APPLICATIONS

(1319) Soit à trouver la hauteur d'un édifice AB dont le pied est accessible.

Le terrain étant supposé horizontal; mesurez une base AD, ni trop grande, ni trop petite, eu égard à la hauteur AB ; fixez en D le pied de l'instrument CD qui doit servir à mesurer l'angle voulu ECB fi^rmé par une droite CE parallèle à AD, et par le rayon visuel CB dirigé sur le sommet B de l'édifice. Supposons que l'on trouve CE ou

14 TRIGONOMÉTEIE

AD = 67.84 mètres et l'angle BCE = 41'^ 04'. Pour trouver BE, il nous faudra résoudre le triangle rectangle BCE, dans lequel on connaît maintenant le côté CE et l'angle adjacent C.

Pour trouver le côté EB.

Rayon R.-. comp. arith. log. 0.000000

Estàtang. C 41'^ 04' 9.940183

Comme EC 67.84 1.831486

Est à EB 59.111 1.771669

De là, EB = 59.111 mètres. Ajoutez à EB la hauteur de l'instrument, supposée être de de 1.12 mètres ; vous aurez la hauteur AB de l'édifice = 59.11+1.12 = 60.231 mètres.

Si, dans le même triangle BCE, on avait à déterminer l'hypoténuse ; on ferait la proportion.

Cos. C 41^04' comp.arith.log. 0.122060

Esta R 10.000000

Comme CE 67.84 1.831486

Esta CB 89.98 1.954146

(1320) Rem. Si le sommet seul de l'édifice, ou autre objet dont ou eût à déterminer la hauteur, était visible ; on établirait la distance BC par la méthode indiquée dans l'exemple suivant (1323) ; cotte distance et l'angle BCE formé par la droite BC et la ligne horizontale EC, suffiraient pour résoudre le triangle.

(1321) Si le pied de la tour était situé en P, sur le terrain incliné DP ; on mesurerait la base DP=CF eton observerait les angles BCE et FCE ; on ferait alors les proportions R : COS. FCE : : CF : CE, et R : tang. FCE : : CE : EF ; puis, Rrtang. BCE::CE:EB; etBF==EB — EF.

(1322) Enfin, si P était inaccessible, on pourrait, après avoir mesuré, dans la direction CF, une base DL = CG

SECTILIGNE. 515

et observé l'angle BCG ou BCP et l'augle BCE, transporter l'instrument en G pour y observer encore l'angle BGF, dont le supplément donnerait BGC; on aurait alors dans le triangle BCG, les angles en C et en G, pour trouver l'angle CBG = 180° — (C + G), lequel déduit de l'angle CBE, complément de BCE, donne GBF. On calculerait ensuite le côté BG du triangle CBG, ce qui nous donnerait enlin, dans le triangle BGF, le côté BG et les angles adjacents en B, G, pour trouver BF par la proportion : sin. F (=180'^ — B + G) : BG :: sin. G : BF et sin. F : BG :: sin. B : FG.

(1323) Ex. 2. Pour trouver sur le terrain, la dis- ^.^^---^C, tance du point A, à un objet inaccessible B ; on mesu- pr rera une base AD et les angles adjacents BAD,AI)B.

Soit AD = 588.45 mètres, BAD ==: 1U30 55' 55", et

BDA-= 360 04' ; ou aura de ^ jj

là le troisième angle ABD =

40° 05", et pour trouver, AB, on fera :

Sin. ABD 40° 05" comp. ar. log. 0.191920

Est à sin. BDA 36° 04' 9.769913

Comme AD 588.45 mètres 2.769710

Esta AB 538.943 mètres 2.731543

Si, pour un autre objet inaccessible C, on a observé les angles CAD = 35° 15', ADC = 119° 32', ou trouvera de même la distance AC = 1201.744 mètres.

(1324) Ex. 3. Pour trouver la distance BC entre deux objets inaccessibles B et C, on détermine comme auparavant AB et AC ; on a en même temps l'angle inclus BAC = BAD — DAC. Supposons qu'on ait trouvé AB =538.818 mètres, AC = 1201.744 et l'angle BAC = 68° 40' 55"; pour trouver BC, il faut résoudre le triangle BAC dont on connaît deux côtés et l'angle inclus.

AC + AB 1740.5G2 comp. ar. log. G. 759311

Esta AC — AB 662.926 2.82H65

Comme tang. ^-^ 55^^ 39' 32" 10.165449

Est à tan^. ^^-^ 29*^08' 19". 9.746225

De là 1 (B — C) = 29° 08' 19" \ i (B + C) = 55° 39' 32" Et 1 (B + C) = 55° 39' 32" i (B — C) = 29° 08' 19"

Donc B = 84° 47' 51" Donc C = 20° 31' 13"

Maintenant pour trouver la distance BC, faites ;

Sin. B 84° 47' 51" comp; arith. log. 0.001793

Estàsin.A 68° 40' 55" 9.969218

Comme AC 1201.744 3.079811

Esta BC 1124.145 3.050822

(1325) Ex. 4. Voulant connaître la distance entre deux objets inaccessibles situés dans la direction du pied d'une tour de 120 mètres de hauteur; je trouve l'angle de dépression de l'objet le plus éloigné = 25° 30', et celui de l'objet le plus proche = 57°.

Je demande la distance entre ces objets.

Rép. 773.656 mètres.

(1326) 5. Dans le but de déterminer la distance entre deux arbres A et B, dont un étang situé dans l'espace intermédiaire, rendait impossible le mesurage ; je mesurai la distance d'un troisième point C, à chacun des arbres A et B, que je trouvai respectivement de 588 et 672 pieds, l'angle inclus étant en même temps de 55° 40' : je demande la distance AB.

Rép. 592.967 pieds.

(1327) 6. Etant sur un plan horizontal et désirant connaître la hauteur d'une tour située au haut d'une colline inaccessible ; je mesurai l'angle d'élévation du haut de la colline =40°, ainsi que l'angle d'élévation du haut de la tour

= 51° ; je m'éloignai alors de la tour, en ligne directe, d'nne distance de 180 pieds, au bout de laquelle j'observai de nouveau l'angle d'élévation du haut de la tour, que je trouvai de 33° 45' : je demande la hauteur de la tour.

Rép. 83.9983 pieds.

(1328) 7. Désirant connaître la distance liorizontale entre deux objets inaccessibles A et B, et ne pouvant trouver un point d'où il fût possible de les voir tous les deux ; je choisis deux points C et D éloignés de 200 verges l'un de l'autre, du premier desquels il m'était possible de voir le point A et du dernier le point B, et à chacun des points C et T> je plantai un jalon. Du point C je mesurai, non dans la direction DC, une distance égale à 200 verges, et du point D une distance DE égale à 200 verges, et j'observai les angles suivants, savoir : AFC = 83°, ACF = 54° 31', ACD =^3° 30', BDC = 156° 25', BDE = 54° .30', et BED = 88° 30' : je demande la distance AB.

Rép. 345.46 verges.

(1329) 8. D'un point P, l'on peut voir trois objets A,B,C, dont on connaît les distances l'un de l'autre, savoir: AB = 800, AC = 600 et BC=400 mètres. On donne aussi les angles horizontaux APC = 33° 45^ BPC = 22° 30'. On demande à déterminer, à l'aide de ces données, les trois distances PA, PC, PB, (voyez 709).

Rép. PA= 710.193, PC =1042.522, PB =934.291 mètres.

(1330) L'étudiant devra aussi faire l'application du calcul trigonométrique à la solution des problèmes de la nature de ceux des articles (683) (707), et notamment à la solution des problèmes (712) (715) (717) dans lesquels il pourra, le plus souvent, supposer aux données contenues dans les énoncés, des valeurs numériques telles, que le problème puisse avoir lieu.

LIYHE VI.

TRIGONOMÉTRIE SPHÈRIQUE.

(1331) On a déjà vu (1148 DÉF.) qu'uu triangle sphérique est formé par trois arcs de trois grands cercles qui s'iutersectent sur la surface d'une sphère. De là, tout triangle sphérique a (comme tout triangle rectiligne) six parties ou éléments, savoir : trois côtés et trois angles.

(1332) Chacun des côtés du triangle sphérique, est censé (1148) moindre qu'une demi-circonférence ; et chacun de ses angles, moindre (1195) que deux angles droits.

(1333) D'ailleurs, on trouvera dans la " géométrie sphérique" et dans la "trigonométrie rectiligne" (LIVRES IV et V) et ailleurs, les autres définitions et conséquences nécessaires à l'étude de la trigonométrie sphérique.

(1334) Deux parties quelconques d'un triangle sphérique, c.-à-d., deux angles, deux côtés, ou un angle et un côté,

SPHÉRiaUE. 519

sont dites de même espèce ou de même afifeetion (129) quand chacune d'elles est moindre ou plus grande que 90° ; et elles sont d'afieetion ou d'espèce différente, si l'une d'elles est moindre et l'autre plus grande que 90°.

(1335) La trigonométrie sphérique enseigne à déterminer, par le calcul, les côtés et les angles inconnus d'un triangle sphérique quelconque, dont on connaît trois des six parties composantes ; et il n'est pas )iécessaire ici, comme dans le cas (1206) du triangle rectiligne, que l'une des parties connues soit un côté ; puisque, pour les raisons déjà données (1185), deux triangles sur la même sphère ou sur des sphères égales, ne peuvent être mutuellement équiangles, sans être en même temps mutuellement équilatères. Mais si le rayon de la sphère était inconnue, il est clair qu'à l'aide seulement des trois angles, on ne saurait déterminer autre chose que les rapports entre les côtés.

(1336) Au lieu des cinq cas de la trigonoraétrie rectiligne, on en aura donc six à considérer dans le triangle sphérique ; les données étant respectivement comme il soit :

1° Deux côtés et un angle opposé à l'un deux.

2° Deux angles et un côté opposé à l'un deux.

3° Deux-côtés et l'angle inclus.

4° Deux angles et le côté inclus.

ô° Les trois côtés, pour trouver les angles.

6° Les trois angles, pour trouver les côtés.

(1337) Mais il y a encore cette différence entre le triangle sphérique et le triangle rectiligne, que le cas (2°) des " deux angles et un côté opposé à l'un deux," oflre souvent deux solutions différentes, comme on le verra, et que aussi bien dans le cas .du triangle sphérique rectangle, un même angle oblique opposé à un même côté, peut donner et donne en effet deux réponses différentes.

li'.ambiguïté qui, dans lé triangle rectiligne, ne peut se présenter que dans un seul cas ; existera donc quelquefois,

avec les mêmes données, dans deux des cas du triangle sphérique ; et même dans trois cas, si l'on considéra séparément, comme on le fera, le triangle sphérique rectangle.

(1338) Il est de plus nécessaire de faire attention à raffection des côtés et des angles du triangle sphérique ;

puisque cette atïection qui, dans le triangle rectiligne, n'est ambiguë que dans un seul cas, celui des deux côtés et de l'angle opposé à l'un d'eux, peut l'être au contraire et l'est eu effet, dans tous les cas du triangle sphérique, à l'exception seulement du triangle tri-rectangle, dans lequel (1192) chacun des trois angles est droit, et chacun des côtés égal à un quart-de-circ ; car, dans ce dernier cas, les côtés et les angles, lesquels nous sont conims par leurs sinus, sont invariables, puisque ces sinus, chacun égal (1215) au rayon, ne répondent qu'à un seul et même angle et à un seul et même côté ; tandis que dans tous les autres cas, un ou plusieurs (1349) de ces sinus répondra (1344 et 1345) à deux côtés ou (1350 et 1351) à deux angles, supplémentaires l'un de l'autre. C'est ainsi que dans certain triangle ABC, les sinus des côtés AB, AC, BC, détermineront en même temps un autre triangle A'B'C dont chacun des côtés sera (1221) supplément du côté correspondant du premier; savoir: A B' de AB, B'C de BC, et A'C de AC ; et de même, il pourra exister certain triangle ABC et un autre A'B'C dont les angles de l'un seront respectivement supplémentaires des angles correspondants de l'autre, et dont les sinus de ces angles seront en conséquence respectivement égaux (1221) dans les deux triangles. (*)

(*) Ces deux triangles ABC, A'B'C auront lieu, quand la somme des côtés de l'un d'eux sera plus grande qu'une demi-circonférence, puisque dans ce cas, la somme des suppléments des ' côtés de ce triangle sera moindre qu'une circoniérence entière ; condition nécessaire(1167)pour que le triangle supplémentaire puisse exister. De même, il est clair, que pour avoir deux

SPHÉRiaUE. 521

(1339) D'ailleurs: Soient AC A', ABA', deux demi-grands cercles de la sphère, formant, l'un avec A^v l'autre, un angle quelconque A = A' ; ayant pris AB et AC à volonté, ACB sera un triangle sphérique quelconque. Maintenant si l'on fait A'B' = AB et A'C = AC, ou aura (U77) dans le triangle A'C'B' le troisième côté B'C égal au troisième côté BC du triangle ACB; on aura de plus AB' = supplément de A'B' ou de son égal AB et AC = sup. de A'C ou de son égal AC. Donc, si pour résoudre le triangle ABC, on ne donne que l'angle A et les sinus des côtés qui le comprennent; il y aura quatre triangles différents ACB, ACB', ACB', ACB, qui répondront aux données ; et il y en aurait même huit, dans le cas où ou ne connaîtrait l'ano-le A que par son sinus, puisque cet angle pourrait alors être aigu ou obtus, sans cependant changer eu rien l'ambiguïté des côtés. Si l'on connaissait, outre l'angle A, l'un AB des côtés, il est clair qu'une partie de l'ambiguïté disparaîtrait et qu'on n'aurait plus que deux réponses aux données ; savoir : ACB et ACB ; et si, avec l'angle A et le côté AB, on avait en même temps l'autre côté adjacent AC, c.-à-d., deux côtés et l'angle inclus, il est évident que toute ambiguïté cesserait et qu'on n'aurait plus qu'un seul triangle ACB, ou ACB, ou etc., suivant que AB et AC, seraient tous deux < ou > 90°, ou l'un < et l'autre > 90°.

(1340) De même, on aura dans certain cas : côté B'C = BC, avec angle AB'C = supplément de ABC ; et dans certain autre cas, on aura : angle AB'C = ABC, avec côté B'C = supplément de BC, comme on le fera voir bientôt ; les données, dans chacun de ces cas, correspondant à deux triangles différents ACB, ACB'.

triangles dont les angles de l'un soient supplémentaires de ceux de l'autre, il faudra que la somme des trois angles de l'un soit moindre que quatre angles droits, pour que la somme des angles de l'autre triangle soit (1186) plus grande que deux angles droits.

De là, donc, la nécessité de traiter tout d'abord :