PROP. IV

(1349) Il y aura toi:yours deux triangles rectangles, ABC, AB'C dont un côté AC et l'angle opposé B de l'un seront égaux à un côté AG et à l'angle opposé B' de l'autre ; et dont les autres côtés AB, BC et l'autre angle oblique C du premier, seront les suppléments des autres côtés AB', B'C et de l'angle correspondant C du second.

En eflet, ayant prolongé ACA', d'une quantité A'C' = AC, pris A'B' = AB, joint B'C et prolongé B'C pour rencontrer ACA' ; B'C prolongé tombera (984) en C, à cause de CA'C = A'C + A'C = A'C + AC = 180° ou un demi-cercle. Cela posé, on aura (1177) B'C =BC ; car A'C a été fait égal à AC, A'B' à AB et l'angle B'A'C qui est supplément de B'A'C est en conséquence droit et égal à l'angle A du triangle ACB ; donc B'C = supplément de B'C, c.-à-d. de BC ; et l'angle AB'C, égal à sou opposé au sommet A'B'C, est (1177) égal à ABC ; donc :

2° Si pour résoudre un triangle sphérique rectangle on ne donne qu'un côté et l'angle opposé ; il y aura ambiguïté, c.-à-d., deux réponses au problème, ou deux solutions qui repondront aux données.

(1350) Cor. Puisque C est un point quelconque dans le a> demi-cercle ACA', et que par ce point, et le centre 0 de la sphère, on peut faire passer un plan quelconque OCa ou OCa', tel que ce plan fasse avec le plan de ABA' un angle quelconque BaC obtus, ou Ba'C aigu ; il suit que A étant

SPHÊRiaUE. 533

un angle quelconque, ou aura l'angle B' = B, pourvu que B'C soit égal au supplément de BC; mais, il est clair aussi que dans ce môme cas, les arcs AB, AB', c.-à-d. oB, aB' ou a'B, a'B' ne seront plus supplémentaires l'un de l'autre, non plus que les angles ACB et ACB' ou aCB, aCB' et a'CB, o'CB'; donc, il pourra exister deux triangles obliqueangles différents ACB et ACB' (A étant un angle quelconque) dont un côté AC et l'angle opposé B de l'un, seront égaux à un côté AC et à l'angle opposé B' de l'autre ; pourvu que le côté B'C opposé à l'autre angle donné A de l'un de ces triangles, soit égal au supplément du côté correspondant BC de l'autre.

2° En d'autres termes : la condition à laquelle on pourra avoir deux triangles oblique-angles difl'érents, dont un côté et l'angle opposé de l'un soient égaux à un côté et à l'angle opposé de l'autre : est que l'on puisse avoir dans un même onglet (990) ABA'CA de la sphère, (l'angle A de l'onglet étant celui des deux angles donnés qui est adjacent au côté donné AC) ou sur la surface d'une même lune (989), et menés d'un même point C, deux arcs CB, CB' supplémentaires l'un de l'autre ; c.-à-d., que l'on puisse mener du sommet C ou du troisième angle du triangle, deux arcs CB, CB' dont l'un soit le supplément de l'autre.

(1351) Soit donc ACB ou A'CB un triangle, dans lequel on a un côté AC ou A'C, et deux angles BAC, ABC ou B'A'C, A'B'C ; on aura ; c.-à-d. : dans le cas (1336, 2°) des

" Deux angles et un côté opposé à l'un d'eux."

fl'' Si AC < 90° et BC < AC une solution.

A étant i

^gu < 2° Si A'C> 90' et BC<AC (sup.

[^ de A'C) une solution.

Car, si BC est moindre que AC, ou que le supplément de A'C ; le sup. de BC sera plus grand que A'C (sup. de AC) ; et comme A'C est (1344) plus grand que tout autre arc B'C

mené du point C, au cercle ABA' ; à plus forte raison, le sup. B'C de BC sera-t-il trop grand, pour trouver place entre le sommet C et la circonférence ABA' du plan de la base.

. , r3° Si AC<90° etB'C>AC deux solutions.

aigu. 1 ^° ^^ ^'^ ^ ^^'^ ^^ ^'^ > ^^

I (sup. de A'C) deux solutions.

Car, puisque B'C est plus grand que A'C, ou que le sup. de A'C ; le sup. BC de B'C sera moindre que A'C (sup. de AC) et pourra en conséquence (1344) trouver place entre C et ABA'.

r5° Si AC < 90° et B'C > A'C

A étant 1 ^^^^^ ^^ ^ç,^ une solution.

obtus, j^^^ g. ^^ ^ ^^^ ^^ jg,^ ^ ^,^ ^^^ solution.

Car, si B'C est plus grand que A'C, le sup. de B'C sera moindre que le sup. de A'C, c'est-à-dire, moindre que AC ; or (1345) tout arc BC est plus grand que AC ; donc le sup. BC de B'C ne pourra exister.

fTo Si AC < 90° et BC < A'C

A étant ^ (sup. de AC) deux solutions.

obtus, i^g^ g. ^ç,^9Qo et BC < A'C. ... deux solutions.

Car, si BC est moindre que A'C ; le sup. de BC sera plus grand que le sup. de A'C, c.-à-d., plus grand que AC, et (1245) le sup. B'C de BC pourra exister. (*)

(*) H est à peine nécessaire de rappeler que, comme dans le cas correspondant (222) du triangle rectiligne, il est nécessaire, pour que le triangle sphérique puisse exister, que l'un quelconque de ses côtés soit (1164) moindre que la somme des deux autres ; et que si BC, par exemple, dans les expressions 1°, 2°, 3°, etc. des articles (1244), (1245), était moindre que la perpendiculaire CD abaissée du sommet C du triangle, sur la base, le triangle ACB ne saurait exister ; de même que, si BC était égal à l'arc perpendiculaire CD, il n'y aurait alors (320) qu'un seul triangle ACD qui répondrait aux données.

SPHÉRiaUE. 535