Ici le log. donné est

Le log. moindre suivant, et qui répond au nombre 34.09, est 1.82627

La difterenco entre ces logarithmes est 81

Et la ditference dans la table, colonne D, est 128 ; de là, ajoutant à la droite de 81, le nombre nécessaire de zéros pour que la division puisse se faire, on a 8L00 divisé par 128=63, résultat qui, étant écrit à la droite du nombre 34.09 déjà trouvé, donne 34.0963 pour le nombre correspondant au logarithme donné 1.532708.

Ex. 2. On demande le nombre qui répond au log. 3.233568 Le logarithme moindre suivant, celui de 1712 est. ..3.233504

La diftërence entre ces logarithmes = 64

La diiiérence prise dans la table, colonne D, =253) 64.00 (25.

De là, le nombre voulu est 1712.25, la caractéristique 3 répondant à quatre entiers.

TABLES DES SINUS, TANGENTES, Etc., LOGARITHMIQUES.

(1287) Dans cette table, se trouvent, les logarithmes des valeurs numériques des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes, de tous les arcs ou angles du quart-de-circ. divisé à la minute, et calculés pour un rayon égal à 10,000,000,000. Le logarithme (1265) de ce rayon est 10. Sur la première et la dernière ligne horizontale de chaque page sont écrits, les dégrés dont les sinus, etc., logarithmiques sont exprimés sur la page. Les colonnes verticales à la gauche et à la droite de chaque page sont des colonnes de minutes.

PROBLÊME I

Trouver dans la table, le sinus, cosinus, tangente ou eotangente logarithmique d'un arc ou d'un angle donné quelconque.

(1288) Si l'angle donné est moindre que 45°, regardez à la première ligne horizontale des diverses pages, jusqu'à ce que vous trouviez le nombre de dégrés ; descendez alors la colonne des minutes, à la gauche de la page, jusqu'à ce que vous arriviez au nombre indiquant les minutes; passez alors horizontalement à la colonne désignée sinus, cosinus, etc., suivant le cas, et le nombre que vous y trouverez est le logarithme requis. Ainsi, le sinus, cosinus, tangente, cotaugente de 19° 55' se trouvent, page 37 de la table, vis-àvis de 55, et sont respectivement 9.532312, 9.973215, 9.559097, 10.440903.

(1289) Si l'angle donné est plus grand que 45°, cherchez les dégrés sur la ligne horizontale au bas des difîerentes pages, et vous trouverez les minutes en remontant dans la colonne de droite ; passez alors horizontalement à la colonne désignée tang., cotang., sinus, cosinus, suivant le cas, et le nombre trouvé sera le logarithme voulu.

(1290) On verra que la colonne désignée ' sinus ' au haut de la page, est désignée ' cosinus ' au bas de la page ; celle qui est désignée 'tangente,' devient * cotangente,' et de même 'cosinus ' au haut de la page est désignée ' sinus ' au bas, et 'cotang.,' 'tang.' L'angle qu'on obtient, en prenant les degrés au haut de la page et les minutes dans la colonne de gauche, est le complément de l'angle indiqué par les dégrés au bas de la page et par les minutes dans la colonne de droite, et sur la même ligne horizontale. Ceci étant évident, l'on voit de suite pourquoi les colonnes désignées sinus, cosinus, tang., cotang., quand les dégrés se trouvent au haut de la page et les minutes en descendant à gauche,

EECTILIGNE. 491

deviennent nécessairement, cosinus, sinus, cotang., tang., quand on trouve les dégrés au bas de la page et les minutes en montant à droite ; car, comme on l'a fait voir (1224) le sinus, cosinus, tang. et cotang. d'un angle, est en même temps le cosinus, sinus, cotang. et tang. du complément de cet angle. , .

(1291) Si l'angle donné est plus grand que 90°, on n'a qu'à le soustraire de 180° et à prendre (1221) le sinus, cosinu3,»tang. ou cotang. du reste, c'est-à-dire du supplément de l'angle donné.

(1292) On a omis, dans- les tables, les sécantes et cosécantes, que Ton peut obtenir aisément, à l'aide des sinus et

cosinus; car (1228) séc. = ; ou, en prenant les logarith-

cos.

mes : log. séc. = 2 log. R — log. cos.= 20 — log. cos. ; c'.à-d., la sécante logarithmique se trouve en soustrayant de 20

le cosinus logarithmique. La coséc. = (1226) —. — , ou le

^ sin.

log. coséc. = 2 log. R — log. sin. = 20 — log. sin. ; c.-a-d., on obtient le logarithme de la cosécante en soustrayant de 20 le logarithme du sinus.

Ou a vu (1225) que R" = tang. X cotang ; d'où, 2 log. R =log. tang. + log. cotang; ou 20 = log. tang. + log. cotang.

(1293) La colonne qui adjoint à droite celle des sinus est désignée D, lettre initiale du mot différence. Voici comment on calcule ces dijïérences. Ouvrez la table, soit à la page 42, vous trouverez le sinus de 24°, égal à 9.609313 . celui de 24° 1' = 9.609597 ; leur difiéreuce est 284 que l'on divise par 60, nombre de secondes dans une minute, pour, avoir le quotient 4.73, que l'on trouve consigné dans la table, colonne D, vis-à-vis de 24°, avec l'omission cependant du point décimal, dont on tient toujours compte néanmoins, en se rappelant que les deux derniers chiffres sont décimaux. L'opération que l'ou vient de faire pour trouver la différence

4,73 de sinus correspondant à une différence de 1" dans l'angle donné, est évidemment fondée sur la supposition que l'accroissement du sinus logarithmique est proportionnel à l'accroissement correspondant de l'arc, et il en est ainsi, à très près, pour 60" ; il suit que 4.73, ou comme on l'a dit, 473, en tenant compte du point décimal omis, est l'accroissement du sinus pour 1". De même, si Parc est 24^ 20', l'augmentation du sinus pour l" est 465 ou 4.65, en tenant compte du point décimal. Les mêmes observation^ s'appliquent à la colonne D après la colonne cosinus, et à la colonne D entre les tangentes et cotangentes. Si la colonne D entre les tangentes et cotangentes répond à chacune de ces colonnes, c'est que comme on l'a vu (1292) la somme des tangente et cotangente logarithmiques d'un arc quelconque est 20, ou log. tang. + log. cotang. = 20 ; d'où il suit, qu'étant donnés deux arcs a et b, on a log. tang. b + log. cotang. b = log. tang. a + log. cotang. a, ou log. tang. b — log. tang. a = log. cotang. a — log. cotang. b.

(1294) Soit maintenant à trouver le sinus logarithmique d'un angle exprimé en dégrés, minutes et secondes: on •opérera comme auparavant pour les dégrés et minutes; on multipliera ensuite, par les secondes, la difierence pour une seconde, trouvée dans la colonne D, et l'on ajoutera ce produit, dont on regardera comme décimales les 2 chiffres de droite, au sinus d'abord trouvé, pour avoir le sinus de l'arc donné.

Ex. 1. Si l'on veut avoir le sinus de 40° 26' 28".

Le sinus de 40» 26' est 9.811952

La différence pour une seconde est 247 Laquelle multipliée par le nombre

de secondes 28

Donne pour produit 69.16 69.16

Ce produit 69.16 ajouté au sinus de 20^^ 46', dcnne

pour sinus de 40° 26' 28" le log 9.812021.16

On trouve d'une manière analogue la tangente d'un arc

dans lequel il y a des secondes. Pour ce qui est du cosinus et de la cotangente, il faut se rappeler que ces lignes croissent ou augmentent pendant que les arcs diminuent, et décroissent pendant que les arcs augmentent, ce qui rend nécessaire de soustraire, au lieu d'ajouter, les nombres proportionnels qui répondent aux secondes.

Ex. 2. Ainsi, pour trouver le cosinus de 3° 40' 40"

On a le c&sinus de 3° 40'= 9.999110

La différence pour une seconde est 13 Laquelle multipliée par le nombre de secondes 40

Donne pour produit ...5.20

Que l'on soustrait du sinus de 3° 40' 5.20

Ce qui donne pour cosinus de 3° 40' 40" 9.999104.80

Où, en ne mettant que 6 décimales, 9.999105

PROBLÈME IL

Trouver les dégrés, minutes, et secondes qui répondent à un sinus, cosinus, tangente ou cotangente quelconque.

(1295) Si vous trouvez dans la table le logarithme donné, vous aurez au bas ou au haut de la page, suivant le cas, les dégrés, et dans la colonne de gauche ou de droite, les minutes correspondant au log. donné ; mais si le logarithme ne peut se trouver exactement dans la table, prenez les dégrés et minutes qui répondent au log. moindre suivant, et la différence correspondante, colonne D ; soustrayez le logarithme pris dans la table, du log. donné, ajoutez au reste deux zéros et divisez alors ce reste ainsi augmenté, par la différence D ; le quotient de cette division donne les secondes à ajouter aux dégrés et minutes déjà trouvés, quand il s'agit d'un sinus ou d'une tangente, ou à soustraire, dans le cas d'un cosinus ou d'une cotangente.

Ex. 1. Soit à trouver l'arc qui répond au sinus 9.880054 Soustraviuit le sinus moindre suivant, celui

de 49° 20', est 9.879963

Il reste 91 auquel ajoutant 2 zéros et divisant 181) 9100 (50'' par la différence 181 de la colonne D, il vient 50" que l'on ajoute aux 49° 20' pour avoir l'arc ou l'angle voulu 49° 20' 50". Ex. 2. Soit encore à trouver l'arc qui correspond à cotangente 10.008688

Cotang. moindre suivant, celle de 44° 26' 10.008591

Le reste 97 augmenté de 00 et divisé 421)9700(23" par 421 (D) donne 23" secondes à retrancher de 44*^ 26' pour avoir l'arc voulu.

De là, 44° 26' — 23" = 44° 25' 37" est l'arc qui correspond à la cotangente donnée 10.008688.