BC — AB

Divisant par 2) 3.690196

AC = 70,000 qui correspond au log 1.845098

On aurait encore AC par nombres naturels, comme suit : BC^ = 250 X 250 = 62500 AB^= 240 X 240 = 57600 AC = i/4900 = 70, comme

auparavant.

Différence = 4900 Ex. 2. Dans le triangle rectangle ABC, on a le côté AB = 384 mètres, et l'angle C = 53° 8' : on demande à trouver les autres parties.

Pour trouver le côté AC, on a (1307, 5). R : tang. C :: AC : AB, ou inv., tang. C : R :: AB : AC

Tang. C 53* 8' comp. arith. log. 9.875010

Esta R 10.000000

Comme côté AB S84 2.584331

Est à côté AC 287.965 (ayant rejeté 20) 2.459341

Rem. Lorsque, comme dans cet exemple, le logarithme, du complément arithmétique duquel, on se sert, excède 10, on le soustrait de 20 et on rejette alors 20 de la somme des trois logarithmes de la proportion (1277, 2°).

Trouver l'hypoténuse BC (1307, 7).

Cos. B :R:: AB :BC ou ce qui est la même chose,

8in.C:R::AB:BC

Sin. C 53° 8' comp. arith. log. 0.096892

Esta R 10.000000

Comme AB 384 2.584331

Esta BC 479.98 2.681223

Trouver BC par sinus naturels.

Sin. nat.53° 8' =.80003 : R=l::384 : 479.98, comme aup. .80003) 384.00000 (479.982 320012

160060 Ex. 3. On a, dans le triangle rectangle ACB, le côté AC = 195, l'angle C = 47° 55' ; trouver le reste.

Rép. Angle B = 42° 05', BC -= 290.953, AB = 215.937.

(1312) Avant de passer aux règles particulières qui s'appliquent à la solution des triangles oblique-angles ou des triangles en général, il est bon de faire remarquer qu'on neut au besoin, réduire tous les cas à celui du triangle rectangle, et par conséquent résoudre un triangle quelconque par les formules du tableau (1307) ; car, comme on l'a déjà dit (527), tout triangle peut se réduire on deux triangles rectangles et se résoudre de cette manière, ce qu'on fera voir, d'ailleurs, dans l'article suivant.

PROBLÈME II

(1313) Dans tout triangle oblique-angle ABC, étant donnés trois, quelconques, d'entre les trois côtés et les trois angles, et l'un de ces trois étant un côté ; trouver les trois autres.

1er Cas.

Etant donnés, un côté et deux angles d'un triangle ; trouver le reste.

Soustrayez d'abord de 180°, la somme ç des deux angles donnés, pour avoir le troisième angle, et procédez ensuite à trouver les autres cotés par les rapports établis au par. (1235). A^^ 'B

Ex, 1. Soit l'angle donné A = 58° 07 , l'angle donné B = 22° 37' et le côté donné AB = 408. On aura le troisième angle C = 180^— (58° 08' + 22° 37') = 99^ 16'. Le sinus de cet angle 99° 16' est égal à celui de son supplément 80» 44'.

Pour trouver le côté BC.

Sinus C 99° 16' comp. arith. log. 0.005705

Estàsinus A 58^ 07' , 9.928972

Comme côté AB 408 2.610660

Est à côté BC 351.024 2.545337

Trouver le côté AC.

•Sinus C 99^16' comp. arith. log. 0.005705

Estàsinus B 22° 37' 9.584968

Comme côté AB 408 2.610660

Est à côté AC 158.976 2.201333

Trouver AC par sinus naturels.

Sinus nat. C = .98695 : sin. nat. B = .38456 : AB = 408 : AC

Suite de la division : ■

Ex. 2. Soit l'angle A = 38=* 25', B = 57^ 42', cGté AB = 400 ; trouver le reste.

Rép. Angle C = 83° 53', côté BC == 249.974, côté AC = 340.04.

(1314) Il est clair que dans le cas actuel, ou ne saurait retirer aucun avantage de la solution par triangles rectangles, qu'on pourrait néanmoins opérer au besoin, en laissant tomber de l'une des extrémités A ou B du côté donné AB, une perpendiculaire AD ou BD sur le côté opposé prolongé s'il le faut, formant ainsi deux triangles rectangles ADB, ADO ou BDA, BDC. Mais si -jj

l'un ACB des angles du triangle était très obtus et -Ar contenait des secondes, on

éviterait l'emploi du sinus log. trop indéfini de cet angle, c'est-à-dire, de son supplément BCD, en faisant d'abord E:sin. A::AB:BD; puis, tang. A: E::BD : AD ; puis, tang. BCD (=180° — ACB) : RxBD : DC, et enfin, sin. BCD:K::BD:BC; on aurait AC -= AD — CD:

2èine Cas.

Voyez d'abord prop. XII, LIVRE II.

(1315) Etant donnés deux côtés AB, AC ou AB, AC d'un triangle ABC ou ABC, et un angle B opposé au plus petit AC ou AC ^e ces côtés ; trouver le troisième côté et les autres angles.

Ex. 1. Soit AB = 216, AC = AC = 117,

et l'angle B = 22° 37'.

Pour trouver l'angle C ou ACB :

AC ou AC : AB :: sin. B : sin. C ou sin. ACB (1235)

CôtéACouAC'...117 comp. arith. log. 7.931814

Est à côté AB ...216 .• 2.334454

comme sin. B 22» 37' 9.584968

Est à sin. C 45° 13' 55" ou AC'B 134° 46' 05" 9.851236

Ajoutez à

chacun B 22° 37' 00" 22° 37' 00"

Soustrayez •

leur somme 67° 50' 55" 157° 23' 05"

de 180° 00' 00" 180*^ 00' 00"

Il reste BAC 112° 09' 05" BAC 22=> 36' 55"

Pour trouver le côté BC ou BC.

Siu. B 22° 37' comp. arith. log. 0.415032

Estàsin. BAC ... 112° 09' 05" .^. 9.966700

Comme côté AC 117 2.068186

Est à côté BC 281.785 2.449918

Et, sin. B 22° 37' : sin. BAC 22° 36' 55" :: AC 117 : BC.

On a vu (321) que l'ambiguïté dans la solution de ce problème cesse d'exister quand l'angle donné est opposé au plus grand des deux côtés donnés ; et de même il n'y a qu'une solution ou réponse quand le côté AC devient égal à la perpendiculaire AD, et le problème est impossible quand AC est moindre que AD.

Ex. 2. On a deux côtés d'un triangle égaux respectivement à 50 et a 40 et l'angle opposé à ce dernier 32* ; ou demande à déterminer les autres parties du triangle.

Rép. Si l'angle opposé au côté 50 est aigu, il est égal à 41° 28' 59", le troisième angle est dans ce cas égal à 106° 31' 01" et le troisième côté = 72.368. Si l'angle opposé au côté 50 est obtus, il est égal à 138° 31' 01", le troisième angle = 9° 28' 59" et le troisième côté = 12.436.

La remarque (1314) s'applique également au cas actuel.

3ème Cas.

(1316) Etant donnés, deux côtés AC, BC d'un triangle ACB et leur angle inclus C ; trouver le troisième côté AB et les deux autres angles A et B.

Connaissant l'angle C, on obtient la C

somme A + B des deux autres angles == 180 — 0, et leur demi-somme = |(A + B) = 90*^ — iC On trouvera ensuite la demidifierence des angles A et B par la pro- "

portion. (Prop. III, 1241).

AO + BC : AC— BC :: tang. H^ +B) on (1224) cotang. i C : tang. | (B — A), où B est supposé > A et par conséquent AC>BC. Ayant trouvé la demi-différence entre A et B on aura B le plus grand des deux = J (A + B) + (i B — A : et A = |(A -f B) — J (B — A). On fera maintenant la proportion siu. A : siu. C :: BC : AB.

Ex. 1. Soit BC = 450, AC = 540 et C = SO" : trouver le reste.