SECTION TROISIÈME

Nous avons vu en traitant de la lumière, que celle causée par l’effet d’un flambeau ou d’une lampe, avait les mêmes propriétés que celles qui émanent des astres, avec cette différence néanmoins, qu’il faut considérer les rayons solaires comme nous arrivant parallèlement, à cause de la grandeur et de l’éloignement de l’astre qui nous les renvoie , ce qui ne peut avoir lieu à l’égard d’un flambeau ou de tout autre lumière terrestre qu’il faut regarder, à cause de la petitesse du foyer, comme un point d’où partent les rayons lumineux et d’où ils s’éloignent en divergeant entr’eux. On obtient les ombres au flambeau d’après les principes enseignés pour celles causées par les corps célestes , c’est-à-dire qu’on détermine chaque point d’ombre au moyen de la rencontre dun rayon lumineux partant du flambeau et d’une ligne d’ombre tirée

de son plan , que l’on suppose toujours sur une surface horizontale (i).

Nous croyons utile de rappeler ici, i.° que l’ombre d’une ligne horizontale menée perpendiculairement au tableau, étant reçue sur un plan horizontal ou vertical aussi perpendiculaire au tableau, sera dirigée au point de vue comme la ligne qui la projette.

2. " L’ombre d’une ligne tracée parallèlement à l’horizon étant reçue sur un plan horizontal ou vertical parallèle au tableau, sera de même parallèle à la ligne horizontale ou à la ligne de terre.

3. ® Si une droite verticale se trouve , ainsi que le flambeau , située dans un plan parallèle au tableau, l’ombre de cette droite sur un plan horizontal sera parallèle à la ligne de terre. Au contraire, si le flambeau et la verticale se trouvent dans un même plan perpendiculaire au tableau , l’ombre dans ce cas étant portée de même sur un plan horizontal , devra être dirigée au point de vue.

(i) Dans les projections données par la lumière du soleil, à cause de la distance de cet astre, le point cpil représente son pied ou son plan est toujours assez éloigné pour que les lignes d’ombres , sur tel plan horizontal où elles puissent être tracées , aillent concourir à ce point. On suppose dans ce cas ces plans horizontaux prolongés jusqu’à leurs points évanoulssans. Il n’en est pas de même quant à la lumière du flambeau, qui doit être toujours rapprochée de l’objet éclairé, ce tjui fait que les ombres partant de son plan , ne sauraient paraître se rencontrer quand elles sont projetées sur des plans horizontaux et qu’on est obligé d’élever ou d’abaisser îe pied ou le plan de la lumière, à la hauteur du plan horizontal sur lequel l’ombre doit se projeter.

Si un rayon lumineux tombe perpendiculairement sur un plan, le point de rencontre est appelé point de transposition du flambeau et devient, à l’égard du point lumineux, ce qu’est le point de vue du tableau relativement à l’œil du spectateur.

Ainsi pour avoir la transposition du flambeau F sur le mur (X) qui est parallèle au tableau, il faudra d’abord, par le plan P de la lumière, mener P Z perpendiculairement au mur, en tirant au point de vue ; ensuite au point de rencontre Z , élever une perpendiculaire Z R qui, rencontrant en Pt le rayon FR dirigé au point de vue , donnera ce point R pour le point de transposition du flandjeau sur le mur (X).

De même, pour avoir la transposition du flambeau F sur le mur latéral (Y), il faut du point P et du point lumineux F, mener des parallèles PO et FT; au point O où la ligne d’ombre PO rencontre le mur, élever O T qui, par sa rencontre avec FT, donnera le point T pour la transposition de la lumière sur le mur (Y).

Soit maintenant un prisme triangulaire ACBEDFi, dont on veut avoir l’ombre portée sur le parquet et sur le mur. Pour cela , de tous les angles plans DUE et le point P plan de la lumière, on mènera jusqu'à la rencontre du mur les lignes d’ombres PDYÎ, PUG, P EL. Aux points d’intersection M,G,L, avec, le mur, on

élèvera les perpendiculaires MN, GI, Lîv, qui rencontrant aux points N,I,K, les rayons passant par les points supérieurs A CB, donneront, en étant joints jiar les droites DM , MN , N I , IK , KL , LE, l’ombre du solide proposé sur le parquet et sur la surface du mur.

Si l’opération a été bien faite, l’ombre IK de l’arète CB parallèle à la ligne de transposition F T , doit aller concourir , étant prolongée suffisamment, au point de transposition T du mur (Y), et AC perpendiculaire au talileau, ayant son ombre projetée sur un plan vertical qui est aussi perpendiculaire à celui du tableau , doit avoir son ombre dirigée au même point évanouissant que la ligne qui la projette, c’est-à-dire au point de vue.

L’ombre brisée 340678 du plan vertical , dirigée perpendiculairement au tableau , fait voir que le même résultat a lieu dans ce second cas , puisque la ligne d’ombre 7 6 de la droite 1 2 parallèle à la ligne de transposition FR, étant prolongée suffisamment , va concourir au point de transposition R du mur (X).

Ce principe, concernant la transposition de la lumière, une fois conçu , sert souvent à corriger les opérations sur la rcclierche des ombres au flambeau ; car alors connaissant le point de transposition sur une surface et la direction des lignes qui , par leurs positions , doivent y concourir , il suffit d’un seul point , celui du départ de l’ombre, pour déterminer leurs directions sans avoir recours aux prolongemens des plans et à la supposition des perpendiculaires, dont le point supérieur appartient à la ligne dont on cherche l’ombre. Quoique ce dernier moyen soit celui que nous avons généralement adopté, à cause de sa simplicité et de l’application générale qu’on en peut faire; pour rendre, comme nous l’avons déjà dit, ce traité plus complet, on y indique, quand

le cas s’cn présenlc, les diverses inétliodes employées dans les ouvrages qui ont été faits sur cette matière, afiii de mettre les personnes qui suivront ces leçons à même d’entendre tout ce qui a été écrit sur la perspective des ombres.

REMARQUE

La théorie des omhres , comme celle des lignes , quoique fondée sur des principes simples, devient quelquefois difficile par ses nombreuses applications , c’est à cause de cela que j’ai choisi dans ce travail, une suite d’exemples qui, par leurs liaisons et leur enchaînement naturel, puissent servir à la solution de tous les cas qui en dérivent.

En général , les auteurs qui traitent de la perspective , ayant écrit plutôt pour les mathématiciens cpie pour les artistes, ont pensé devoir ne point développer certains détails de pratique , et ont négligé souvent des explications et des redites qui nuisent, nous le savons, à la rapidité du style didactique, mais qui sont indispensables à l’élève peu versé dans l’étude des mathématiques, et que la moindre obscurité peut éloigner à jamais d’une science dont la pratique est indispensable à la perfection de son art.

^2.^ ^‘copo^itiop.

^~r(^£ctio7i c/e 1 077i/re c/ a 7te /ta^e?^ ^i/acee c/c(7CJ

1 67100 7^ 7ltC7£ c/ U 7t 7711(7'.

Le plan AEB étant situé en étagère, si Ton détermine l’ombre de son côté AB sur les deux surfaces de l’angle du mur, on aura nécessairement l’ombre de l’étagère AEB. Pour projeter i’ombre de AB, on prendra à volonté sur cette droite les deux points 4 et 8; de ces points, on abaissera jusqu’au plan CD, les perpendiculaires 43 et 8 7 ; on cherchera , comme à l’ordinaire , les ombres des points 4 et 8 , que les rayons F 5 et F 9 , par leur rencontre avec les lignes d’ombres PaS et P69, donneront sur les deux plans du mur en 5 et 9; mais comme l’ombre de AB doit prendre naissance aux points de contact A et B, et que les points 5 et 9 appartiennent aussi à cette ombre, si l’on joint les points A, 5, et 9, B, par les droites A 5 et 9B, et que l’on prolonge les lignes d’ombres jusqu'au point O à l’arète du mur, si l’opération est bien faite , ces deux lignes , en se réunissant au point O, achèveront la projection AôOqB de l’ombre cherchée.

REMARQUE

Quoiqu'on n’ait déterminé que la projection de l’arète AB du plan liorizoïital AEH de l’étagère, il est évident que puisque les rayons

lumineux ne peuvent passer au travers de ce plan , l’espace A O BE compris par l’ombre de AB, doit être privé de lumière ainsi que la partie supérieure A E B du plan de l’étagère.

Nous observerons encore que les deux portions AO et O B de l’ombre de AB, doivent se rencontrer nécessairement en un point

qui est ici le point O, parce que l’ombre d’une ligne dioite ne

peut cesser d’étre continue, elle peut rencontrer un obstacle qui la brise, mais dans ce cas on doit, dans l’opération gra})bique,

suivre toujours sa trace sur les plans quelle rencontre.

M ^o/ecà07i c/e / c/ i(?i /-at07i (Jic/jie di(r /e

vopoAibop.

Aarûiict et dur tm miir veHiæ/.

Pour avoir l’ombre du bâton incliné AB, on prendra d’abord un point i à volonté, l’on cherchera l’ombre de ce point sur le sol, en faisant passer le rayon FS par le point i, et la ligne d’ombre PS par le point 2 plan du point i. La rencontre de F I S et de P 2 S en S , sera l’ombre du point choisi. L’ombre de AB devant prendre naissance au point de contact A, et le point S étant un deuxième point par lequel elle doit passer aussi, AS prolongée jusqu’au pied du mur en O, donnera AO pour l’ombre de AB sur le sol.

Pour avoir son retour sur le mur , on prendra de nouveau le point B extrémité de AB, on cherchera, comme pour le point

précédent, son ombre sur le mur, en redressant au pied du mifr PM perpendiculairement, jusqu’à ce quelle rencontre le rayon FR passant par le point B ; le point R sera un troisième point de l’ombre de AB, et comme l’ombre d’une droite ne doit point éprouver d’interruption, joignant le point R au point O par RO, AOR, sera l’ombre brisée du bâton sur le mur et sur le parquet.

REMARQUE

Quand on dit qu’on peut prendre à volonté sur un point comme le point I , pour avoir la direction de l’ombre de cette droite , il faut observer que dans ce cas, l’ombre devant aussi se projeter sur le mur, le point i doit être choisi de façon que sa projection puisse tomber sur le parquet. Cette observation qui n’est d’aucune utilité pour les personnes familiarisées avec les épures de perspective, peut faire cesser l’indécision de celles qui ont moins de pratique dans ce genre de travail.

Ou prendra d'abord sur AB un point N à volonté, mais assez rapproché du point de contact B, pour que le point d’ombre X puisse tomber sur le parquet, après avoir mené le rayon F N et la ligne d’ombre PX : soit donc X ce point; alors par X et B

Qii mènera B XM jusqu’à la rencontre du plan incline, celte lifrue d’ombre sera la projection ombrée de AB sur le parquet. Rîaintenaiit pour avoir sa continuité sur le plan incliné , on prendra à

volonté sur AB le point C, et sans avoir égard au plan (Z),

on déterminera, comme à l’ordinaire, son ombre sur le sol en 4. De ce point, on mènera parallèlement 4 3 jusqu’au plan de l’arête S 9, qui indique l’inclinaison du plan (Z). Du point 3, on élèvera ensuite 3 i jusqu'au plan incliné. Du point 1 , on tracera encore i5 parallèlement à 34, et par la rencontre au point 5 de i5 avec 54 élevée perpendiculairement au sol, on mènera au point 7, point de rencontre de l’ombre P 4 avec le plan, l’oblique 57, qui étant tracée dans le plan de P4, doit rencontrer le ravou

F 4 au, point 8 ; mais ce point appartenant à la surface du plan

incliné , il est évident qu’il doit faire aussi partie de l’ombre de AB sur ce plan; joignant donc le point 8 et le point M par la ligne d’ombre M8, que l’on prolongera jusqu’en D bord du plan, cette ligne D81M sera la projection d’ombre de AB sur la surface du plan talué (Z).

REMARQUE

Si AB avait été plus court, on aurait déterminé de la même manière son point final sur le plan incliné ; mais comme dans cet exemple son ondare doit se projeter sur le sol, on n’a qu’à prolonger la ligne d’ombre B 4 qui est sur le parquet, jusqu’à ce qu’elle déborde celle projetée par l’arète S 9 du plan (Z) (1).

( 1) Ou terminera l’ombre B /| sur le sol , par le rayon lumineux passant par

Quant à cette dernière ombre, il ne faut pour l’obtenir que prendre un point à volonté sur Sq, abaisser de ce point une droite sur son plan Rq, et chercher comme à l’ordinaire l’ombre de ce point sur le sol. Comme l’ombre de 3q doit prendre naissance au point de contact q, joignant ce point au point d’ombre donné par le point choisi, on aura qa pour l’ombre du plan incliné , que l’on prolongera autant qu’il sera nécessaire sur le sol , à moins quelle ne rencontre un obstacle quelconque , comme on peut voir dans la figure (26) de ce traité.

êcÙ07l

i7ic/ù?ie.

( P. iq. F. 65. )

On peut par une autre méthode trouver l’ombre d’un bâton sur un plan incliné. Soit donc AB le bâton dont on veut projeter l’ombre , et F la position de la lampe qui l’éclaire. Pour

cela , du pied P de la lumière sur le sol , on mènera jusqu’à la

rencontre du plan, la droite PE, parallèlement à l’horizon. De ce point, on tracera GE parallèlement à l’inclinaison RS du plan talué; on prolongera GE jusqu’en p’ , rencontre de F P prolongé

dur U?i (?l

'ecào7v c/e / o??iS7'e c/ i

rextrcmllé A du bâton. L.t rencontre de ce rayon et de la ligne d’ombre menée du point plan E, donnera aussi le terme de l’ombre de AB sur le parquet.

suffisamment. Maintenant si du pied de la lumière sur le sol , ou trace la ligne d’ombre P El, El sera l’ombre de EA sur le terrain. Mais si par le point I et le point p’ on mène p’III, III rencontrée par le rayon passant par le point supérieur A du bâton , donnera III pour l'ombre de AE sur le plan incliné.

Il est évident que le point p’, d’après cette construction, doit devenir le point d’où partent toutes les lignes d’ombres projetées sur le plan incliné. Car en menant GEp’ jusqu’au prolongement dé FPp’, on n’a fût cpie supposer la surfoce du plan (X) prolongée en-dessous du parquet jusqu’à la perpendiculaire Fp’ du plan de la lumière. Dans cette hypothèse, il est positif que le point p’ doit être le pied de la lumière pour toutes les lignes d’ombres projetées sur la surface du plan (X). Ceci deviendra plus sensible encore si l’on suppose AB prolongé jusqu'en b’ de la ligne d’ombre IIp’; car alors le bâton n’ayant cessé de faire partie du plan formé par le rayon FII, et la ligne d’ombre p’H, sera supposé s’appuyer en b’ sur la surface du plan incliné ; mais IIp’ est aussi dans le même plan que les deux autres lignes, d’où l’on voit que dans cette nouvelle supposition , il est indispensable que la ligne d’ombre H b’ n’émane pas du point p’. Cette opération ne consiste qu’à imaginer le plan incliné continué jusqu’au point p’ , où il rencontre la perpendiculaire de la lumière , prolongée suffisamment pour opérer cette réunion (i).

(i) Cette métliode peut être très-utile quand on ne veut pas recourir ou qu’on ne connaît pas le plan de l’inclinaison de la surface taluée.

La supposition de faire appuyer l’extrémité inférieure de la droite dont on clierclie l’ombre , sur le prolongement du plan incliné , oblige souvent à prolonger le plan incliné hors de la surface du tableau.

REMARQUE

Nous n’aurions pas montré cette méthode si nous n’avions pris l’obligation de donner, quand le cas s’en présenterait, les diverses théories que l’on peut employer dans la projection perspective des ombres; mais nous devons remarquer que cette opération n’est point d’une application assez générale et qu’on ne doit en faire usage que dans certains cas. Comme elle n’est d’ailleurs pas plus expéditive que celle des lignes supposées que l’on jieut toujours employer, nous ne voyons pas de raison qui puisse la faire préférer à cette dernière.

éé.*" ^‘COCOblhOY).

fS^\o/ectio?i c/e / 077i/n^ c/ im ^irù^Tte

/(K 7^ du7' l cm^/e c/ me '77im\

En jetant un coup-d’œil sur la position du flambeau à l’égard du prisme , on s’apercevra aisément que les rayons lumineux ne peuvent tangenter sa surface que selon les arêtes BA, AI, et IZ. Pour trouver l’onibre de AB, on fera passer par ses deux extrémités A et B, la ligne d’ombre PBC, le rayon F AD eu rencontrant l’ombre redressée sur le mur en D , donnera ce point pour la projection du point A, menant BCD, cette ligne brisee

sera l’ombre de AB partie sur le sol et partie sur le iimr. Clierchant de la meme manière l’ombre du point I en G, et joignant le point D au point G , G D sera l’ombre sur le mur de l’arète AI. IMain tenant pour avoir l’ombre de IZ dont on connaît le point d’ombre G; on prendra le point R assez rapproebé du point I , pour que son ombre tombe en U sur le mur latéral ; alors GU que l’on prolongera jusqu’au coin du mur, sera une portion de l’ombre de IZ. L’ombre ne pouvant être interrompue et le point Z touchant le mur du fond, si l’on joint le point Z au point X, ZX achèvera l’ombre de IZ qui se trouve brisée par l’angle du mur.

REMARQUE

Après avoir trouvé sur le mur latéral l’ombre DG de AI, il n’était pas nécessaire d’allonger l’opération par la ligne supposée RS, pour avoir la direction GU de l’ombre de IZ sui- le mur. Le point G était un point d’ombre appartenant à une droite IZ perpendicvdaire au tableau, son ombre étant portée sur un 2)Ian vertical aussi j^erpendiculaire au tableau doit, d’après ce que l’on a vu, aller concourir au point V. Connaissant donc le i^oint G, le point de vue devenait un deuxième j^oint qui servait à diriger l’ombre jusqu’au mur du fond en X.

Par la même raison , les jîoints de transiîosition du flambeau en T et M serviraient à tracer les ombres GD et ZX, puisque ces ombres sont [projetées jiar des lignes jîerpendiculaires aux jilans où se trouvent les points de transposition.

jq.

'‘^T^£cko?i c/e^ / O 77vi£e ^lo^tee c/ (cn.

mc/ùiie.

Pour obtenir d’abord la direction de l’arète A?/I, on prendra sur cette ligne un point i à volonté , mais assez près du point de contact M pour que son ombre tombe sur le parquet, comme on le voit dans cette figure par le point 3 ; alors joignant ce point ombré avec le point M, la ligne M3 que l’on prolongera jusqu’en II où elle rencontre le mur (Y), sera l’ombre de AM

sur le parquet.

Cherchant ensuite de la même manière l’ombre de l’extrémité A

de la même arête, en abaissant de ce point sur le plan MN la

perpendiculaire AE, on aura par le rayon FAZ rencontrant l’ombre redressée EOZ, l’ombre du point A en Z sur le mur, et comme la trace de l’ombre sur le sol de l’arète MA, rencontre le mur au point H, si l’on joint le point H au point Z par HZ, l’ombre brisée MHZ sera celle de l’arète AM.

Pour avoir l’ombre de AB ayant déjà le point Z, qui appartient à sa projection ombrée, puisque c’est celui du point A. Sachant de plus que l’arète AB est dirigée au point de vue, son ombre étant reçue sur un mur perpendiculaire au tableau , doit aussi concourir à ce point; ainsi par le point Z et le point V, me-

nant Zl, cette ligne déterminera la direction de l’ombre de l’arète AB.

Quant à l’arète KB, l’opération est absolument la même que pour AM, c’est-à-dire qu’on prendra un point sur RB, dont on cherchera , comme précédemment , l’ombre sur le parquet ; ce point et celui de contact K, donneront la trace de l’ombre RG jusqu’au pied du mur (X) en 6; alors pour avoir la direction de l’ombre sur ce mur, on cherchera par tâtonnement quelque point qui donne sur RB une droite comme SR, dont l’ombre brisée et relevée le long du mur en 5 4, puisse, en rencontrant le rayon FS 4, donner le point 4 pour deuxième point de direction. Alors joignant le point 6 et le point 4 , cette ligne 6 L\ que l’on prolongera jusqu’à l’angle du mur , donnera l’ombre cherchée. Joignant enfin ce point de rencontre avec le terme I de ZI, que l’on déterminera par le rayon FBI, on obtiendra RG4IZHM pour la projection totale de l’ombre du prisme incliné.

Avant de chercher à projeter l’ombre des arêtes de ce solide sur le plan incliné , il est nécessaire de s’assurer quelles sont celles des lignes qui terminent l’aire du prisme , cjui sont tangentées par les rayons lumineux. En considérant attentivement la position de

la lumière F relativement au solide, on verra bientôt que les arêtes tangentées ou plutôt sur lesquelles glissent les rayons, sont GA, AC, CD, et DR, puisque après avoir tiré au point de vue et du pied P du flambeau une droite P Y, cette ligne prouve que le flambeau est disposé de façon à éclairer la surface DE fl R du solide, que la perspective rend invisible dans cet exemple.

Connaissant les arêtes dont il est nécessaire de projeter les ombres sur le plan incliné, soit AG dont on veut d’abord chercher la projection ; pour cela , sans avoir égard au plan incliné , on déterminera en Z l’ombre du point A; de ce point, on mènera Z -2 parallèlement à l’horizon , jusqu’au plan 8 7 de l’inclinaison du talud. Du point 2 , on élèvera la perpendiculaire 2 i jusqu’à

la rencontre du plan incliné ; du point i , on mènera 1 6 parallèlement à 2Z, jusqu’à la perpendiculaire Z 6 élevée du point Z. Du point 6 et par le point O, où la ligne d’ombre P Z rencontre le plan incliné, on mènera 60; cette ligne se trouvant appartenir à la surface du jDlan incliné et dans le plan de l’ombre,

devra nécessairement rencontrer le rayon FAR; et le point R, intersection de ces deux droites, sera l’ombre du point A ramené, en R sur la surface du plan ; ou autrement dit , le point où le rayon passant par le point supérieur rencontre la surface du plan j>roposé.

Ayant obtenu de la même manière l’ombre sur le plan (X) des autres points C,D, et ayant réuni ces points par les lignes GO, O Pi , RN , N M , MR , on aura la projection entière de l’ombre du solide snr le terrain perspectif et sur le plan incliné.

f^-r^ectùOTi c/e / ottî/tc c/ t

iô?c /irM??ie m/ra??ucUi.

arc /Ucc?c mcune.

On supposera d’abord que le mur vertical Z O soit prolongé indéfiniment selon les droites O J et ZR, alors au moyen de la ligne d’ombre PGH redressée en G et du rayon F A H, on déterminera en H sur la surface verticale supposée, l’ombre H du

point A sommet de la pyramide proposée. Oir cherchera ensuite l’ombre de l’arète A 7 sur le sol , en prenant à l’ordinaire un

point r , dont l’ombre puisse tomber sur le sol comme ici au point 3; alors par le point de contact 7 et le point d’ombre 3 qui appartient à A 7 , on mènera la ligne d’ombre 7 3 prolongée jusqu’en R rencontre du mur ZO; mais comme 7 R n’est qu’une portion de l’ombre de A7, et que puisque les deux points A et 7 appartiennent à une même ligne, l’ombre qui part des points ombrés qui représentent ces premiers, doit aussi passer par 7 et II; joignant donc le point R au point H, et opérant de même pour l’arète A6, on aura l’ombre de la pyramide en GTMIINR7. Il ne s’agit plus que de rabattre le segment Mil N sur le plan incliné ZLI. Pour cela, on prolongera la ligne d’ombre passant

par le point B de AB, d’une petite quantité arbitraire G S en arrière du plan ZO, du point S par exemple, et par le point évanouissant des lignes du plan incliné , qui est ici le point de

( iSa )

vue, on mènera SU jusqu’au plan OU de l’inclinaison LI; du point de rencontre U, on élèvera perpendiculairement UI jusqu’au bord du talud ; du point I, on mènera I4 parallèlement à US, jusqu'à ce que cette droite rencontre la perpendiculaire S 4 élevée du point S ; le point 4 étant dans le plan de l’ornbre du point A et sur la surface du plan incliné, on le joindra au point D de la ligne d’ombre redressée par l’effet du mur vertical, et 4D déterminera sur le plan incliné la section du plan de l’ombre passant par AB. Maintenant si on prolonge le rayon F A II jusqu’en C rencontre de D4 prolongée suffisamment, et que l’on joigne le point d’ombre C avec ceux INI et N, 6TMCNR7 contour de l’ombre de la pyramide sur les divers plans du solide laine.

REMARQUE

On aurait pu , sans supposer le plan Z O prolongé , avoir la direction des ombres TM et NR, sur ce mur vertical, en prenant, sur les arêtes du prisme triangulaire, deux points assez rapprochés du sommet A, pour que les ombres fussent rencontrées par les rayons sur le mur Z O. Cette dernière pratique est aussi brève que la première.

Il est évident qu’après avoir déterminé deux points sur le plan Z LO comme celui S, et connaissant déjà la direction de l’ombre des arêtes du prisme sur le terrain perspectif jusqu’au plan vertical ZO, les points comme RS, donnent naturellement la direction (!es ombres RS, TM, et leur rencontre en H, celle du sommet A de la pyramide proposée.

'^(^ 'ectia?i c/e l oml-re J mi ^ircjme (nan^uL dc(û^ cm murinc/me.

Par l’effet de la position de la lampe F, la surlace A CCD du prisme faisant obstacle aux rayons, les arêtes AB, BC, CD, DA, détermineront la projection de l’ombre du solide. Pour avoir l’ombre du point A, on tracera d’abord le rayon F AK et la ligne d’ombre PDF; au point E, où celte ombre rencontre le mur vertical , on la redressera verticalement jusqu’au point G , rencontre du plan incliné; pour avoir la continuité de l’ombre sur ce plan , on prendra à volonté un point M sur la ligne d’ombre P DE; par ce point et le point V, évanouissant du mur, on mènera MN jusqu’au pied du mur du fond; du point N, on élèvera

NS jusqu’à la section 21 du plan incliné (X); du point S et par le point V, on mènera une parallèle S 8 à MN, jusqu’à M8; le point 8 étant à la fois dans le plan de l’ombre de la droite AD et sur la surface du plan incliné, appartiendra donc à l’ombre continuée sur cette surface. Joignant le point G au point 8 , G 8 sera la direction de l’ombre sur le plan (X), mais comme

cette ombre est dans le plan du rayon F AK, si on la prolonge jusqu’à ce qu’elle puisse le rencontrer, le point K sera 1 ombre du point A sur le plan incliné, et DEGK sera la projection

brisée de l’ombre de AD; en opérant de même pour 1 arête B

C, et le point L ayant donné la projection de l’oinbre du point B, on achèvera ainsi la projection de l’ombre du prisme (Y) sur les divers plans qui la reçoivent.

U 71. mm'

En considérant attentivement la position de la lumière et celle de la table , on verra que les arêtes tangentées par les rayons , sont EG, GN, ND, DB, BA, AE. Pour avoir Fombre de EG, on prolongera cette arête jusqu’à son plan X; par le point E, on fera passer un rayon FE qui, rencontrant en e’ Fombre PX le’ redressée au point I, donnera le point e’ pour Fombre du point E sur le mur. Le point G ayant le même plan que le point E, aura aussi son ombre sur la même ligne le’, et cette ombre sera déterminée en g’ par le rayon F G g’. Ayant opéré de même pour tous les points extrêmes des arêtes qui doivent projeter leurs ombres , on aura la figure ombrée g’ n’ d’ b’ a’ e’ pour Fombre portée de la table sur le mur vertical.

Quant à Fombre du pied OL, on la projettera jusqu’au pied du mur, et l’ayant ensuite relevée perpendiculairement, on continuera cette projection jusqu’à ce quelle se joigne à Fombre de la table sur la surface verticale.

REMARQUE

Cette proposition dont le principe est extrêmement aisé, peut devenir fort embarrassante pour l’élève peu versé dans l’étude de la perspective , à cause de la difficulté qu’il doit nécessairement éprouver à reconnaître les arêtes sur lesquelles doit glisser la lumière, et par conséquent celles d’entr’elles dont il faut projeter les points pour obtenir l’ombre cherchée. Nous conseillons donc , quand par sa forme et sa position , un corps pourra causer de l’incertitude relativement à la projection de son ombre, de se servir de morceaux de carton coupés de façon à le représenter, et plaçant alors une lumière dans la position convenable, on s’assurera des arêtes qui portent l’ombre , en faisant glisser la pointe du compas sur toutes les lignes qui bornent le contour du solide proposé, (i).

Dans cette proposition, les arêtes sur lesquelles glisse la lumière étant DE, ER, RB, BA, AC et CD, on cherchera premiè-

(i) Ce moyen qui peut être d’un grand secours dans une infinité de cas, devient inutile quand on a acquis l’habitude des projections.

r-emeiit l’ombre du point A. Pour cela , par son plan I et par le pied de la lumière, on mènera la ligne d’ombre PI 6; au point 6 rencontre du mur, on la redressera et on élèvera la perpendiculaire 67 jusqu’à la rencontre du plafond; par le point I, plan du point A, on fera passer parallèlement au plan du tableau le plan I45L, en observant que IL soit élevée du plan I; alors joignant le point d’ombre 7 au point L, la ligne 7L sera la direction du plan de l’ombre sur le plafond, et sa rencontre avec le rayon passant par le point A, donnera en a’ l’ombre du point A.

Le point C se trouvant dans le même plan que le point A, il suffira, pour avoir son ombre, de mener F Ce’, ce rayon rencontrant en c’ le plan de l’ombre 7L, déterminera ce point sur le plafond pour l’ombre du point C.

Maintenant si l’on veut projeter le point D, on fera passer de même par son plan 2 , d’où l'on élèvera la perpendiculaire indéfinie 2 JM, un plan 289JM, parallèle au plan du tableau; ensuite on mènera la ligne d’ombre PaS que l’on relèvera perpendiculairement au pied du mur en 3 d’ , le rayon EDd’, rencontrant la ligne d’ombre 3 d’ en d’ , donnera ce point pour l’ombre du point D sur le mur du fond. L’arète DG étant perpendiculaire au tableau, son ombre devra être dirigée au point de transposition T ; par ce point et le point d’ menant donc Td’N jusqu’à la rencontre du plafond, d’N sera une portion de l’ombre de DC; mais comme cette ombre doit aller rencontrer le point c’, joignant le point c’ au point N, on aura l’ombre portée sur le mur et sur le plafond de l’arète DC du solide suspendu. Opérant de même pour les autres points E,Il,B, et joignant leurs ombres par les lignes d’ N , jN c’ , c’ a’ , a’ b’ , b’ r’ , etc. , on aura l’ombre totale et brisée en