
(105) Cor. 2. Les termes F, F, G, H du second rapport du théor. pouvant se remplacer par ceux E : F : : E : F, on aura AxE : BxF : : CxE : DxF ; ou, ce qui revient au même, si de quatre quantités proportionnelles on prend des multiples ou sous-multiples égaux quelconques des devix antécédents, et des multiples ou sous-multiples égaux quelconques des deux conséquents ; les autres quantités résultantes seront proportionnelles.
ET
