compl. arith

différence= 1.169378 ; en retranchant 10, dif.=1.169378.

On a donc, pour toutes les proportions de la trigonométrie, la règle suivante: ajouter ensemble le complément arithmétique du logarithme du premier terme, le logarithme du second terme et le logarithme du troisième terme, et leur somme, diminuée de 10, sera le logarithme du quatrième terme.

2° Si une expression quelconque contenait deux ou plusieurs compléments arithmétiques, il faudrait en retrancher 20 ou autant de fois 10, que de compléments arithmétiques dans l'expression donnée. Et si l'on voulait avoir le comp. arith. d'un log. 11.234567, 13.456789, etc. ou d'un log. quelconque plus grand que 10, on prendrait ce comp.

arith. relativement à 20, pour diminuer ensuite d'autant l'expression qui contiendrait ce comp. arith.

(1278) Si l'on calcule et que l'on dispose en forme de table, les logarithmes de tous les nombres depuis 1 jusqu'à un nombre donné, cette table est appelée table de logarithmes. La table, qui se trouve à la fin de ce traité donne les logarithmes de tous les nombres depuis 1 jusqu'à 10000.

La première colonne, à la gauche de chaque page de la table, est la colonne des nombres, et est désignée par la lettre initiale N" placée en tête ; la partie décimale des logarithmes de ces nombres est placée vis-à-vis, sur la même liffne horizontale.

La caractéristique du logarithme, laquelle, comme on l'a vu (1273) est toujours connue, étant moindre, d'une unité, que le nombre de chiffres entiers dans le nonjbre donné, est pour cette raison, omise dans les tables, dans le but de sauver l'espace.

PROBLÈME I

Trouver, au moyen de la table, le log. d'un nombre quelconque.

1er Cas.

Quand le nombre est moindre que 100.

(1279) Cherchez dans la colonne N de la première page de la table, jusqu'à ce que vous trouviez le nombre donné; le nombre situé tout vis-à-vis, dans la colonne marquée log., est le logarithme voulu.

2èine Cas.

Quand le nombre est plus grand que 100, et moindre que 10,000.

(1280) Trouvez, dans la colonne des nombres, les trois premiers chiltres du nombre donné. Passez alors, horizontalement, aux colonnes marquées 0, 1, 2, 3,4, etc., jusqu'à ce que vous arriviez à la colonne désignée par le quatrième chiflre du nombre donné ; à la gauche des quatre chifires du log. ainsi trouvé, écrivez les deux premiers chiffres de la colonne marquée G, lesquels sont sous-entendus dans toutes les autres colonnes 1, 2, 3, 4, etc., étant les mêmes pour toutes ces colonnes, et, comme la caractéristique, omis dans la table, pour sauver l'espace et rendre le tout plus succint et concis. Vous aurez alors la partie décimale du logarithme cherché, que vous ferez précéder de sa caractéristique, laquelle comme on vient de le voir, doit toujours être moindre, d'une unité, que le nombre d'entiers dans le nombre donné. Ainsi le log. de 1122 est 3.049993, celui de 112.2 est 2.049993, celui de 11.22 est 1.049993, celui de 1.122 est 0.049993, et celui de .1122 est T.049993, la partie décimale du log. étant toujours la même, pour les mêmes chiffres dans le nombre donné, que ces chiffres soient des entiers ou des décimales ; pendant que la différence dans la valeur de l'ensemble de ces chiffres, telle qu'indiquée par la position du point décimal, se trouve pleinement établie par le nombre d'unités dans la caractéristique.

(1281) A dessin de fixer l'œil ou d'attirer l'attention, on a remplacé dans plusieurs des colonnes, les 0 par des points, pour faire comprendre que dans ces cas, les deux chiffres de la colonne 0, dont il faut faire précéder les quatre autres, se trouvent sur la ligne horizontale immédiatement plus basse. Ainsi, le log. de 2188 est 3.340047, dans lequel on a remplcé par des 0 les deux points placés devant le nombre 47 (..47)

de la colonne 8, et fait précéder les 0047 ainsi obtenus, des deux premiers chifi'res, 34, delà ligne suivante, dans la colonne 0. S'il n'y a pas de points à la gauche du nombre d'abord trouvé, mais qu'il s'en trouve néanmoins dans une des colonnes à gauche, et sur la même ligne horizontale ; il faudra dans ce cas, tout de même que dans le dernier, prendre dans la ligne horizontale suivante, les deux premiers chiffres de la colonne 0, pour les écrire à la gauche des quatre autres : ainsi, le logarithme de 3098 est 3.491081, les 49 de la colonne 0, se trouvant sur la ligne horizontale 310.

Sème Cas.

Quand le nombre excède 10,000 on qn'il est composé de 5 chiffres ou plus.

(1282) Considérez d'abord comme zéros (O^)tous les chiffres à la droite des quatre premiers chiffres du nombre donné. Trouvez dans la table le logarithme de ces quatre premiers chiffres. Prenez maintenant dans la colonne D, à la droite de la page, et sur la même ligne horizontale que le logarithme, le nombre qui s'y trouve, et multipliez ce nombre par les chiffres d'abord considérés comme 0* (zéros) ; retranchez maintenant de la droite du produit ainsi obtenu, autant de chiffres (décimales) qu'il y a de chiffres dans le multiplicateur (D) et ajoutez au premier logarithme le produit ainsi trouvé ; cette somme sera la partie décimale du logarithme cherché ; écrivez à la gauche la caractéristique, qui sera (1273) moindre, d'une unité, que le nombre de chiffres dans le nombre donné, et vous aurez enfin le logarithme voulu.

Soit proposé de trouver le logarithme de 672,887. Vous trouverez à la llème page de la table, le logarithme des quatre premiers chiffres 6728, savoir 827886. Le nombre correspondant, dans la colonne D, est 65, lequel multiplié par 87, les chiffres regardés comme zéros, donne 5655, duquel retranchant deux chiffres pour décimales, il reste 56.55 que

RECTILIGIÏE. 48T

l'oD ajoutera à 827886, pour avoir 827942, partie décimale du log. de 672887 ; la caractéristique est 5, puisqu'il y a 6 chiffres dans le nombre donné ; donc le log. du nombre est 5.827942. On néglige la décimale 55 du produit 56.55, augmentant au besion, d'une unité, le premier chiffre à la gauche de la décimale, quand cette décimale est plus que .5^ c.-à-d., plus qu'une demi-unité.

(1283) Cette méthode de trouver les logarithmes des nombres, à l'aide des tables, suppose que les logarithmes sont proportionnels à leurs nombres respectifs, ce qui n'est pas rigoureusement vrai. Dans l'exemple ci-dessus, le logarithme de 672800 est 5.827886 ; le log. de 672900 qui excède de 100 le dernier, est 5.827951 : la différence des logarithmes est 65. Maintenant, comme 100, différence des nombres 672800 et 672900, est à (:) 65, différence de leurs logarithmes, de même (::) 87, différence entre le nombre donné 672887 et le nombre 672800, est à (:) la différence de leurs logarithmes, laquelle est 56.55 ; cette différence étant ajoutée à 5,827886, logarithme du moindre nombre 672800, donne 5.827942 pour le logarithme du plus grand 672887. L'utilité de la colonne des différences est de là évidente.

(1284) On a déjà fait remarquer que le logarithme d'une fraction vulgaire, est égal %u logarithme du numérateur, moins le logarithme du dénominateur; de là donc, le moyen de trouver, au besoin, le logarithme d'une telle fraction ; et d'après ce qu'on a dit (1275) des logarithmes des fractions décimales, il est clair qu'on trouvera le logarithme d'une fraction décimale quelconque, en considérant cette fraction comme nombre entier, et en faisant ensuite précéder la partie décimale de son logarithme, d'une caractéristique négative, plus forte, d'une unité, que le nombre de zéros entre le point décimal, et le premier chiffre significatif de la fraction. Ainsi, le log. de .0412 est "2^614897, celui de .00412 est'3.614897, celui de .000412 est'4.614897, et celui de .412 est 0.614897.

PROBLÈME II

Trouver, par la table, le nombre qui répond à un logarithme donné.

(1285) Cherchez, dans la colonne des logarithmes, la partie décimale du logarithme donné, et si vous le trouvez exactement, prenez le nombre qui lui correspond. Alors, si la caractéristique du log. donné est positive, séparez par la gauche du nombre trouvé, un chiffre de plus, pour entiers, qu'il y a d'unités dans la caractéristique du log. donné, et re2:ardez les chifires restants comme décimales ; ceci donnera le nombre cherché.

Si la caractéristique du log. donné est 0, il y aura un cliiflre ou seulement une place d'entiers ; si la caractéristique est T, le nombre sera entièrement décimal ; si la caractéristique est 2, il y aura un 0 entre le point décimal et le premier chiffre valant ; si l'on a 3 pour caractéristique, il y en aura 2, et ainsi de suite. Le nombre dont le log. est 1.492481 se trouve, page 5, et est 31.08 ; si le log. était 1.492481, le nombre correspondant serait .3108 et si le log. était 12.492481, le nombre correspondant serait .03108, ou 3.108 si le log. était 0.492481. •

(1286) Mais si l'on ne peut trouver exactement, dans la table, la partie décimale du logarithme, prenez le nombre qui répond au logarithme moindre suivant ; prenez aussi la différence correspondante dans la colonne D ; soustrayez maintenant ce moindre logarithme du logarithme donné, et après avoir ajouté à la droite du reste, ainsi obtenu, un nombre sufiisant de zéros, divisez ce reste par la différence provenant de la colonne D, et ajoutez le quotient à la droite du nombre qui répond au moindre logarithme. Cette opération donnera, à peu de cliose près, le nombre requis. Cette règle, come celle qui enseigne à trouver le log. d'un nombre de plus de 4 chiffres, suppose que les nombres sont

proportionnels à leurs logarithmes correspondants, ce qui, comme nous l'avons déjà dit, n'est pas strictement vrai.

Ex. 1. Soit à trouver le nombre qui répond au logarithme