PROP. II

(1342) De tous les arcs (*) CA, CB, CE, C etc., menés à la circonférence d'un grand cercle AEA' de la sphère, d'un point quelconque C dans sa surface, qui n'est pas le pôle de cette circonférence ; le plus grand arc est celui CA' qui passe par le pôle P de cette circonférence, et le plus petit arc CA est le supplément du premier ; et des autres arcs, CB, CE, C etc., celui CB' qui est le plus près du plus grand CA' est plus grand que celui CE qui en est plus éloigné.

Soit CR perpendiculaire à AA' ; alors, parce que le cercle ACA' qui passe par le pôle P du cercle AEA' est (1153) perpendiculaire à ce dernier, CR est (926) perpendiculaire au plan AEA' et par conséquent (882) à toutes les droites BR, ER, etc. qu'elle rencontre dans ce plan. Les triangles ARC,

(•) Les aies dont il s'agira dans ce livre, seront toujours des acia de grands cercles, si le contraire n'est spécifié. Ou omettra donc ordinairement les muts "de grand cercle," si ce n'est quelquefois, pour attirer plus spécialement l'attention sur quelque propriété particulière de ces arcs.

BRC, ERC, etc., sont donc tous rectangles en R, et ont pour hauteur commune CR. Maintenant, parce que R est un point du diamètre AA' du cercle AEA', et que ce point n'est pas le centre du cercle AEA' ; car son centre est évidemment (1152) en 0 (centre de la sphère) où la perpen^ diculaire menée du pôle P rencontre A'A; on a (454) B'R moindre A'R, ER < B'R, BR < ER, et AR < BR, ou, ce qui est la même chose, on a BR > AR, A'R > B'R, et ainsi de suite. On aura donc, à cause de CR commune, (A'R^ + CR^) > (B'R^ + CR^), et par suite, A'C^ > B'C'"^ ou A'C > BC. On aura de même, (AR^ + CR'-^) < (BR*^ + CR''^) ; d'où, AC^ < BC^ et AC < BC. Mais une plus grande corde A'C sous-iend un plus grand arc A'C ; donc l'arc A'C > l'arc B'C, l'arc B'C > l'arc EC, l'arc BC > l'arc AC, ou AC < BC, et ainsi de suite ; donc, etc.

2° Soit E le point milieu de ABA', E sera le pôle de ACA' et l'arc EC sera un quart-de-cercle ; et comme tout arc BC est < EC et tout arc B'C > EC, BC sera < quart-de-cercle et B'C > quart-de-cercle. Il est clair que la même chose aura lieu du côté opposé de la perpendiculaire ACA' ; tout arc bC étant < et tout arc b'C > que eC = EC ; donc, suivant que AB, A6 seront, ou non, de même affection, c-à-d., chacun < ou > AE = "Ae, les arcs BC, bQ seront aussi de même ou de diflérente afiection ; et si AB = A6 ou aura, par la prop., BC = bG.

Z° Les points E, e, étant encore les pôles de ACA', l'arc CE sera = 90° et sera (1153) perpendiculaire à ACA' ; tout autre arc BC, moindre que EC, formant avec ACA' un angle aigu ACB, et tout autre arc B'C, > EC, formant avec ACA' un angle obtus ACB'. Or, quel que soit BC, < ou > 90*^, l'angle ABC sera toujours aigu ou A'BC toujours obtus, et la même chose aura lieu du côté opposé de la perpendiculaire ACA'; d'où il suit que si pendant que A6C est aigu, ACB est aussi aigu, BC sera < 90'^, et si ACB' est obtus, B'C sera > 90° ; donc, dans le triangle 6CB, suivant que A6C,

ACB, sont de même affection ou d'affection différente, r>C sera > ou < 90°.

(1343) Cor. 1. Si AC = AP = 90, on anra AC = BC = BC = etc. ; d'où il suit que, dans le cas (1336, 1°) des " deux côtés et un aufi^Ie opposé à l'un deux," si l'angle donné A ou BAC était droit, le coté AC = 90°, et BC par conséquent (1153) aussi = 90^, le problème serait indéterminé, puisque toute position quelconque B' du point B sur la circonférence AEA' déterminerait un triangle BAC qui répondrait aux données et dans lequel on aurait l'angle B' droit (1153) et la base AB' indéterminée.

2° Mais si AC est < ou> 90°, il n'y aura pas (455) deux droites égales BR du même côté du diamètre AA' et par conséquent, il n'y aura pas non plus deux cordes égales BC, ni deux arcs ou côtés égaux BC ; donc, il ne pourra y avoir qu'un seul triangle ACB, c'est-à-dire, une seule solution du problème des " deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux."

3° Il est à peine nécessaire d'ajouter que l'indéterminé dont on vient de parler (1343) existerait aussi, sous les mêmes circonstances, dans le cas (1336, 2°) des " deux angles et un côté opposé à l'un d'eux," c-à-d., si A était droit, AC = 90° et B par conséquent aussi, droit ; et cette ambiguïté cesserait d'exister, si AO était < ou > 90°

(1344) Cor. 2. Si les deux grands cercles ACA' AEA', font l'un avec l'autre un angle aigu BAC ou A = A', il est clair que la perpendiculaire menée du point C au plan de AD A' tombera en-deçà de AA', soit en R, et qu'elle sera encore perpendiculaire (882) au diamètre oD qu'elle rencontre dans ce plan ; d'où, par la proposition (1242) DC sera le plus petit, et aC le plus graud de tous les arcs

menés du point C à la circonférence du cercle ADA' ou ADa; et on aura dans ce cas DC < AC ou AC > DC, et de même, on aura A'C < aC, B'C < A'O et ainsi de suite ; d'où il résulte, puisque (455) on peut avoir dans ce cas, deux droites égales BR, B'R, une de chaque côté du diamètre rtD, c'est-à-dire, de chaque côté de la moindre droite DR, qu'on aura aussi deux arcs ou côtés égaux CB, CB', l'un de chaque côté de l'arc perpendiculaire ou le plus petit CD. Donc, suivant que le côté CB ou CB' opposé à l'angle donné A ou A' sera > ou < C A ou CA, et CA < 90^ ou CA' > 90^, il y aura un ou deux triangles BAC, B'AC ou B'A'C, BA'C qui répondront aux données ; c'est-à-dire, que :

Dans le cas (1336, 1°) des

" Deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux."

Voyez la note, page 528.

Si le côté AC, adja. à l'angle donné A, est < 90°, et que BC, l'autre côté donné, soit > AC ; il n'y aura qu' une solution.

g^ I 2° Si le côté A'C, adja. a l'angle donné

A', est > 90° et que B' C, l'autre ■g I côté donné, soit > le sup. de A'C ; une solution.

3° Si le côté AC, adja. à l'angle donné ^ \ A, est < 90°, et que BC, l'autre côté

donné, soit < AC ; il y aura deux solutions

C ] 4° Si le côté A'C, adja. à l'angle donné

A', est > 90°, et que B'C, l'autre côté donné, soit < le sup, de A'C ; . . . . deux solutions 5° Si le côté AC, adja. à l'angle donné A, est = 90°, il est évident qu'il y aura deux solutions

SPHÉRiaUE,

(1345) Cor. 3. Si l'angle donné BAC ou A = A' est obtus, il est clair que la perpendiculaire menée du point C, au plan de AD A', tombera au delà de A A', soit en R ; et que si par le centre 0 de la sphère et le point R, ou mène le diamètre a D et les arcs C«, CD, Cetc, l'arc Ca sera le

plus petit et CD le plus grand de tous les arcs menés du point C à la circonférence ADa ou AD A' ; et comme les droites BR et B'R sont chacune moindre (454) que DR, on aura aussi les arcs CB et CB' chacun moindre que l'arc perpendiculaire ou le plus grand CD ; donc, suivant que le côté CB ou CB' opposé à l'angle donné A ou A' sera < ou > CA ou CA', et CA < 90° ou CA' > 90°, il y aura un ou deux triangles BAC, B'AC ou B'A'C, BA'C qui répondront aux données ; c'est-à-dire que dans le cas des

** Deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux."

1^ Si le côté AC adja. à l'angle donné

A, est < 90"^ et que BC l'autre côté

donné, soit < le sup. de AC ; une solution.

2° Si le côté A'C, adja. à l'angle donné

A' est > 90°, et que BC l'autre côté

donné, soit < que A'C ; une solution.

|3° Si le côté AC, adja. à l'angle donné

A, est < 90°, et que B'C, l'autre

côté donné, soit > le sup. de AC ; . . deux solutions |4° Si le côté A'C, adja, à l'angle donné

A', est > 90°, et que B'C l'autre

côté donné, soit > que A'C ; deux solutions

5° Si le côté AC, adja. à l'angle donné

A, est = 90° ; il est évident qu'il y

aura deux solutions

628 TRIGONOMETRIE

PEOP. III.

(1346) Dans tout triangle sphérique rectangle, ACB ou

ACB', A'CB' ou A'CB, les côtés, AB, AC ou AB' AC

A'B', A'C ou A'B, A'C, qui comprennent l'angle droit, A ou A' sont de même aflection que les angles C, B ou C, B', qui leur sont opposés; c'est-à-dire (1334) si les angles sont plus grands ou moindres que des angles droits ; les côtés qui leur sont opposés, seront plus grands ou moindres que des quart-de-circ. Et réciproquement, si les côtés qui comprennent l'angle droit, sont plus grands ou moindres que des qnart-de-circ. ; les angles opposés seront plus grands ou moindres que des angles droits.

Ayant bissecté en D le demi- V

cercle ABA', on aura AD = // v- ^^\

A'D = 90'^; et parce que, par A<W---W>^cv^-"--^ hypothèse, l'angle A ou BAC ir^"*0!^i__Z^^--^^^

est droit, le demi-cercle ACA' ^

est perpendiculaire au plan du demi-cercle ABA' ; donc D est (1152) le pôle de ACA', et l'arc DC = (1153) 90° ou un quart-dé-cercle. De plus, l'arc CD est (1153) perpendiculaire à ACA' ; c.-à-d., l'angle sphérique ACD est droit. Donc, quand AB est moindre que AD, l'angle opposé ACB qui

(*) L'élève fera bien de s'aider ici de quelques cercles en carton ou en papier fort et de même rayon, dont il en pliera un (à l'endroit AA' d'un diamètre) de manière à en former un onglet sphérique, ABA'CA ou plutôt deux demi-grands cercles ADA', ACA', que le pli AA' lui permettra d'ajuster sous un angle quelconque A, droit, obtus ou aigu. Il coupera alors ou pliera les autres cercles, en secteurs égaux, ou supplémentaires l'un de l'autre, et de dimensions proportionnelles à la valeur de l'angle A. Ces divers secteurs convenablement disposés, le sommet ou centre de chacun d'eux, au centre de l'onglet, c'est-à-dire, de la sphère, et leurs côtés OB, OC, OD, O etc., en contact avec les deux demi-grands cercles ADA', ACA', fourniront une idée assez juste des arcs ou côtés et des angles ou des triangles sphériques ABC, AB'C, A'B'C, A'BC, dont il s'agit. Voyez aussi la note, page 448.

SPHÉRiaUE. 529

est moindre que ACD, est < 90^ ; et quand AB' > 90°, l'angle ACB' qui est plus grand que ACD, est > 90°; ou, réciproquement, si ACB < 90°, on a AB < 90*, et si ACB' > 90°, on a AB' > 90°. De même, il est clair, que quand l'angle A'CB > 90°, A'B est > 90°; et quand A'CB' < 90°, A'B' est < 90° ; et réciproquement. (*)

(1347) Cor. 1. Si, dans un triangle sphérique rectangle, ACB ou A'CB, les deux côtés AB, AC ou A'B, A'C qui contiennent l'angle droit, sont de même afîfection, l'hypoténuse CB sera moindre qu'un quart-de-cercle ; et si ces côtés, AB', AC ou A'B', AC sont d'afïèction différente, l'hypoténuse B'C sera plus grande qu'un quart-decercle.

Car, ayant bissecté en P le demi-cercle ACA', P sera le pôle de ABA', comme D est celui de ACA' ; et, parce que C n'est pas le pôle du cercle ABA' et que l'arc CB est plus éloigné de CPA' que ne l'est CD, CB est (1342) moindre que CD ; or, CD est un quart-de-cercle ; donc CB est moindre qu'un quart-de-cercle ; et de même, quand A'C > 90° et A'B > 90°, il est clair qu'on a encore CB < 90o. En second lieu, si AC < 90° et AB' > 90°, ou A'B' < 90° et A'C > 90°, il est non moins évident qu'on aura CB' > 90°, à cause de CB' moins éloigné du plus grand arc CPA' que ne l'est CD ; donc, etc.

2° Réciproquement, il suit de ce que l'on vient de démontrer, que si l'hypoténuse d'un triangle rectangle est moindre ou plus grande qu'un quart-de-cercle ; les côtés seront de même affection ou d'affection différente.

(*) Comme les expressions "quart-de-circonférence" "demi-circonférence" se rencontrent souvent, dans ce livre; on écrira quelquefois, pour abréger, "quart-de-cercle," "demi-cercle;" faisant attention seulement, de distinguer, au besoin, le sens (186) dans lequel on doit entendre ces expressions. Pour "quart-de-cercle." on écrira aussi " 90°," pour "demicercle," " 180° ; " et de même pour angle droit, on écrira quelquefois " 90°," et " 180Û " pour "deux angles droits."

530 TSIGONOMËTRIE

3° Puisque, par la prop., les C

angles obliques d'uu triangle y^/\\^ ^^N.

rectangle sont de mênie afiec- -^x^f—Sri-^^^" -^.A!

tioQ que les côtés opposés, et u'--0^\l__J!I^^^^'

que par le corollaire, l'hjpo- ^

ténuse est moindre ou plus grande que 90°, suivant que ces côtés sont de même on de différente affection ; il en résulte que suivant que l'hypoténuse est moindre ou plus grande qu'iui quart-de-cerele ; les angles obliques sont de même ou de différente afiection ; et réciproquement :

4® Suivant que les angles obliques (*) d'un triangle rectangle sont, ou non, de même affection ; l'hypoténuse est moindre ou plus grande qu'im quart-de-eercle.

5° Parce que les côtés sont de même afiection que les angles opposés, et que l'affection de l'hypoténuse dépend aussi de celle des côtés ou des angles ; il suit que quand un angle et le côté adjacent sont de même affection, l'hypoténuse est moindre qu'un quart-de-cercle ; et :

6° Quand un angle et le côté adjacent sont de différente affection, l'hypoténuse est plus grande qu'un quart-deeercle.

7° Si l'h5rpoténuse est moindre qu'un quart-de-cercle, un côté et l'angle adjacent seront de même affection.

S° Si l'hypoténuse est plus grande qu'un quart-decercle, un côté et l'angle adjacent seront d'affection différente.

(*) L'on dit " obliques " pour distinguer de l'angle droit, les deux autres angles d'un triangle sphérique rectangle; car ces angles ne sont pas nécessairement aigus, comme dans le cas du triangle roctiligne de même nom, et au contraire ces angles, comme on l'a vu (1190) peuvent être droits et même obtus ; ainsi, dans ACB, B et C sont tous deux aigus ; dans A'CD, C est droit et D aigu ; dans ACB', B est aigu et C obtus ; dans A'CB', C est aigu et B obtus ; dans ACD, C est droit et D obtus , et dans A'CB, B et C sont tous deux obtus.

SPHÉEiaUE. 531

(1348) Cor. 2. Dans tout triangle sphérique, ACB, si la perpendiculaire CD menée d'iui des angles au côté opposé, tombe en dedans du triangle ; les angles A, B, à la base, seront de même affection : et si la perpendiculaire tombe en dehors, sur la base prolongée ; les angles à la base seront d'affection différente. Car si CD tombe en dedans, on a :

1° Les triangles rectangles ADC, BDC, dans lesquels, par la prop., chacun des angles A et B est de même afiectiou que le côté opposé CD ; or ce côté est commua aux deux triangles ; donc l'aflection de CD est commune aux deux ansfles A et B ; c.-à-d. que ces angles sont de commune, ou de même afiection.

2° Et si CD tombe en dehors du triangle, on aura les triangles rectangles ADC, BDC dans lesquels l'aflection de CD sera commune à l'angle B et à l'angle extérieur DAC ; mais DAC est supplément de A ou de BAC et l'aflection de BAC est en conséquence difîerente de celle de DAC ; or l'aflection de B, comme ou vient de le voir, est la même que celle de DAC ; donc l'aflection de A (BAC) est différente de celle de B.

d° Réciproquement, il est clair que si les angles A et B sont de même affection ; la perpendiculaire tombera sur la base, ou en dedans du triangle ; car, si non, A et B seraient d'affection différente.

4° Et si A et B sont d'affection différente, la perpendiculaire tombera en dehors du triangle ou sur la base prolongée ; car, si non, A et B seraient de même affection, contrairement à la supposition.

TRIGOBrOMÊTRIE